《24223切线长定理和三角形的内切圆(1)课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《24223切线长定理和三角形的内切圆(1)课件.pptx（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、（2）直线）直线l和和 O相切相切 （1）直线）直线l 和和 O相离相离（3）直线）直线l 和和 O相交相交drd=rdrdorldorlodrl1.直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系(1)若直线与圆的一个若直线与圆的一个公共点已指明公共点已指明，则连接这点和圆心，然后说明直线垂直于则连接这点和圆心，然后说明直线垂直于经过这点的半径；经过这点的半径；连半径，证垂直连半径，证垂直(2)若直线与圆的若直线与圆的公共点未指明公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径线段的长等于圆的半径作垂直，证相等作垂直，证相等2.2.证明直线是圆的
2、切线有如下两种方法证明直线是圆的切线有如下两种方法:画一画画一画O PO P1.已知已知O上有一点上有一点P,P,你能过点你能过点p p作出作出O的切线吗的切线吗?2.已知已知O外有一点外有一点P,P,你还能过点你还能过点P P点作出点作出O的切的切线吗线吗?oop1.连结连结OP2.以以OP为直径作为直径作 O，与与 O交于交于A、B两点。两点。AB即直线即直线PA、PB为为 O的切线的切线如图，已知如图，已知 O外一点外一点P，你能用尺规过点，你能用尺规过点P作作 O的切线吗？的切线吗？通过作图你能发现什么呢？通过作图你能发现什么呢？1.过圆外一点作圆的切线可以作两条过圆外一点作圆的切线可
3、以作两条2.点点A和点和点B关于直线关于直线OP对称对称经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，的长，叫做这点到圆的切线长。叫做这点到圆的切线长。切线长是切线长是一条线段一条线段如图，过圆外一点有两条直线如图，过圆外一点有两条直线PAPA、PBPB与与O相切。相切。在经过圆外一点的圆的切线上，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之这点和切点之间间的线段长，叫做这点到圆的的线段长，叫做这点到圆的切线长切线长。ABPO。切线与切线长的区别与联系：切线与切线长的区别与联系：（1 1）切线是一条与圆相切的直线；切线是一条与圆相切的直线；（2 2）
4、切线长是指切线长是指切线上切线上某一点与切点间的线段某一点与切点间的线段的长。的长。opAB如图，如图，PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点。如果连结为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的，图中的PA与与PB，APO与与BPO有什么关系？有什么关系？PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点OAPA，OBPB又又OAOB，OPOPRtAOP RtBOPPAPB，APOBPO切线长定理：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。opABPA、PB
5、是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点PAPB，APOBPO如图，若连接如图，若连接AB，则，则OP与与AB有什么关系？有什么关系？PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点PAPB，APOBPOOPAB，且，且OP平分平分ABCD从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。成的弧。AD与与BD相等吗？相等吗？我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有五个五个性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、
6、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个六个例1已知已知，如图，如图，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点为切点.直线直线OP交交 O于点于点D、E，交，交AB于于C.（1）写出图中所有的垂直关系；）
7、写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形.（3）如果）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径求半径OA的长的长.AOCDPBE解：解：(1)OAPA,OBPB,OPAB(2)OAPOBP,OCAOCBACPBCP.(3)设设OA=xcm,则则PO=PD+x=2+x(cm)在在RtOAP中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 PA2+OA2=OP2 即即42+x2=(x+2)2 解得解得x=3cm 所以，半径所以，半径OA的长为的长为3cm.POABc如图，如图，P为为 O外一点，外一点，PA、PB分别切分别切 O于于A、B两点，两点，OP交交 O于于C，若
