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1、第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数二、梯度二、梯度一、问题的提出一、问题的提出一块长方形的金属板，受热一块长方形的金属板，受热产生如图温度分布场产生如图温度分布场.设一个小虫在板中逃生至某设一个小虫在板中逃生至某问该虫应沿什么方向爬行，问该虫应沿什么方向爬行，才能最快到达凉快的地点？才能最快到达凉快的地点？处，处，问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最剧烈的应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行方向爬行需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，从而确定出温度下降的最快方向从而确定出温度下降的最快方向引入两个概念：引入两个概念：方
2、向导数方向导数和和梯度梯度方向导数问题方向导数问题梯度问题梯度问题 讨论函数讨论函数 在一点在一点P P沿某一方向的沿某一方向的变化率问题变化率问题二、方向导数二、方向导数当当 沿着沿着 趋于趋于 时时，是否存在？是否存在？记为记为的方向导数为的方向导数为同理同理,沿沿y轴正向轴正向的方向导数分别为的方向导数分别为在点在点沿着沿着轴正向轴正向若偏导若偏导 存在存在,则则方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限.原因：原因：证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为方向导数的存在及计算公式方向导数的存在及计算公式那末函数在该点沿任意方向那
3、末函数在该点沿任意方向l l的方向导数都存在，的方向导数都存在，定理定理 如果函数如果函数在点在点可微分，可微分，且有且有 为为轴到方向轴到方向l l的转角的转角其中其中计算公式计算公式故有方向导数故有方向导数两边同除以两边同除以得到得到故故x轴到方向轴到方向l 的转角的转角解解 方向方向l 即为即为所求方向导数所求方向导数解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知（1）最大值）最大值;（2）最小值；）最小值；（3）等于零？）等于零？例例2 求函数求函数在点在点(1,1)沿与沿与 x轴方向夹角为轴方向夹角为的方向射线的方向射线的方向导数的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有并问在怎样
4、的方向上此方向导数有故故方向导数达到最大值方向导数达到最大值;方向导数达到最小值方向导数达到最小值;方向导数等于方向导数等于0.推广推广:三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义对于三元函数对于三元函数它在空间一点它在空间一点沿着方向沿着方向l的方向导数的方向导数，可定义为可定义为 其中其中）方向导数的计算公式方向导数的计算公式解解令令故故方向余弦为方向余弦为求函数求函数在此处沿方向在此处沿方向的方向导数的方向导数.是曲面是曲面例例3 3 设设 在点在点处的指向外侧的法向量处的指向外侧的法向量,故故三、梯度三、梯度设设是方向是方向l上的单位向量上的单位向量，当当 时，时，有最大值有最大值.
5、其中其中由方向导数公式知由方向导数公式知结论结论当当不为零时，不为零时，x轴到梯度的转角的正切为轴到梯度的转角的正切为函数在某点的梯度是这样一个向量，函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值而它的模为方向导数的最大值梯度的模为梯度的模为在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截所截,得曲线得曲线它它在在xoy面面上投影方程：上投影方程：等高线等高线称为称为等值线等值线.等值线等值线几何上，称为几何上，称为等高线等高线.例如例如,等值线等值线上任一点处的一个法向量为上任一点处的一
6、个法向量为表明：梯度方向与等值线的一个法线方向相同，表明：梯度方向与等值线的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等梯度的模就等于函数在这个法线方向的梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数方向导数.值线，值线，问题问题：上山时，如何选择最快的方向？上山时，如何选择最快的方向？计算方法课程中的一种计算策略：计算方法课程中的一种计算策略：“瞎子下山法瞎子下山法”类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导
7、数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故则在则在处梯度为处梯度为例例4 求函数求函数 在点在点处的梯度，并问在何处梯度为零？处的梯度，并问在何处梯度为零？一、一、方向导数方向导数（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）区别）小小 结结1.1.定义定义2.2.计算公式计算公式二、梯度二、梯度（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）定义定义方向：方向：x轴到梯度的转角的正切轴到梯度的转角的正切模模：三、方向导数与梯度的关系三、方向导数与梯度的关系方向方向与取得最大方向导数的方向一致与取得最大方向导数的方向一致,模模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度：梯度：其中其中思考题思考题问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大？问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大？答：梯度方向答：梯度方向答：答：作作 业业P.51 习题习题8-71;4;7;8;10.练练 习习 题题练习题答案练习题答案