热学第二章幻灯片.ppt

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1、热学第二章第1页，共98页，编辑于2022年，星期一统计规律。统计规律。微观上（单个进程）千变万化，宏观上（重复进行）有微观上（单个进程）千变万化，宏观上（重复进行）有一定数值和规律的现象为统计规律。一定数值和规律的现象为统计规律。伽尔顿板实验伽尔顿板实验过程：过程：（重复）两步：（重复）两步：(1)单个小球下落单个小球下落 (2)多个同时下落多个同时下落结果：结果：第一步，完全随机。第二步，有规律分布。第一步，完全随机。第二步，有规律分布。如：理想气体的压强、温度、等等。如：理想气体的压强、温度、等等。第2页，共98页，编辑于2022年，星期一例一、醉鬼问题例一、醉鬼问题一个最初站在一个路灯

2、下醉鬼忽然想起来走一走，我们想知一个最初站在一个路灯下醉鬼忽然想起来走一走，我们想知道他走了道他走了 M 步后离路灯的距离。步后离路灯的距离。基本假设：醉鬼走的方向基本假设：醉鬼走的方向完全不可预计完全不可预计。设设 Xi,Yi 是醉鬼第是醉鬼第 i 步位移在步位移在 X,Y 方向上的投方向上的投影，在第影，在第 M 步后，他离路灯距离步后，他离路灯距离 R 为：为：Xi 完全随机完全随机，Xi 与与 Xj 完全独立完全独立。设醉鬼的步长为设醉鬼的步长为1。第3页，共98页，编辑于2022年，星期一数学讨论数学讨论直观计算直观计算:(1)一维系统有道理一维系统有道理向右走向右走Nx 步步的几率

3、的几率:发现醉鬼位置的平均值发现醉鬼位置的平均值:(2)推广到二维出现错误推广到二维出现错误 原因原因:两个方向上的随机变量不独立两个方向上的随机变量不独立:此时一个方向的色散对双变量函数有重要贡献。此时一个方向的色散对双变量函数有重要贡献。举例：举例：麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布第4页，共98页，编辑于2022年，星期一性质讨论性质讨论统计性质统计性质。计算只能给出醉鬼。计算只能给出醉鬼最有可最有可能的距离能的距离。计算结果不意味我们肯定。计算结果不意味我们肯定在在 的位置上找到醉鬼，而只的位置上找到醉鬼，而只意味着在这些位置上找到他的意味着在这些位置上找

4、到他的几率最几率最大大。这并不排除在其他位置上找到醉。这并不排除在其他位置上找到醉鬼的可能性。鬼的可能性。各态历经各态历经。如果有。如果有一群醉鬼一群醉鬼同时开始游动，在同时开始游动，在 位置上找到醉鬼的位置上找到醉鬼的数数目最多目最多。它与一个醉鬼重复多次游走的。它与一个醉鬼重复多次游走的结果一致结果一致。统计误差统计误差。只用平均值不能反映醉鬼的行为，必须在计算中引入。只用平均值不能反映醉鬼的行为，必须在计算中引入计算的不确定性。计算的不确定性。统计误差的规律：统计误差的规律：N 为醉鬼个数。为醉鬼个数。第5页，共98页，编辑于2022年，星期一例二、布朗运动例二、布朗运动(Einstei

5、n 1905,Smoluchowski 1906,Langevin 1908)基本图像：粒子受基本图像：粒子受无序驱动力无序驱动力驱动在流体中运动。驱动在流体中运动。牛顿定律：牛顿定律：对直角坐标系中任一方向，记对直角坐标系中任一方向，记条件：条件：自由能均分原理自由能均分原理a:粒子平均直径；粒子平均直径；h:粘滞系数。粘滞系数。介质粒子的轨迹介质粒子的轨迹第6页，共98页，编辑于2022年，星期一数学技巧：数学技巧：做平均后做平均后=kBT做平均后做平均后=0牛顿方程：牛顿方程：方程两边同乘方程两边同乘 s第7页，共98页，编辑于2022年，星期一解微分方程得：解微分方程得：分析迟豫时间：

6、分析迟豫时间：在在1微秒以后后项可以被忽略。微秒以后后项可以被忽略。Einstein 扩散系数扩散系数和醉鬼一样和醉鬼一样令令得方程得方程第8页，共98页，编辑于2022年，星期一第二节第二节 概率论简介概率论简介一、事件及其概率一、事件及其概率随机事件：随机事件：随机实验中，对试验可能出现的事情称为事件。随机实验中，对试验可能出现的事情称为事件。概率：在一定条件下，一系列可能发生的事件组合中，发生某一事件的机会或概率：在一定条件下，一系列可能发生的事件组合中，发生某一事件的机会或可能性。可能性。对事件对事件Ai(i=1,2,k)，测量总数为，测量总数为N,出现事件出现事件 Ai 的次数为的次

