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1、第七节函数展开成第七节函数展开成傅里叶级数傅里叶级数本讲稿第一页，共五十六页一一.三角级数三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性在高等数学学习当中，接触两类在高等数学学习当中，接触两类基函数基函数：函数在函数在一点一点的性质的性质 周期函数周期函数(整体性质整体性质)Fourier级数级数三角级数三角级数 表达周期函数表达周期函数本讲稿第二页，共五十六页谐波分析谐波分析称为三角级数称为三角级数.简单的周期运动简单的周期运动:复杂的周期运动复杂的周期运动:得级数得级数(一一)三角级数三角级数 表达周期函数表达周期函数本讲稿第三页，共五十六页1757年年,法国数学家法国数学家克莱罗克莱罗在
2、研究太阳引起的摄动时在研究太阳引起的摄动时,大胆地采用了三角级数表示函数大胆地采用了三角级数表示函数:1759年年,拉格朗日拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数在对声学的研究中使用了三角级数.1777年年,欧拉欧拉在天文学的研究中在天文学的研究中,用三角函数的正交性用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角函数时的系数得到了将函数表示成三角函数时的系数.也就是现今教科书中傅立叶级数的系数也就是现今教科书中傅立叶级数的系数.本讲稿第四页，共五十六页 在历史上在历史上,三角级数三角级数的出现和发展与求解微分方程的出现和发展与求解微分方程 1753年年.丹丹 贝努利贝努利首先提出将弦振动方程的解表示
3、为首先提出将弦振动方程的解表示为是分不开的是分不开的.三角级数的形式三角级数的形式,这为傅立叶级数题奠定了物理基础这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展促进了它的发展.1822年,傅立叶傅立叶在在 热的解析理论热的解析理论 一书中一书中对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的,特殊的情形特殊的情形采用的三角级数方法进行加工处理采用的三角级数方法进行加工处理,发展成一般理论发展成一般理论.傅立叶傅立叶指出指出:可以展开成级数可以展开成级数本讲稿第五页，共五十六页其中其中本讲稿第六页，共五十六页证证:同理可证同理可证:正交正交,上的积分等于上的积分等于 0.即其中即
4、其中任意两个不同任意两个不同的函数之积在的函数之积在机动 目录 上页 下页 返回 结束(二二)、三角函数系的正交性、三角函数系的正交性本讲稿第七页，共五十六页上的积分不等于上的积分不等于 0.且有且有 但是在三角函数系中两个但是在三角函数系中两个相同相同的函数的乘积在的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第八页，共五十六页二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数问题问题:2.展开的条件是什么展开的条件是什么?且能展开成三角级数且能展开成三角级数本讲稿第九页，共五十六页(利用正交性利用正交性)本讲稿第十页，共五十六页(利用正交性利用正交性)本讲稿第十一页，共五十六页傅
5、里叶系数傅里叶系数本讲稿第十二页，共五十六页代入傅里叶系数的三角级数称为代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数傅里叶级数问题问题:在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?狄利克雷狄利克雷于于1829年第一次对于傅立叶级数的收敛性年第一次对于傅立叶级数的收敛性给出了严格的证明给出了严格的证明.得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则.本讲稿第十三页，共五十六页定理定理(收敛定理收敛定理,展开定理展开定理)设设 f(x)是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数,并满足并满足狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1)
6、在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点,则则 f(x)的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛,且有且有 x 为间断点为间断点其中其中(证明略证明略)为为 f(x)的傅的傅里里叶系数叶系数.x 为连续点为连续点注意注意:函数展成傅函数展成傅里里叶级数的条件叶级数的条件比展成幂级数的比展成幂级数的条件低得多条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十四页，共五十六页则有则有则有则有有有既既本讲稿第十五页，共五十六页例例1.设设 f(x)是是周期为周期为 2 的周期函数的周期函数,它在它在
7、 上的表达式为上的表达式为解解:先求傅先求傅里里叶系数叶系数将将 f(x)展成傅展成傅里里叶级数叶级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十六页，共五十六页机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十七页，共五十六页1)根据收敛定理可知根据收敛定理可知,时时,级数收敛于级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近傅氏级数的部分和逼近说明:f(x)的情况见右图的情况见右图.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十八页，共五十六页 不同频率不同频率正弦波正弦波逐个叠加成逐个叠加成方波方波物理意义物理意义本讲稿第十九页，共五十六页本讲稿第二十页，共五十六页本讲稿第二十一页，共五十六页本讲稿第
