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1、第八章 空间解析几何与向量代数同济六版 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 1 向量及其线性运算向量及其线性运算2 数量积，向量积数量积，向量积3 平面及其方程平面及其方程4 空间直线及其方程空间直线及其方程5 曲面及其方程曲面及其方程6 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 第一次课第一次课四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1 向量及其线性运算向量及其线性运算2.向量的大
2、小向量的大小(模模):1.向量向量:(又称矢量又称矢量).既有大小既有大小,又有方向的量称为向量又有方向的量称为向量4.单位向量单位向量:3.零向量零向量:一、向量的概念一、向量的概念方向任意方向任意.记为记为5.平行向量平行向量:方向相同方向相同,或相反或相反.(零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行)6.相等向量相等向量:大小相等大小相等,方向相同方向相同.目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.向量的加减法向量的加减法三角形法则三角形法则:(1)加法：平行四边形法则：加法：平行四边形法则：(3)加法满足交换律，结合律见加法满足交换律，结合律见P
3、2.(2)三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加.(4)减法：减法：(5)三角不等式三角不等式 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 2.向量与数的乘法：向量与数的乘法：(1)定义：向量定义：向量 与数与数的乘法记为的乘法记为(2)向量与数的乘法满足结合律向量与数的乘法满足结合律,分配律分配律.见见P4.(3)则则(4)定理定理1.1：设：设则则 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束(5)与与 同向的单位向量为：同向的单位向量为：【例例1】如果四边形对角线互相平分，则它是如果四边形对角线互相平分，则它是解解:如图如图 M 为四边形为四边形ABCD 对角线的交点对角
4、线的交点,则则由已知由已知所以所以所以所以ABCD为平行四边形为平行四边形.目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴(横轴横轴)(纵轴纵轴)(竖轴竖轴)坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)zox面面1.空间直角坐标系空间直角坐标系(右手系右手系)目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下坐标轴上的点坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标:原点原点 O(0,0,0);(称为点称为点M的坐标的坐标)目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束
5、坐标轴坐标轴:坐标面坐标面:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 2.向量的坐标表示向量的坐标表示(1)设点设点 M(x,y,z),则则分别表示坐标轴分别表示坐标轴x,y,z上的单位向量上的单位向量 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算1.设设为实数，为实数，则则 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 2.已知两点已知两点则则3.平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:【例例2】P8例例2 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【例例3】已知两点已知两点及实数及实数-1在直线
6、在直线AB上求一点上求一点 M,使使解解:设设 M 的坐标为的坐标为如图所示如图所示由已知由已知由由得定比分点公式得定比分点公式:当当=1时，时，点点 M 为为 AB 的中点的中点,于是于是得中点公式得中点公式:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模向量的模:设设则由勾股定理得有则由勾股定理得有设设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则 2.两点间的距离公式两点间的距离公式【例例】P10例例4,5,6 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 3.方向角与方向余弦方向角与方向余弦(1)夹角夹角:(2)方向方向角
7、角:向量向量与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 ,称为方向角称为方向角 ,的方向余弦的方向余弦(3)方向余弦：方向余弦：目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【例例4】P11例例8方法方法2:设设则由则由 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 4.向量在轴上的投影向量在轴上的投影(1)定义定义:过过M 作平面作平面交交 轴于轴于设设 轴上的单位向量为轴上的单位向量为则则称为称为在在 上的投影上的投影,记为记为注：投影注：投影是一个数，是一个数，当当 与与 同向时为正同向时为正,反向时为负反向时为负.目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束(2)向量在轴上的投影向量在轴上的投影则则(3)投影