8、，若PA6，PC2，求，求 O的半径的半径OA及及两切线两切线PA、PB的夹角。的夹角。解：解：连接连接OA、AC，则，则OAAP在在RtAOP中，设中，设OAx则则OPx2OA2PA2OP2即即x262（x2）2解得解得x2 ，即，即OAOC2OP4 在在RtAOP中，中，OP2OAAPO30PA、PB是是 O的切线的切线APB2APO60O的半径为的半径为2 ，两切，两切线的夹角为线的夹角为60ABCDEO21例2如图，已知：在如图，已知：在ABC中，中，B90，O是是AB上一点，以上一点，以O为圆心，为圆心，OB为半径的圆交为半径的圆交AB于点于点E，切，切AC于点于点D。求证：。求证：
9、DEOC证明：连接证明：连接，为，为 的半径的半径是是 的切线的切线是是 的切线，是切点的切线，是切点，是是 的直径的直径，即，即例1、已知：PA，PB分别切O于A、B，CD切O于E,PO=13,AO=5,则PCD周长为 _ 切线长定理的应用解：PA是切线APAO又PO=13，AO=5AP=12又 PB是切线 PB=PA=12又 CD是切线 DA=DE，CE=CB PCD周长=PD+PC+CD =PD+PC+DE+CE =PA+PB =24E练习练习1、如图，如图，PA、PB分别切圆分别切圆O于于A、B，并与，并与 O的切线的切线DC分别相交于分别相交于C、D，已知，已知PA=7cm，则，则P
10、CD的周长等于的周长等于_切线长定理的应用。PBAO（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点想一想想一想常见辅助线常见辅助线已知：如图已知：如图,PA,PA、PBPB是是OO的切线，切点分别是的切线，切点分别是A A、B B，Q Q为为ABAB上一点，过上一点，过Q Q点作点作OO的切线，交的切线，交PAPA、PBPB于于E E、F F点，已知点，已知PA=12CMPA=12CM，求，求PEFPEF的周的周长。长。EAQPFBO易证易证EQ=EA,FQ=FB,EQ=EA,FQ=FB,PA=PB PA=PB PE+EQ=
11、PA=12cmPF+FQ=PF+FQ=PB=PAPB=PA=12cm=12cm周长为24cm 例题例题1变式：变式：如图所示如图所示PA、PB分别切分别切圆圆O于于A、B，并与圆，并与圆O的切线分别相交于的切线分别相交于C、D，已知，已知PA=7cm，(1)求求PCD的周长的周长(2)如果如果P=46,求求COD的度数的度数C OPBDAE 如图是一块三角形木料，木工师傅要如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？的圆的面积尽可能大呢？ABC三角形的内切圆的定义：三角形的内切圆的定义：ABC和三角形各边都相切的
12、圆叫和三角形各边都相切的圆叫三角形三角形的内切圆的内切圆 三角形叫三角形叫圆的外切三角形圆的外切三角形定定 义义 如图，是一张三角形的铁皮，如何在它如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？积尽可能大呢？ICABDEF I I与与ABCABC的三边的三边相相切切于点于点D D、E E、F.F.因此因此ID=IE=IF=IID=IE=IF=I的半径的半径r r.问题：问题：作圆的关键是什么？作圆的关键是什么？问题：问题：怎样确定圆心的位置？怎样确定圆心的位置？问题：问题：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？圆心的位置确定
13、后怎样确定圆的半径？ABC（确定圆心和半径）（确定圆心和半径）（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）作圆，使它和已知三角形的各边都相切作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知：已知：ABC（如图）（如图）求作：和求作：和ABC的各边都相切的圆的各边都相切的圆问题问题:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗?（不能）（不能）任何一个三角形都只有一个内切圆任何一个三角形都只有一个内切圆 如何作出这个圆？（尺规作图）如何作出
14、这个圆？（尺规作图）ICABEDFu与三角形的各边都相切的与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的圆叫做三角形的内切圆内切圆，内，内切圆的圆心是三角形切圆的圆心是三角形三条角三条角平分线的交点平分线的交点，叫做三角形，叫做三角形的的内心内心。u三角形的内心到三角形三三角形的内心到三角形三边的距离相等。边的距离相等。3、以、以I为圆心，为圆心，ID为半径作为半径作 I，I就是所求的圆就是所求的圆.作圆，使它和已知三角形的各边都相切作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知：已知：ABC（如图）（如图）求作：和求作：和ABC的各边都相切的圆的各边都相切的圆ABCMNID作法：作法：1 1、作、作ABCAB
15、C、ACBACB的平分线的平分线BMBM和和CNCN，交点为，交点为I.I.2 2、过点、过点I I作作IDBCIDBC，垂足为，垂足为D.D.三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的内心内心三角形的内心到三边的距离相等三角形的内心到三边的距离相等三角形的内心是三角形角平分线的交点三角形的内心是三角形角平分线的交点三角形的内心一定在三角形的内部三角形的内心一定在三角形的内部三角形内心的性质定义：和多边形各边都相切的圆定义：和多边形各边都相切的圆叫做叫做，这个，这个多边形叫做多边形叫做。多边形的内切多边形的内切圆圆圆的外切多边形圆的外切多边形内切内切外切外切如上图，四边形如上图，