8、二十二页，共五十六页本讲稿第二十三页，共五十六页本讲稿第二十四页，共五十六页傅里叶级数展开式的意义傅里叶级数展开式的意义函数的整体逼近函数的整体逼近.本讲稿第二十五页，共五十六页解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.例例2本讲稿第二十六页，共五十六页本讲稿第二十七页，共五十六页本讲稿第二十八页，共五十六页非周期函数展开成傅里叶级数非周期函数展开成傅里叶级数并且满足收敛定理的条件，并且满足收敛定理的条件，可利用周期的可利用周期的延拓延拓展开成傅里叶级数，展开成傅里叶级数，本讲稿第二十九页，共五十六页周期延拓周期延拓傅傅里里叶展开叶展开上的傅上的傅里里叶级数叶级数定义在定义
9、在 ,上的函数上的函数 f(x)的傅氏级数展开的傅氏级数展开法法其它其它机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十页，共五十六页例例3.将函数将函数级数级数.则则解解:将将 f(x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里叶叶2 为为周期周期的函数的函数 F(x),机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十一页，共五十六页机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十二页，共五十六页物理意义物理意义不同频率不同频率余弦波余弦波逐个叠加成逐个叠加成锯齿波锯齿波本讲稿第三十三页，共五十六页利用此傅氏展开式求利用此傅氏展开式求几个几个特殊的级数的和特殊的级数的和本讲稿第三十四页，共五十六页本
10、讲稿第三十五页，共五十六页例例4.将函数将函数展成傅里叶级数展成傅里叶级数,其其中中E E 为正常数为正常数.解解:延拓成以延拓成以2 2 为周为周期期 的的函数函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十六页，共五十六页机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十七页，共五十六页例例5 5解解本讲稿第三十八页，共五十六页三、正弦级数或余弦级数三、正弦级数或余弦级数1.奇函数与偶函数的傅里叶级数奇函数与偶函数的傅里叶级数本讲稿第三十九页，共五十六页证证奇函数奇函数同理可证同理可证(2)偶函数偶函数证毕证毕本讲稿第四十页，共五十六页定义定义本讲稿第四十一页，共五十六页解解所给函数满
11、足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.例例本讲稿第四十二页，共五十六页和和函函数数图图象象本讲稿第四十三页，共五十六页本讲稿第四十四页，共五十六页观观察察两两函函数数图图形形本讲稿第四十五页，共五十六页2.在在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓 F(x)f(x)在 0,上展成周期延拓 F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f(x)在 0,上展成机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四十六页，共五十六页例例1.将函数将函数分别展成正弦级分别展成正弦级数与余弦级数数与余弦级数.解解:先求正弦级数先求正弦级数.去掉端点去掉端点,将将 f(x)作作
12、奇周期延拓奇周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四十七页，共五十六页注意注意:在端点在端点 x=0,级数的和为级数的和为0,与给定函数与给定函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此得因此得 f(x)=x+1 的值不同的值不同.本讲稿第四十八页，共五十六页本讲稿第四十九页，共五十六页再求余弦级数再求余弦级数.将则有则有作,偶周期延拓偶周期延拓 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第五十页，共五十六页说明说明:令 x=0 可得即机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第五十一页，共五十六页本讲稿第五十二页，共五十六页内容小结内容小结1.周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 其中注意注意:若为间断点,则级数收敛于机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第五十三页，共五十六页2.周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3.在 0,上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓,展开为正弦级数 作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在 0,上的函数的傅里里叶展开法唯一吗?答答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习本讲稿第五十四页，共五十六页