7、数为 N(Ai)，则事件，则事件 Ai 的概率为的概率为必然事件：必然事件：P(Ai)=1；不可能事件：；不可能事件：P(Ai)=0；随机事件：如果；随机事件：如果0P(Ai)1。互不相容事件互不相容事件：一事件发生时，其他事件不可能同时发生。例：掷硬币。：一事件发生时，其他事件不可能同时发生。例：掷硬币。独立事件独立事件：一事件的发生不因其他事件是否发生而受到影响。例：二次掷硬币：一事件的发生不因其他事件是否发生而受到影响。例：二次掷硬币对于独立事件：对于独立事件：独立相容事件独立相容事件：对于互不相容事件：对于互不相容事件：第9页，共98页，编辑于2022年，星期一例一：生日问题例一：生日

8、问题计算计算 n 个朋友同一天生日的概率。个朋友同一天生日的概率。分析：（分析：（1）平均分布；（）平均分布；（2）独立事件。）独立事件。将朋友随机排序。第二个朋友与第一个朋友生日不同的概率为将朋友随机排序。第二个朋友与第一个朋友生日不同的概率为 364/365（平均分布平均分布）；第三个）；第三个朋友与前两个朋友不同生日的概率为朋友与前两个朋友不同生日的概率为 363/365.，第，第 n 各朋友与前面的朋友生日都不同的概率为各朋友与前面的朋友生日都不同的概率为(365-n+1)/365。n 个朋友生日不同的概率为：个朋友生日不同的概率为：（独立事件独立事件）n 个朋友至少有两个同生日的概率

9、：个朋友至少有两个同生日的概率：（不相容事件不相容事件）24 个朋友中至少有两个同生日的概率为个朋友中至少有两个同生日的概率为 54%。第10页，共98页，编辑于2022年，星期一The best theories are those that do not require the observer to live in a special place in the universe or at a special time in history in order to be true.例二：例二：Copernican principleBerlin Wall StoryIn 1969,Dr.

10、Gott visit Berlin wall and begin to use Copernican principle.Result:in 50%chance the wall will have at least 8/3 years but not more than 24 year.The wall came down on Nov.1989.1961With 95%likelihood,the future of a thing will between 1/39 and 39times as long as its past.Homo sapiens(200,000 years)We

11、 should last at least 5100 years but less than 7.8 million years.第11页，共98页，编辑于2022年，星期一Shermers last law:“Any sufficiently advanced extra-terrestrial intelligence is in distinguishable from God”.M.Shermer,Scientific American,286,33(Jan.2002)“Given that we cannot even communicate with terrestrial int

12、elligences such as apes and dolphins,how can we hope to decode complex messages sent by superior extra-terrestrial ones?”G.Basalla,“Civilized life in the universe”,(Oxford University Press,2005)“You are technically so advanced.How did you attain this stage without destroying yourself in the evolutio

13、n”?第12页，共98页，编辑于2022年，星期一二、随机变量与分布函数二、随机变量与分布函数随机变量：对一系列事件，如果一些量的数值随机变量：对一系列事件，如果一些量的数值是否出现可以表示其中某事件是否发生，则这些量称为随机变量。是否出现可以表示其中某事件是否发生，则这些量称为随机变量。随机变量的分类：随机变量的分类：掷硬币，接电话掷硬币，接电话醉鬼走的距离醉鬼走的距离对分立随机变量对分立随机变量 xi，相应于某随机变量，相应于某随机变量 xi 的概率为的概率为 P(xi),其其概率分布概率分布为为概率分布满足归一律：概率分布满足归一律：1、分立随机变量、分立随机变量第13页，共98页，编辑

14、于2022年，星期一随机变量的特征数值：随机变量的特征数值：（2）n 次矩次矩（1）平均值平均值平均值是连续变量平均值是连续变量一次矩一次矩二次矩二次矩对于二次矩有对于二次矩有:它是随机变量它是随机变量偏离平均值的度量偏离平均值的度量，又叫，又叫色散色散，其，其平方根平方根为为均方差均方差。有意义的统计系统必须要求各次矩有意义的统计系统必须要求各次矩有限有限，各次矩，各次矩无限无限的系统是复杂系统。的系统是复杂系统。第14页，共98页，编辑于2022年，星期一2、连续随机变量及其分布函数的概念、连续随机变量及其分布函数的概念例如醉鬼问题。我们不能测量在例如醉鬼问题。我们不能测量在 距离找到醉鬼