16、四边形DEFG是是 O的的四边形，四边形，O是四边形是四边形DEFG的的圆，圆，DEFG.O思考思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？(菱形，正方形一定有内切圆菱形，正方形一定有内切圆)定定 义义例例2、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA和和圆圆OO分别相切于点分别相切于点L L、M M、N N、P P，求证：求证：AD+BC=AB+CD AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得证明：由切线长定理得
17、AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC，DN=DPDN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即即 AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC补充：补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等1.1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；2.2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；分线的交点；4.4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三
18、边的距离相等。名称名称确定方法确定方法图形图形性质性质 内内 心心（三角形（三角形内切圆的内切圆的圆心）圆心）三三角角形形三三边边中中垂垂线线的交点的交点三角形三条三角形三条角平分线的角平分线的交点交点(1)OA=OB=OC(2)外心不一定在外心不一定在三角形的内部三角形的内部（1）到三边的）到三边的距离相等；距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三）内心在三角形内部角形内部 外外 心心(三角形三角形外接圆的外接圆的圆心圆心)如图，在如图，在ABC中，点中，点O是内心，是内心，（1）若）若ABC=50，ACB=70，求，求BOC的度数的度数ABCO
19、（2 2）若）若A=80,A=80,则则BOC=BOC=度。度。（3 3）若）若BOC=100 BOC=100，则，则A=A=度。度。BOC=180-（ABC ACB）12=180 60=120 同理同理 OCB=OCA=12ACB=35 解解（1）点点O是是ABC的内心，的内心，ABC=25 OBC=OBA=12试探讨试探讨BOC与与A之间存在怎样的数量关系？之间存在怎样的数量关系？请说明理由请说明理由如图，如图，ABCABC中，中，ABC=50ABC=500 0,ACB=75ACB=750 0,点点O O是内心，求是内心，求BOCBOC的度数。的度数。CABO例例1 ABCABC的内切圆的
20、内切圆的内切圆的内切圆 O O与与与与BCBC、CACA、ABAB分别相切于分别相切于分别相切于分别相切于点点点点D D、E E、F F，且，且，且，且AB=9cmAB=9cm，BC=14cmBC=14cm，CA=13cmCA=13cm，求求求求AFAF、BDBD、CECE的长的长的长的长.解解:设设设设AF=x(cm),BD=y(cm),CEAF=x(cm),BD=y(cm),CEz(cm)z(cm)AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).O O与与与与ABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切AFAFAE
21、,BDAE,BDBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xy y9 9y yz z1414x xz z1313解得解得解得解得x x4 4y y5 5z z9 9思考：如果如果ABCABC的周长的周长的周长的周长为为为为m,m,面积为面积为面积为面积为s s，那么内切圆的那么内切圆的那么内切圆的那么内切圆的半径半径半径半径r r是多少？是多少？是多少？是多少？BDEFOCA如图，如图，ABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r,ABC的周长为的周长为l,求求ABC的面积的面积S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、O
22、F，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOCSAOCABODBCOEACOFlr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径r2Sabc三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆三角形的内切圆已知已知:如图如图,ABC,ABC的面积的面积S=4cmS=4cm2 2,周长等于周长等于10cm.10cm.求内切圆求内切圆O O的半径的半径r r.ABCOODEFw老师提示老师提示:wABCABC的面积的面积=AOB=AOB的面积的面积+BOC+BOC的面积的面积+AOC+AOC的面积的面积.ABCEDFO如图，
23、如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb,ABc,O为为RtABC的内切圆的内切圆.求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.设设设设AD=AD=x x,BE=,BE=y y,CE,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr rb by yr ra ax xy yc c解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r rabc2设设RtABC的
