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1、 关于函数的恒成立、存在性（能成立）问题关于二次函数的恒成立、存在性（能成立）问题是常考考点，其基本原理如下：（1）已知二次函数，则：；（2）若表述为：“已知函数”，并未限制为二次函数，则应有：；注：在考试中容易犯错，要特别注意！恒成立问题与存在性（能成立）问题，在解决此类问题时，可转化为其等价形式予以解答，将此类问题的可能出现的17种情形归纳总结大全如下，并通过常考例题进行讲解：已知定义在上的函数，（1），都有（是常数）成立等价于（）（2），都有（是常数）成立等价于（）（3），都有成立等价于（）（4），都有成立等价于（）（5），都有成立等价于（6），使得成立等价于（7），使得成立等价于（8）
2、，使得成立等价于（9），使得成立等价于（10），使得成立等价于的值域与的值域交集不为（11），使得（是常数）成立等价于（12），都有（是常数）成立等价于且特别地，都有（是常数）成立等价于（13），都有（是常数）成立等价于或特别地，都有（是常数）成立等价于（14），使得（是常数）成立等价于且特别地，使得（是常数）成立等价于（15），使得（是常数）成立等价于或特别地，使得（是常数）成立等价于（16），使得（是常数）成立等价于且（17），使得（是常数）成立等价于或【评注】（9），使得成立等价于所在区域能包含所在区域时，满足条件题目中有时会这样表述：对任意的，都有，使得成立，（9）的表达的意思完全相同
3、所以大家要深入理解定理中的“任意的”、“都有”的内涵：即当时，的值域不过是的子集【例1】（1）（2010山东理14）若对任意，恒成立，则的取值范围是 （2）现已知函数，且设，若有，则的最小值为A3B4C5D6（3）已知，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 （4）已知函数，对于任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是ABCD（5）已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是ABCD（6）（2008天津文10）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为ABCD（7）（2008天津理15）设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为 【解析】（1
4、），（当且仅当时取等号），即的最大值为，故答案为：（2）函数的图象是开口向上，过点，对称轴为的抛物线，由图象可知，函数在上单调递减，在上单调递增，表示，对应的函数值（图象上的点的纵坐标）之差的绝对值，结合函数图象，表示函数在区间上分成段，取每段两端点函数值差的总和，由题意可知，故选：（3）问题等价于，为上单调递增，为减函数，由 ，解得（4）法一：，当时，的值域是；法二：，令，得，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得极大值3，也是最大值；又，对于任意的，总存在，使得成立，的值域是的值域的子集，即，解得或，故选：（5）因为，则在上为单调递增函数，所以的值域为，记为，当时，在上为增函数，所以的
5、值域为，记为，由题意可得，所以，解得；当时，在上为减函数，故的值域为，记为，由题意可知，所以，解得，综上所述，实数的取值范围是故选：（6）由，可得，得，在上单调递减，所以，所以，故，即故选：（7），得，在上单调递减，所以，所以，所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为故答案为：【评注】深入理解（6）题题干中的“任意的”、“都有”的内涵：即当时，的值域不过是的子集值得关注的是：“”是指每一个这样的，是指存在这样的，理解到由函数的定义域导出值域是的子集，由此才有：（6）与（7）唯一的差别就是：（7）中要求时唯一的，如何转化“唯一”这个条件是本题的关键，与函数的单调性联系起
6、来来进行解答，需要有较强的转化问题的能力【例2】已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）若存在，使不等式成立，求的取值范围【解析】（1），函数的最小正周期（2），的值域为存在，使成立，故实数的取值范围为【例3】已知实数，且满足以下条件：，有解；，；求实数的取值范围【解析】实数，由得：；由得：时，由得：，令，则，函数在区间上为减函数，则当时，要使在上恒成立，则；综上，的取值范围是【例4】（1）已知函数，函数，对任意，存在，成立求的取值范围（）（2）已知函数，函数，对任意，存在，成立，求的取值范围（的值域是的值域的子集即可）（3）已知函数，函数，存在，存在，成立，求的取值范围（的值域与的值域的交集
7、非空）【解析】（1），当时，函数单调递增，当时，由对任意，存在，成立有，即，解得，则求的取值范围为（2），当时，函数单调递增，当时，由对任意，存在，成立有，即，解得，则求的取值范围为（3），当时，函数单调递增，当时，由对存在，存在，成立有，即且，解得或【例5】已知（1）求的解析式；（2）函数，若对任意，总存在，使成立，求取值范围【解析】（1）令，得到，即，（2）令，则，在内任取，令，则，得到在内单调递减，在内单调递增，所以值域为，当时，因为的值域是值域的子集，所以，解得【例6】（1）已知函数，若有，则的取值范围为（ ）A BCD（2）已知函数，若有，则的取值范围为A B C D【解析】（1）由
8、题可知，若有，则，即，解得，故选画出函数，的图象，要使得，只需（2），解得：，故选：【例7】（1）（2014江苏10）已知函数，若对于任意都有，则实数的取值范围为 （2）已知函数、且当时，当时，恒成立（）求，之间的关系式；（）当时，是否存在实数使得在区间上是单调函数？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由（3）（2017天津理8）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是ABCD（4）已知定义域为的函数满足（）若，求；又若，求；（）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式【解析】（1）二次函数的图象开口向上，对于任意，都有成立，即，解得，故答案为：（2）（）由已知与同时成
9、立，则必有，故（）假设存在实数，使满足题设的存在开口向上，且在上单调递增，这与上式矛盾，从而能满足题设的实数不存在【评注】本题主要考查一元二次函数的图象与性质一元二次函数的对称性、最值、单调性是每年高考必考内容，要引起重视（3）法一：当时，关于的不等式在上恒成立，即为，即有，由的对称轴为，可得处取得最大值；由的对称轴为，可得处取得最小值，则当时，关于的不等式在上恒成立，即为，即有，由（当且仅当取得最大值；由（当且仅当取得最小值2则由可得，法二：作出的图象和折线，当时，的导数为，由，可得，切点为代入，解得；当时，的导数为，由，可得舍去），切点为，代入，解得由图象平移可得，故选：法三：根据题意，作
10、出的大致图象，如图所示当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，故对于方程，解得；当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以综上，的取值范围是故选：（4）（）因为对任意，有，所以，又由，得，即，若，则，即（）因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意，有在上式中令，有又因为，所以，故或若，则，即但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾故若，则有，即，此时有且仅有一个实数解1综上，所求函数为【例8】（2012陕西理21第2问文21第3问）设函数，若对任意，有，求的取值范围【解析】函数，对任意，有，故函数在上的最大值与最小值的差，即（1）当或时，即或时，这与题设相矛盾（2）当时，即时，恒成立，所以；（3）当 时，即时，恒成立，所以；综上可得，即的取值范围是10