15、的概率，能够测量的是在随机变量区距离找到醉鬼的概率，能够测量的是在随机变量区间间 找到醉鬼的概率。找到醉鬼的概率。需要定义新的函数：需要定义新的函数：分布函数分布函数对于连续随机变量，随机变量的个数无穷大，因而在有限次数实验中得对于连续随机变量，随机变量的个数无穷大，因而在有限次数实验中得到任何变量的概率都为到任何变量的概率都为 0。分布函数为随机变量分布函数为随机变量 x 处处单位区间内的概率单位区间内的概率，所以，所以 分布分布函数又称为函数又称为概率密度概率密度。第15页，共98页，编辑于2022年，星期一以伽尔顿板实验为例以伽尔顿板实验为例设粒子总数为设粒子总数为 N，i 为小槽的序号

16、，为小槽的序号，Ni为落入第为落入第i个小槽的粒子数，个小槽的粒子数，Ai为落入第为落入第i个小槽的粒子所占的面积（或体积），其个小槽的粒子所占的面积（或体积），其宽度为宽度为 xi，高度为，高度为hi，则，则粒子落入第粒子落入第i个小槽的概率为个小槽的概率为细化细化第16页，共98页，编辑于2022年，星期一令令分布函数分布函数连续随机变量的特征数值连续随机变量的特征数值平均值：平均值：对力学量对力学量G=G(x)归一律：归一律：均方差：均方差：例：平均能量例：平均能量第17页，共98页，编辑于2022年，星期一三、一些常见的分布三、一些常见的分布所以出现宏观态所以出现宏观态 n1,n2 的

17、概率为的概率为1、二项式分布二项式分布（掷钱币，分配小球）（掷钱币，分配小球）体积为体积为 V 的容器由隔板分为左右两部分，左边有的容器由隔板分为左右两部分，左边有 n1 个分子，右边有个分子，右边有n2个个分子，分子，n1+n2=N。微观概率：微观概率：分子微观可分。分子微观可分。若将分子编号以区分哪若将分子编号以区分哪 n1 个在左边，则共有个在左边，则共有 2N 中可能分布。记一个分子在左右两边的概率分别为中可能分布。记一个分子在左右两边的概率分别为 p、q,则则 n1 个特定分个特定分子在左边，子在左边，n2个特定分子在右边的概率为个特定分子在右边的概率为宏观分布：宏观分布：分子宏观分

18、子宏观“不可分不可分”（没有物理意义）。（没有物理意义）。共有共有 N+1 种宏观分布方种宏观分布方式：式：N,0,N-1,1,1,N-1,0,N。从从 N 中取出中取出 n1 个分子的方式为个分子的方式为独立事件独立事件不相容事件不相容事件第18页，共98页，编辑于2022年，星期一性质：性质：归一归一平均值平均值涨落：涨落：相对涨落相对涨落:相对涨落：分子散射，乳光现相对涨落：分子散射，乳光现象象第19页，共98页，编辑于2022年，星期一二项式分布的两个极限形式二项式分布的两个极限形式当当 时，趋于高斯分布时，趋于高斯分布当当 时，趋于泊松分布时，趋于泊松分布在空间或时间上的等几率事件。

19、接电话，放射性蜕变，反应碰撞几率在空间或时间上的等几率事件。接电话，放射性蜕变，反应碰撞几率.由于多种因素造成的完全随机的不确定性。身高分布，实验误差，由于多种因素造成的完全随机的不确定性。身高分布，实验误差，.第20页，共98页，编辑于2022年，星期一2、高斯分布、高斯分布一维无规行走（醉鬼）一维无规行走（醉鬼）质点自原点出发在质点自原点出发在 沿沿X方向无规行走，步长不限，等概率，且后一步与前方向无规行走，步长不限，等概率，且后一步与前一步无关，经一步无关，经 N 步后，质点出现在位置步后，质点出现在位置x附近附近dx元内的概率为元内的概率为意义：意义：做多次无规行走试验，走做多次无规行

20、走试验，走N步后，质点落在步后，质点落在dx内的次数占总实验次数的比率；内的次数占总实验次数的比率；大量质点同时从原点出发作无规行走，走大量质点同时从原点出发作无规行走，走N步后，落在步后，落在dx内的质点数占总质点数的比内的质点数占总质点数的比率。率。分布函数分布函数 f(x)的确定的确定各向同性各向同性醉鬼向哪个方向行走是随机的。醉鬼向哪个方向行走是随机的。第21页，共98页，编辑于2022年，星期一分布函数延径向指数减小分布函数延径向指数减小 解方程得解方程得如果起始位置不在如果起始位置不在 x=0处，而在处，而在 x=m m处，则分布函数为：处，则分布函数为：C由归一化条件确定：由归一