8、的性质投影的性质 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【作业作业】P12 Ex8-1 4,5,11,12,14,17,19 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 第二次课第二次课2 数量积数量积,向量积向量积一、数量积一、数量积的数量积等于两向量的长度与它们夹的数量积等于两向量的长度与它们夹1.De2.1:角的余弦的乘积角的余弦的乘积,记为记为即即:2.由投影性质由投影性质:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 3.性质性质两两之间的数量积两两之间的数量积4.1110000005.运算规律运算规律见见P14-15【例例5】P15例例1 目录
9、目录上页上页下页下页返回返回结束结束 6.数量积的坐标表示法数量积的坐标表示法设设特别：特别：则则 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 5.向量向量 夹角余弦的坐标表达式夹角余弦的坐标表达式【例例6】P16例例2 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【例例7】试在试在 所确定的平面内找一个与所确定的平面内找一个与 垂直的垂直的解：解：由于由于,故故 与与 确定一个平面确定一个平面设设单位向量单位向量 ,其中其中取取=1，则，则=3故所求的单位向量故所求的单位向量 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 二、向量积二、向量积的向量积是满足下列条件的一个向量，的向量积是满足下列条件的一
10、个向量，1.De2.2:2.性质性质:记为记为与与 都垂直；都垂直；构成右手系构成右手系 有一个为零向量有一个为零向量 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 两两之间的数量积两两之间的数量积3.4.运算规律运算规律 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 5.向量积的坐标表示法向量积的坐标表示法设设则则 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 解：解：可取可取【例例8】求与求与 都垂直的单位向量都垂直的单位向量 ,其中其中故所求的单位向量故所求的单位向量【例例9】P19例例5【作业作业】P22 Ex8-2 1,3,6,7,8 目录目录上页上页下
11、页下页返回返回结束结束 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 第三次课第三次课3 平面及其方程平面及其方程一、点法式平面方程一、点法式平面方程给出平面给出平面上一点上一点P0(x0,y0,z0)及垂直于及垂直于1.引例引例1:平面平面的一个向量的一个向量的法向量的法向量),求平面求平面的方程的方程.(称为称为解：解：设设P(x,y,z)为为上任意一点，则上任意一点，则由题意有由题意有 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 已知点已知点(x0,y0,z0),(A,B,C),则则2.点法式平面方程点法式平面方程【例例】P38例例1【例例10】P38例例2点法式方程点法式方程：目录目录上页上
12、页下页下页返回返回结束结束 平面一般方程平面一般方程:二二.平面的一般方程平面的一般方程将点法式方程进行化简并合并同类项将点法式方程进行化简并合并同类项,得得说明说明:D=0,过原点；过原点；A=0,平行于平行于x轴；轴；B=0,平行于平行于y轴；轴；C=0,平行于平行于z轴；轴；对于对于法向量法向量z轴轴,z轴上的所有向量轴上的所有向量.【例例11】P40例例3 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 三三.截距式平面方程截距式平面方程设设与与x,y,z 轴的截距分别为轴的截距分别为a,b,c,即即:1.引例引例2:P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c),P(a,0,0)R(
13、0,0,c)Q(0,b,0)解解:设设:将将P,Q,R 代入得代入得求平面求平面的方程的方程.截距式平面方程截距式平面方程:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【例例11】求过点求过点解：解：P1(1,0,-1),P2(-2,1,3)且与向量且与向量平行的平面方程平行的平面方程.又过点又过点P1(1,0,1)，所以所以：即即：目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 三三.两平面的夹角：两平面的夹角：(两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角)锐角锐角1.De2.3:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 2.性质性质【例例】P41例例5【例例12】P41例例6 目录目录上页上页下页下页返回
14、返回结束结束 四四.点到平面的距离点到平面的距离求求P0到到的距离的距离P0 N.引例引例3:任取任取则由数量积的性质则由数量积的性质 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 内容小结内容小结1.平面基本方程平面基本方程:一般式一般式点法式点法式截距式截距式 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 2.点到平面的距离点到平面的距离3.平平面面与平面与平面之间的关系之间的关系平面平面平面平面垂直垂直:平行平行:夹角公式夹角公式:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【作业作业】P42 Ex8-5 1,2,3,4(单数单数),5，7，9 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 目录目录上页