24、直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径r或或rabc2ababc直角三角形的内切圆直角三角形的内切圆已知已知:如图如图,OO是是RtABCRtABC的内切圆的内切圆,C,C是直角是直角,AC=3,BC=4.,AC=3,BC=4.求求O O的半径的半径r r.ABCOODEF练习练习1.1.已知三角形的内切圆半径为已知三角形的内切圆半径为3 3，三角形的，三角形的周长为周长为2020，则该三角形的面积为，则该三角形的面积为 。CABO2 2、RtABCRtABC中，斜边中，斜边AB=10cmAB=10cm，AC=6cmAC=6cm，则，则内切圆半
25、径为内切圆半径为 .ABCO3 3、如图、如图,ABC,ABC中，中，AB=AC=10cmAB=AC=10cm，BC=8cmBC=8cm，求求ABCABC的外接圆半径的外接圆半径r和内切圆半径和内切圆半径R.CABDOI（A）梯形）梯形（B）菱形）菱形（C）矩形）矩形（D）平行四边形）平行四边形1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（）2、如如图图，ABC中中，E是是内内心心，A的的平平分分线线和和ABC的的外接圆相交于点外接圆相交于点D.求证：求证：DEDB练练 习习3、如如图图，菱菱形形ABCD中中，周周长长为为40，ABC=120，则则内内切圆的半径
26、为（切圆的半径为（）（A）（B）（C）（D）4、如如图图，O是是ABC的的内内切切圆圆，D、E、F是是切切点点，A=50，C=60，则，则DOE=（）（A）70（B）110（C）120（D）1305、等等边边三三角角形形的的内内切切圆圆半半径径、外外接接圆圆的的半半径径和和高高的的比比为为（）（A）1 （B）122（C）1 2 2（D）123236、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（）（A）矩形）矩形（B）菱形）菱形（C）正方形）正方形（D）平行四边形）平行四边形7、画一个边长为、画一个边长为3cm的等边三角形，在画出它的内切圆的等边三角形，在画出它的内切圆
27、 1 1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法作法.2 2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。内切圆、圆的外切多边形的概念。3 3、学习、学习 时要明确时要明确“接接”和和“切切”的含义、弄清的含义、弄清“内心内心”与与“外心外心”的区别，的区别，4 4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运
28、用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。归纳总结归纳总结1、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。3月-233月-23Thursday,March 30,20232、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。23:44:5623:44:5623:443/30/2023 11:44:56 PM3、越是没有本领的就越加自命不凡。3月-2323:44:5623:44Mar-2330-Mar-234、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。23:44:5623:44:5623:44Thursday,March 30,20235、知人者智，自知
29、者明。胜人者有力，自胜者强。3月-233月-2323:44:5623:44:56March 30,20236、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。30 三月 202311:44:56 下午23:44:563月-237、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。三月 2311:44 下午3月-2323:44March 30,20238、业余生活要有意义，不要越轨。2023/3/30 23:44:5623:44:5630 March 20239、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。11:44:56 下午11:44 下午23:44:563月-2310、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。3/30/2023 11:44:56 PM23:44:5630-3月-2311、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。3/30/2023 11:44 PM3/30/2023 11:44 PM3月-233月-2312、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。30-Mar-2330 March 20233月-2313、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。Thursday,March 30,202330-Mar-233月-2314、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自己眷恋了。3月-2323:44:5630 March 202323:44谢谢大家谢谢大家