21、化条件确定：高斯积分高斯积分第22页，共98页，编辑于2022年，星期一平均值：平均值：奇对程奇对程a a 与均方差有关：与均方差有关：高斯分布高斯分布第23页，共98页，编辑于2022年，星期一醉鬼的径向分布函数醉鬼的径向分布函数（灯柱为原点）灯柱为原点）概率概率:对方向积分得到径向分布函数对方向积分得到径向分布函数第24页，共98页，编辑于2022年，星期一高斯分布中高斯分布中 s s 表示实验数据的可信程度。表示实验数据的可信程度。实验数据在实验数据在 (m-s,m+s)(m-s,m+s)的几率为的几率为令令高斯分布变为正态分布：高斯分布变为正态分布：第25页，共98页，编辑于2022年

22、，星期一第三节第三节 麦克斯韦麦克斯韦(Maxwell)速度分布和速率分布速度分布和速率分布（理想气体）（理想气体）一、麦克斯韦速度分布一、麦克斯韦速度分布(Maxwell,1859)基本假设：基本假设：气体分子通过气体分子通过碰撞碰撞达到并维持平衡态。此时分子的位置分布和速达到并维持平衡态。此时分子的位置分布和速度分布度分布都不随时间变。都不随时间变。位置分布为位置分布为平均分布，平均分布，速度分布速度分布为高斯分布为高斯分布。分布函数的确定分布函数的确定各向同性（旋转不变性）各向同性（旋转不变性）速度分布只与速率有关。速度分布只与速率有关。分布函数延径向指数减小分布函数延径向指数减小 数学

23、推论（史寒朵，雷进，等数学推论（史寒朵，雷进，等)方向独立方向独立 第26页，共98页，编辑于2022年，星期一两边取对数两边取对数方向独立方向独立同理同理由于由于 是相互独立的变量，上市的值只能是常数。再考虑到实际物理情形下，是相互独立的变量，上市的值只能是常数。再考虑到实际物理情形下，粒子的概率密度应沿径向减少，故此值为负。粒子的概率密度应沿径向减少，故此值为负。第27页，共98页，编辑于2022年，星期一对于各向同性的速度分布对于各向同性的速度分布能量安自由度均分能量安自由度均分第28页，共98页，编辑于2022年，星期一(1)有极大值。随有极大值。随 增大，增大，减小。减小。性质：性质

24、：(2)随随T增大，增大，变化渐缓。变化渐缓。(3)随随m增大，增大，变化加剧。变化加剧。带入上式并考虑分子运动在三个方向上互相独立带入上式并考虑分子运动在三个方向上互相独立第29页，共98页，编辑于2022年，星期一速度分布的极坐标表示速度分布的极坐标表示第30页，共98页，编辑于2022年，星期一二、麦克斯韦速率分布二、麦克斯韦速率分布速率分布：只管大小不管方向。速率分布：只管大小不管方向。对速度分布在方向上用积分加和对速度分布在方向上用积分加和性质性质第31页，共98页，编辑于2022年，星期一数学工具：高斯积分数学工具：高斯积分可以得到速率分布满足归一性可以得到速率分布满足归一性第32

25、页，共98页，编辑于2022年，星期一最概然速率：最概然速率：f(v)的极大值。的极大值。平均速率：平均速率：方均速率：方均速率：方均根速率：方均根速率：第33页，共98页，编辑于2022年，星期一实验检验实验检验（O.Stern,1920)银分子走过距离银分子走过距离 所需时间所需时间 与银分子的与银分子的速率速率 有关：有关：以以 表示弧表示弧PP的长度，则速率为的长度，则速率为 的银分子的落点的银分子的落点P离开离开P点的弧长点的弧长为为:或者：或者：第34页，共98页，编辑于2022年，星期一三、应用三、应用1、逃逸速率逃逸速率计算在计算在 0 0C 时时 N2,O2,H2 的气体分子

26、均方根速率。的气体分子均方根速率。MN2=28 g/mol,MO2=32 g/mol,MH2=2 g/mol。代入代入与粒子的逃逸速度相比。与粒子的逃逸速度相比。逃逸速度：分子动能等于星球引力势能逃逸速度：分子动能等于星球引力势能第35页，共98页，编辑于2022年，星期一用用 做速度单位，引出无量纲速率：做速度单位，引出无量纲速率：计算无量纲速率大于计算无量纲速率大于 k 的气体分子比率。的气体分子比率。第36页，共98页，编辑于2022年，星期一例如在地球上：例如在地球上：以太阳系年龄以太阳系年龄60亿年计算，可以把临界无量纲逃逸速率定为亿年计算，可以把临界无量纲逃逸速率定为10，因而红点