15、上页下页下页返回返回结束结束 第四次课第四次课4 空间直线及其方程空间直线及其方程一、直线的一般方程一、直线的一般方程(两平面的交线两平面的交线)二、直线的对称式方程与参数方程二、直线的对称式方程与参数方程引例引例:求过点求过点 M0(x0,y0,z0),且与向量且与向量在在L上任取一点上任取一点 M(x,y,z)平行的直线方程平行的直线方程 L 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 1.对称式方程对称式方程:由由,则对应元素成比例则对应元素成比例即：即：(1)当分母有一个为当分母有一个为0时时,分子也为分子也为0;对称式方程对称式方程(2)当分母有两个为当分母有两个为0时时,另一个分子任
16、意另一个分子任意例如：例如：例如：例如：目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 2.参数方程参数方程:令令参数方程参数方程(1)方向方向则则3.说明说明:称为方向向量称为方向向量.(2)m,n,p 称为直线称为直线 L 的一组方向数的一组方向数.L方向余弦方向余弦(3)的方向余弦的方向余弦称为直线称为直线 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 直线方程直线方程 L 为为【例例13】求过点求过点P0(-1,0,2)且垂直于平面且垂直于平面:x-y+3z+1=0的直线方程的直线方程 L.解解:设设的法向量的法向量由由从而可取从而可取 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【例例14】将直线
17、将直线 L:化为对称式方程化为对称式方程.解解:设设由由1,1的交线均垂直于的交线均垂直于故可取直线故可取直线L的的 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 不妨取不妨取在在L上任取一点上任取一点,不妨取不妨取 z=0则则 L上一点上一点 M0(1,2,0)L的对称式方程为的对称式方程为【例例14】将直线将直线 L:化为对称式方程化为对称式方程.目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【例例15】求过点求过点P0(-1,4,3)且与且与L1:都垂直的直线方程都垂直的直线方程 L.L2:解解:L1的方向向量的方向向量L2的方向向量的方向向量L的方向向量的方向向量L的直线方程的直线方程 目录目录
18、上页上页下页下页返回返回结束结束 三、两直线的夹角三、两直线的夹角1.计算公式计算公式:设设【例例16】P47例例4【例例17】P47例例5(两直线方向向量的夹角两直线方向向量的夹角)【例例】P45例例2 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 2.性质性质:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角直线与它在平面上投影直线的夹角直线与它在平面上投影直线的夹角L的方向向量的方向向量:的法向量的法向量:设设 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 取取的距离的距离.过过P0作作 L,交交L于于N,解解:【例例18】求过点求过点P0(1,1,1)到直线到
19、直线令令则则代入到代入到中得中得 t=-1,N(0,0,2)P0到到L的距离的距离 将将t=-1代入代入得得【例例19】P47例例6 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 五、平面束方程五、平面束方程设设且且12,作作则称则称为过为过 L 的平面束方程，的平面束方程，该方程为过该方程为过 L 但除但除2的所有平面方程的所有平面方程.【例例20】P48例例71.空间直线方程空间直线方程一般式一般式对称式对称式参数式参数式 内容小结内容小结 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 直线直线2.线与线的关系线与线的关系直线直线夹角公式夹角公式:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 平面平面
20、 :L L/夹角公式：夹角公式：3.面与线间的关系面与线间的关系直线直线 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【作业作业】P49 Ex8-6 1,2,3,5，7,8，11，13，15 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 课堂练习课堂练习 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 第五次课第五次课5 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的定义一、曲面方程的定义二、一些特殊的曲面方程二、一些特殊的曲面方程三、二次曲面三、二次曲面 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 一、曲面方程的定义一、曲面方程的定义设动点设动点 P(x,y,z)组成的曲面组成的曲面 S 与三元方程与三元方程(2)
21、不在不在S上的任意点都不满足上的任意点都不满足(*)，F(x,y,z)=0(*),有如下关系有如下关系:(1)S上的任意一点上的任意一点P都满足方程都满足方程(*);则称则称(*)为为S的方程的方程.目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 二、一些特殊的曲面方程二、一些特殊的曲面方程1.球面球面:与定点与定点 M0(x0,y0,z0)保持距离为保持距离为R的点的点的轨迹称为球的轨迹称为球.设轨迹上的点设轨迹上的点P(x,y,z),则则2.旋转曲面旋转曲面定义定义:一条平面曲线绕其一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面所形成的曲面叫做旋转曲面.