27、的气体已经基本逃离星球。，因而红点的气体已经基本逃离星球。地球大气层中的氮分子逃出地球吸引的几地球大气层中的氮分子逃出地球吸引的几率小于率小于10-340/s，即，即10-333/年。在大于年。在大于10333年后氮气消失。年后氮气消失。在月球上：在月球上：月球中的氮分子逃出月球吸引的几率大月球中的氮分子逃出月球吸引的几率大于于10-15/s，即，即10-8/年。在小于年。在小于108年（一亿年（一亿年）后氮气消失。年）后氮气消失。第37页，共98页，编辑于2022年，星期一2、泻流速率、泻流速率泻流：对面积为泻流：对面积为dS的小孔，当的小孔，当dS的的线度线度小于小于粒子的粒子的平均自由程

28、平均自由程时，粒时，粒子束流从小孔子束流从小孔dS射出的现象称为泻流，用射出的现象称为泻流，用 表示。表示。分析：对于速度处于分析：对于速度处于 的粒子，在的粒子，在 时间内碰到器壁时间内碰到器壁 上的粒子数为上的粒子数为其中其中 为速度为为速度为 的数密度：的数密度：第38页，共98页，编辑于2022年，星期一在标准情况下：在标准情况下：第39页，共98页，编辑于2022年，星期一计算泻流粒子的速率分布：计算泻流粒子的速率分布：换成球坐标：换成球坐标：又考虑到：又考虑到：对角度积分：对角度积分：（正方向）（正方向）泻流出去的粒子平均能量比在容器中的泻流出去的粒子平均能量比在容器中的粒子平均能

29、量高。粒子平均能量高。第40页，共98页，编辑于2022年，星期一不同质量的物质泻流量不一样。经过泻流质量小的物质得到富集。不同质量的物质泻流量不一样。经过泻流质量小的物质得到富集。例：例：235U,238U 分离。气体物质：分离。气体物质：UF6。天然丰度：。天然丰度：238U:99.3%,235U:0.7%。一次泻流：一次泻流：要想富集到要想富集到 99%235U:第41页，共98页，编辑于2022年，星期一第四节第四节 近独立子系统的最概然分布近独立子系统的最概然分布(Maxwell-Boltzmann distribution)统计物理的基础。所有物理系统的统计物理的基础。所有物理系统

30、的统计规律都以它为出发点。统计规律都以它为出发点。一、基本概念一、基本概念微观状态。微观状态。以二项分布中的小球方法为例。小球以二项分布中的小球方法为例。小球微观可分微观可分，N 个小球有个小球有 2N 种排列方法。我们说这个系统的种排列方法。我们说这个系统的微观状态数微观状态数有有 2N 个。个。宏观状态。宏观状态。将任意一对小球调换一下位置，系统的宏观状态不发生变化。从这将任意一对小球调换一下位置，系统的宏观状态不发生变化。从这个意义上说，小球是个意义上说，小球是宏观不可分宏观不可分的。系统的的。系统的宏观状态数宏观状态数为为 N+1 个。个。每个宏观状态占有多少个微观状态数反映了系统的宏

31、观统计性质。每个宏观状态占有多少个微观状态数反映了系统的宏观统计性质。在小球的例子中，系统处在宏观在小球的例子中，系统处在宏观 n1,n2 的微观状态数为：的微观状态数为：第42页，共98页，编辑于2022年，星期一相空间相空间微观粒子运动状态的经典描述。广义坐标微观粒子运动状态的经典描述。广义坐标 广义动量广义动量 哈密顿量哈密顿量 广义坐标广义坐标 和和 广义动量广义动量 构构成的成的 2d 维直角坐标空间称为维直角坐标空间称为相空间相空间。一个粒子的状态可以用向空间的一个。一个粒子的状态可以用向空间的一个点代表。粒子运动时，其代表点在相空间中的轨道称为点代表。粒子运动时，其代表点在相空间

32、中的轨道称为相轨道，相轨道，相轨道确定相轨道确定后，离子的哈密顿量就确定了。后，离子的哈密顿量就确定了。例：质点的相空间维数为例：质点的相空间维数为6。运动方程运动方程相空间与相轨道相空间与相轨道第43页，共98页，编辑于2022年，星期一当粒子在相空间中的当粒子在相空间中的分布确定分布确定时时，系统的系统的统计性质统计性质就就确定确定了了，进而系统的所有进而系统的所有宏观性质宏观性质也随之也随之确定。确定。对于多粒子系统，确定这个系统的状态需要知道所有粒子在相空间的对于多粒子系统，确定这个系统的状态需要知道所有粒子在相空间的位置和轨道。这一般是不可能的。统计物理认为：位置和轨道。这一般是不可

33、能的。统计物理认为：子空间子空间为了确定系统的宏观统计性质，将相空间划分为若干个子空间。知道分子为了确定系统的宏观统计性质，将相空间划分为若干个子空间。知道分子在这些子空间的分布，就知道了系统在这个精度下的统计性质。在这些子空间的分布，就知道了系统在这个精度下的统计性质。例：二项例：二项分布里子空间个数为分布里子空间个数为2。为了使用微积分，将子空间的体积减小到适合于进行微分运算。为了使用微积分，将子空间的体积减小到适合于进行微分运算。第44页，共98页，编辑于2022年，星期一对于处于平衡态的孤立系统，其各个对于处于平衡态的孤立系统，其各个可能的微可能的微观态观态出现的出现的概率都相等概率都

34、相等。Boltzmann如果平衡态下孤立系统的相空间体积为如果平衡态下孤立系统的相空间体积为，则粒子在子空间，则粒子在子空间 的概率均为：的概率均为：二、等概率原理二、等概率原理（统计物理的最基本假设）（统计物理的最基本假设）数学表达：数学表达：第45页，共98页，编辑于2022年，星期一理想气体的分布理想气体的分布 对于理想气体，由于分子间无相互作用力，一个分子在对于理想气体，由于分子间无相互作用力，一个分子在 一子空间的存在一子空间的存在不会影响其他粒子占据各个子空间的概率不会影响其他粒子占据各个子空间的概率（独立事件）。（独立事件）。微观状态微观状态N 个分子在个分子在 k 个子空间的总

35、微观状态数为个子空间的总微观状态数为 kN。(两个子空间两个子空间:二相分布二相分布2N)宏观状态宏观状态K-1 个隔板与个隔板与N个粒子混合的组合数，就是宏观状态数。个粒子混合的组合数，就是宏观状态数。宏观状态数为：宏观状态数为：第46页，共98页，编辑于2022年，星期一从宏观看，对于一个分布从宏观看，对于一个分布 al，任意一对粒子交换不会改变系统的宏观性质。，任意一对粒子交换不会改变系统的宏观性质。这种交换有这种交换有 w w 种，种，因此出现宏观状态因此出现宏观状态al 的概率为：的概率为：k=2回到二项分布。回到二项分布。系统出现微观状态分布：系统出现微观状态分布：a1,a2,.a

36、k 的概率为：的概率为：等概率原理等概率原理+独立事件独立事件第47页，共98页，编辑于2022年，星期一三、最概然分布三、最概然分布（不是假设，可以证明）（不是假设，可以证明）在在平衡状态平衡状态下，如果分子数目足够大，宏观系统的状态可以用下，如果分子数目足够大，宏观系统的状态可以用最大最大概然分布概然分布代表，其他分布的情况可以忽略不计。代表，其他分布的情况可以忽略不计。计算理想气体的最大概然分布计算理想气体的最大概然分布第48页，共98页，编辑于2022年，星期一Stirling 公式公式更精确的更精确的Stirling公式：公式：当当m足够大时，第二项相比第一项可以忽略。足够大时，第二

37、项相比第一项可以忽略。应用应用Stirling公式：公式：第49页，共98页，编辑于2022年，星期一不是独立变量不是独立变量用拉格朗日用拉格朗日(Lagerangien)乘子法：乘子法：解得最大概然分布：解得最大概然分布：其中其中显然不对！显然不对！第50页，共98页，编辑于2022年，星期一令令 ：Maxwell-Boltzmann 分布分布几点说明：几点说明：（1）只给出粒子的极限分布，需要证明只给出粒子的极限分布，需要证明MB分布分布是所有分布的最概然分布，即是所有分布的最概然分布，即第51页，共98页，编辑于2022年，星期一（2）在推导中对于所有的）在推导中对于所有的 都用到了都用

38、到了Stirling公式，这要求所有的公式，这要求所有的 都远大于都远大于1。这个条件在实际中往往并不满足。这是推导中的一个严重缺陷。这个条件在实际中往往并不满足。这是推导中的一个严重缺陷。严格意义的推导需要系综理论，在统计物理课程中要详细讨论。严格意义的推导需要系综理论，在统计物理课程中要详细讨论。（3）在讨论中假设系统只含有一种粒子，即系统是单元系。这个限制）在讨论中假设系统只含有一种粒子，即系统是单元系。这个限制不是原则性的，可以把理论推广到含有多个组元的情形。不是原则性的，可以把理论推广到含有多个组元的情形。（4）当系统粒子数充分大时，）当系统粒子数充分大时，MB分布就是系统在平衡态时