22、该定直线称为旋转轴该定直线称为旋转轴.例如例如:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,若点若点则有则有则有则有该点转到该点转到(1)yoz面内曲线面内曲线C:f(y,z)=0(y0)绕绕 z 轴旋转轴旋转一周后所得的曲面方程一周后所得的曲面方程.目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束(3)xoy 面内曲线面内曲线C:f(x,y)=0 绕绕 x 轴旋转一周后轴旋转一周后所得的曲面方程所得的曲面方程:(4)xoy 面内曲线面内曲线C:f(x,y)=0 绕绕 y 轴旋转一周后轴旋转一周后所得的曲面方程所得的曲面方程:(2)yoz
23、面内曲线面内曲线C:f(y,z)=0 绕绕 y 轴旋转一周后轴旋转一周后所得的曲面方程所得的曲面方程:目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 3.柱面柱面平行于定直线平行于定直线,并沿着曲线并沿着曲线C 移动的直线移动的直线L 形成的轨迹叫柱面形成的轨迹叫柱面.平行于平行于 z 轴轴.圆柱面：圆柱面：抛物柱面：抛物柱面：平行于平行于 x 轴轴.平行于平行于 y 轴轴.三、二次曲面三、二次曲面三元二次方程三元二次方程 其基本类型有其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面的图形通常为二次曲面.(二次项系数
24、不全为二次项系数不全为 0)目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 1.椭球面椭球面(1)范围：范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与坐标面的交线：椭圆 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 2.圆锥面圆锥面,椭圆锥面椭圆锥面y=z 绕着绕着 z 轴旋转一周而得的曲面轴旋转一周而得的曲面(a,b 为正数为正数)在平面在平面z=t 上的截痕为圆上的截痕为圆.在平面在平面z=t 上的截痕为椭圆上的截痕为椭圆.直纹面直纹面 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束(1).单叶双曲面单叶双曲面(a,b,c为正数为正数)直纹面直纹面3.双曲面双曲面 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束(2).双叶
25、双曲面双叶双曲面双曲线双曲线椭圆椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线双曲线1 单叶双曲面单叶双曲面-1 双叶双曲面双叶双曲面(a,b,c为正数为正数)在平面在平面y=y1上的截痕为上的截痕为在平面在平面x=x1上的截痕为上的截痕为在平面在平面z=z1(|z1|c)上的截痕为上的截痕为 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 4.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面椭圆抛物面(2)双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）特别特别,当当a=b 时为绕时为绕 z 轴的旋转抛物面轴的旋转抛物面.目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【作业作业】P31 Ex8-3
26、 1,2,5，6,8(1,3)目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 5 空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 C:表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线C【例例21】画出下列曲线画出下列曲线 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结
27、束 表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C.目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 P37 题题1(1)P37 题题1(2)目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 P37 题题1(3)目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 P37 题题2(1)思考思考:当当|b|3时时,交线情况如何交线情况如何?目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标 x,y,z表示成参数表示成参数 t 的函数的函数:称为空间曲线的参数方程称为空间曲线的参数方程.例如例如,圆柱螺
28、旋线圆柱螺旋线的参数方程为的参数方程为 当当=2时上升高度时上升高度,称为螺距称为螺距.目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【例例22】将曲线将曲线 化为参数方程化为参数方程解解:根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数代入到第二个方程得代入到第二个方程得 所以参数方程为所以参数方程为 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线设空间曲线 C 的一般方程为的一般方程为消去消去 z 得投影柱面得投影柱面则则C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线 C为为消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程
29、消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【例例23】求下列曲线的投影曲线方程求下列曲线的投影曲线方程在在 xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 所围圆域所围圆域:在在 xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束 P37 题题 7 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束(4)求曲线求曲线绕绕 z 轴旋转的曲面与平面轴旋转的曲面与平面 的交线在的交线在 xoy 平面的投影曲线方程平面的投影曲线方程.解：解：旋转曲面方程为旋转曲面方程为交线为交线为此曲线向此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为面的投影柱面方程为 此曲线在此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为,它与所给平面的它与所给平面的 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束【作业作业】Ex8-44,5(1)