39、所取得分布形分布就是系统在平衡态时所取得分布形式。式。可以证明：当可以证明：当 N 充分大时，所有对最大概然分布的偏离的分布出现几充分大时，所有对最大概然分布的偏离的分布出现几率都趋于率都趋于0。第52页，共98页，编辑于2022年，星期一估计一个对估计一个对 al*分布的小的偏离分布的小的偏离:=0对于宏观系统对于宏观系统 ，设对最大概然分布的偏离为，设对最大概然分布的偏离为第53页，共98页，编辑于2022年，星期一偏离出现的相对几率：偏离出现的相对几率：可以认为：对于平衡态系统，当系统的粒子数很大时，可以认为：对于平衡态系统，当系统的粒子数很大时，最大概然分布的出最大概然分布的出现几率为

40、现几率为1，其他分布的出现几率为，其他分布的出现几率为0。(5)当系统粒子数不太大时，粒子数分布可能明显当系统粒子数不太大时，粒子数分布可能明显偏离偏离MB分布分布，这种情，这种情况被称为况被称为涨落涨落。MB分布在其和空间为均匀分布，因而张罗表现为分布在其和空间为均匀分布，因而张罗表现为密度涨密度涨落落。大气中的密度涨落效应是是引起。大气中的密度涨落效应是是引起光散射光散射的主要原因。的主要原因。一束光入射气体时，一部分光受到介质的作用脱离原方向，使原方向上的光强减弱，此现象一束光入射气体时，一部分光受到介质的作用脱离原方向，使原方向上的光强减弱，此现象称为光的散射。分子热运动导致的密度涨落

41、首先会引起空气折射率的改变，其次会引起空气称为光的散射。分子热运动导致的密度涨落首先会引起空气折射率的改变，其次会引起空气的电极化强度矢量发生变化，两者都会在入射方向以外产生次波，形成散射光。纯粹因分子的电极化强度矢量发生变化，两者都会在入射方向以外产生次波，形成散射光。纯粹因分子热运动导致密度涨落而引起的散射称为分子散射。热运动导致密度涨落而引起的散射称为分子散射。第54页，共98页，编辑于2022年，星期一例题例题在标准状况下大气的数密度为在标准状况下大气的数密度为 ，计算以一个光波长为边长的立方体内，系统偏，计算以一个光波长为边长的立方体内，系统偏离离MB分布分布0.1%的几率。的几率。

42、解：解：紫光：紫光：红光：红光：瑞利瑞利(Rayleigh)散射定律散射定律：，这解释了为什么晴空明亮为蔚蓝色；这解释了为什么晴空明亮为蔚蓝色；旭日东升或夕阳西下时的朝霞和晚霞。旭日东升或夕阳西下时的朝霞和晚霞。第55页，共98页，编辑于2022年，星期一讨论讨论由于系统的微观状态是对分子是等概率的，所以宏观最大概然分布是微观状态由于系统的微观状态是对分子是等概率的，所以宏观最大概然分布是微观状态数最多的分布。即：数最多的分布。即：系统在平衡态时微观状态数最多。系统在平衡态时微观状态数最多。（最无序）最无序）定义态函数熵：定义态函数熵：上面的分析说明系统在上面的分析说明系统在平衡态时熵值最大平

43、衡态时熵值最大。从非平。从非平衡态（非最大概然分布）到平衡态的过程是衡态（非最大概然分布）到平衡态的过程是自发自发的，在的，在此过程中此过程中系统熵值一定增加系统熵值一定增加。这就是热力学第二定。这就是热力学第二定律的微观图像。律的微观图像。在等分相空间的情况下有在等分相空间的情况下有 Boltzmann 公式公式：第56页，共98页，编辑于2022年，星期一四、从四、从M-B 最大概然分布到麦克斯韦速度分布最大概然分布到麦克斯韦速度分布M-B 分布：分布：定义定义配分函数配分函数由于由于第57页，共98页，编辑于2022年，星期一理想气体只有动能。单个粒子动能为：理想气体只有动能。单个粒子动

44、能为：计算配分函数：计算配分函数：上下同乘上下同乘第58页，共98页，编辑于2022年，星期一利用理想气体状态方程与压强公式：利用理想气体状态方程与压强公式：第59页，共98页，编辑于2022年，星期一带入带入 M-B 分布。位置处于分布。位置处于 x,y,z,动量处于动量处于px,py,pz 的粒子数为的粒子数为第60页，共98页，编辑于2022年，星期一麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布由此可知：由此可知：麦克斯韦速度分布与麦克斯韦速率分布都是麦克斯韦速度分布与麦克斯韦速率分布都是理想气体理想气体的的最大概然分布最大概然分布。它们在系统处于平衡态时才成立它们在系统处于平衡态时才成立。麦克斯韦

45、速率分布麦克斯韦速率分布第61页，共98页，编辑于2022年，星期一第五节第五节 波尔兹曼分布的一般形式波尔兹曼分布的一般形式一、重力场中微粒按高度的等温分布律一、重力场中微粒按高度的等温分布律高度高度z附近、厚度为附近、厚度为dz、面积为、面积为dS的方框中的气的方框中的气体，平衡时体，平衡时对于理想气体：对于理想气体：等温条件等温条件以上推导的是理想气体系统在无外力场情况下的平衡态的分布。以上推导的是理想气体系统在无外力场情况下的平衡态的分布。推广推广：理想气体在有外力场情况下的平衡态分布。理想气体在有外力场情况下的平衡态分布。代入上式代入上式解得：解得：代入理想气体方程：代入理想气体方程

46、：等温气压公式等温气压公式第62页，共98页，编辑于2022年，星期一小框中粒子的数目为小框中粒子的数目为底面积为底面积为dS的柱体中的微粒总数为的柱体中的微粒总数为重力场中微粒按高度重力场中微粒按高度的分布律为的分布律为在由外力场作用下粒子的空间分布不是均匀分布。在由外力场作用下粒子的空间分布不是均匀分布。从等温气压公式到粒子空间分布从等温气压公式到粒子空间分布第63页，共98页，编辑于2022年，星期一二、玻尔兹曼密度分布律二、玻尔兹曼密度分布律根据重力场中微粒按高度的分布中的根据重力场中微粒按高度的分布中的 为重力势能，玻尔兹为重力势能，玻尔兹曼将之推广到任意势能函数，得到曼将之推广到任

47、意势能函数，得到此即此即 波尔兹曼密度分布律。波尔兹曼密度分布律。在这种情况下，粒子的空间分布不再是均匀分在这种情况下，粒子的空间分布不再是均匀分布，而是布，而是与势函数形式有关。与势函数形式有关。例如：回转体中的微粒例如：回转体中的微粒龙卷风、台风、飓风等有眼，呈龙卷风、台风、飓风等有眼，呈漏斗状。漏斗状。不同质量的分子在不同质量的分子在 r 上的分上的分布不同，可以用于物质分离。布不同，可以用于物质分离。第64页，共98页，编辑于2022年，星期一三、麦克斯韦三、麦克斯韦玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律Maxwell分布是速度空间的分布。分布指数中分布是速度空间的分布。分布指数中即即Boltz

48、mann分布是位置空间的分布。分布指数中分布是位置空间的分布。分布指数中即即特点：动能由动量空间决定，势能由位置空间决定。特点：动能由动量空间决定，势能由位置空间决定。一方面，粒子的动能与其所在位置无关，而只与粒子的速度有关；另一方一方面，粒子的动能与其所在位置无关，而只与粒子的速度有关；另一方面，所有势能都与只与粒子所处位置有关，而与粒子的动能无关；两种分面，所有势能都与只与粒子所处位置有关，而与粒子的动能无关；两种分布独立。布独立。（只适用于理想气体）（只适用于理想气体）第65页，共98页，编辑于2022年，星期一气体分子取那个速度与它的位置无关（独立事件）气体分子取那个速度与它的位置无关

49、（独立事件），因而气体在有势场，因而气体在有势场中的分布应为中的分布应为记记 为包括各种形式的动能和各种形式的势能的总能量，即有麦为包括各种形式的动能和各种形式的势能的总能量，即有麦克斯韦克斯韦玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律此分布适用于任意经典热力学系统。此分布适用于任意经典热力学系统。第66页，共98页，编辑于2022年，星期一第六节第六节 能量均分定理与热容量能量均分定理与热容量一、分子的自由度一、分子的自由度自由度自由度：决定物体位置状态所需要的：决定物体位置状态所需要的独立坐标独立坐标。分子有一定的构形，所以有一定的自分子有一定的构形，所以有一定的自由度。由度。单原子分子单原子分子，有一

50、定体积。刚体近似：有，有一定体积。刚体近似：有6个自由度；质点近似：有个自由度；质点近似：有3个个自由度。自由度。双原子分子双原子分子，如，如 O2,HCl,有有6个个自由度：自由度：3个平动，个平动，2个转动，个转动，1个振动。个振动。三原子分子三原子分子，如，如 H2O,有有9个个自由度：自由度：3个平动，个平动，3个转动，个转动，3个振动。个振动。四原子分子四原子分子，如，如 NH3,有有12个个自由度：自由度：3个平动，个平动，3个转动，个转动，6个振动。个振动。第67页，共98页，编辑于2022年，星期一一般地，一般地，n 原子分子有原子分子有 3n 个自由度：个自由度：3个平动、个