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1、刚体的定轴转动简第1页，此课件共25页哦第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 5.1 刚体转动运动学刚体转动运动学5.2 转动定律转动定律 5.3 转动惯量转动惯量5.5 力矩的功力矩的功 转动动能定理转动动能定理5.6 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律#5.7 进动进动 5.4 转动定律的应用转动定律的应用第2页，此课件共25页哦 5.5 力矩的功力矩的功 转动动能定理转动动能定理1.外力外力（矩矩）的元功的元功 dA条件条件:力力F 作用在作用在P 点，点，P点对应半径为点对应半径为r，刚体可绕刚体可绕ozoz轴转动轴转动且在力且在力 作用下角位作用下角位移为移为
2、。证明证明:一、一、力矩的功力矩的功(woke done by a torque)。(woke done by a torque,rotational kinetic energy of rigid body)第3页，此课件共25页哦1.外力（矩）的元功外力（矩）的元功3.恒力矩的功恒力矩的功4.单位单位J 或或 Nm2.变力矩的功变力矩的功则则一、一、力矩的功力矩的功(woke done by a torque)二、功率二、功率(power)引入：引入：单位单位：w 即即 Nms-1 证：证：(由由 P=F v 猜想猜想)第4页，此课件共25页哦J J引入：引入：证明：证明：将刚体分为质元系
3、将刚体分为质元系 m1、m2、mi mn，说明：说明：三、刚体的转动动能三、刚体的转动动能刚体的动能不是一种新的动能，它只是刚体内各质刚体的动能不是一种新的动能，它只是刚体内各质元作线运动的动能的总和。元作线运动的动能的总和。由由猜想猜想(rotational kinetic energy of rigid body)第5页，此课件共25页哦J引入：引入：证明：证明：表式：表式：表述：表述：合外力矩对合外力矩对绕定轴转动的绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。转动动能的增量。四、转动动能定理四、转动动能定理(theorem of kinetic energy ab
4、out affixed axis)第6页，此课件共25页哦式中式中hc 为刚体质心的高度。为刚体质心的高度。当合外力矩和非保守内力（矩）作功之和为零时，当合外力矩和非保守内力（矩）作功之和为零时，系统的机械能守恒。系统的机械能守恒。一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心所具有重力势能一样。在质心所具有重力势能一样。五、刚体的重力势能五、刚体的重力势能六、刚体的机械能六、刚体的机械能(mechanical energy of rigid body)七、机械能守恒定律七、机械能守恒定律若若 A外外+A非保内非保内=0，则，则 E=EK+EP=
5、恒量恒量。(law of conservation of mechanical energy)第7页，此课件共25页哦例例5.8 (P268)冲床可利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构的传动冲床可利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构的传动带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮半径带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮半径r=0.4 m,质量质量m=600 kg（可以看成均匀圆盘）。飞轮的正常转速是（可以看成均匀圆盘）。飞轮的正常转速是n1=240r/min,冲一次孔转速减低冲一次孔转速减低20%。求冲一次孔，冲头。求冲一次孔，冲头所作的功所作的功A。解：解：因因 1=2 n1/60 2=(1-0.2)1=0.8
6、1 所以所以=-5.45 103(J)式中式中负号负号表示冲头对外所作的功。表示冲头对外所作的功。第8页，此课件共25页哦例例5.9(P269)R0 0M一质量为一质量为M、半径为半径为R 的定滑轮上绕的定滑轮上绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为另一端挂一质量为m 的物体而下垂。的物体而下垂。忽略轴处磨擦，求物体忽略轴处磨擦，求物体m 由静止下由静止下落高度落高度 h 时的速度时的速度v 和此时滑轮的角和此时滑轮的角速度速度。h h(用机械能守恒定律解例用机械能守恒定律解例5.6 )解：解：取取m 初始位置为势能零点，则初始位置为势能零点，则将将
7、 、代入前式整理得：代入前式整理得：解得：解得：第9页，此课件共25页哦方法方法1 1用用机械能守恒定律机械能守恒定律取初始位置为势能零点，则取初始位置为势能零点，则例例5.10 (P270)一均匀细棒（一均匀细棒（，m），可绕过其一端的光滑轴转动），可绕过其一端的光滑轴转动，开始时棒静止于水平位置开始时棒静止于水平位置，求其下摆角为求其下摆角为 时的角速度时的角速度 。（用机械能守恒定律（用机械能守恒定律（或转动动能定理或转动动能定理）解例解例5.7）解：解：l/2mg第10页，此课件共25页哦5.6 刚体的角动量刚体的角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律1.定义定义 标量式：标量式：引入：
8、引入：又称动量矩。又称动量矩。Pm J角动量角动量对比质点的动量对比质点的动量(猜想）猜想）对质点：对质点：2.单位单位L=r m v sin 标量式：标量式：(angular momentum of rigid body,angular momentum conservation law)一、刚体（绕固定轴）的角动量刚体（绕固定轴）的角动量第11页，此课件共25页哦一、刚体（绕固定轴）的角动量一、刚体（绕固定轴）的角动量推证：推证：由由质点质点的角动量的角动量故故质点系质点系的角动量的角动量刚体刚体的角动量的角动量因为对刚体来说因为对刚体来说又因又因知：知：第12页，此课件共25页哦三、刚体
9、（绕固定轴）的角动量定理刚体（绕固定轴）的角动量定理1.微分式微分式 2.积分式积分式 证：证：3.表述表述相对于给定的转轴，作用在刚体上的角冲量相对于给定的转轴，作用在刚体上的角冲量等于刚体的角动量的增量。等于刚体的角动量的增量。二、角冲量角冲量(angular impulse)（冲量矩（冲量矩(moment of impulse)）1.定义定义2.单位单位由由 转动定律转动定律(angular momentum theorem of rigid body about affixed axis)第13页，此课件共25页哦四、四、对定轴的角动量守恒定律对定轴的角动量守恒定律当作用在刚体上的合外
10、力矩为零时，刚体的角动当作用在刚体上的合外力矩为零时，刚体的角动量保持不变。量保持不变。表述：表述：1.普适。自然界中三大守恒定律之一。普适。自然界中三大守恒定律之一。说明：说明：3.由角动量守恒定律可知由角动量守恒定律可知当当 M=0 时，若时，若 J 不变，则不变，则 不变。不变。当当 M=0 时，时，2.定律也适用于绕定轴转动的定律也适用于绕定轴转动的非刚体非刚体或由几个或由几个物物体组成的系统体组成的系统。当当 时，时，(angular momentum conservation law about affixed axis)第14页，此课件共25页哦角动量守恒定律角动量守恒定律应用实
11、例应用实例应用实例应用实例（1 1）人站在转台上的角动量守恒演示人站在转台上的角动量守恒演示第15页，此课件共25页哦角动量守恒定律角动量守恒定律应用实例应用实例 应用实例应用实例（3 3）直升机的螺旋浆直升机的螺旋浆直升机的螺旋浆旋转时，根据直升机的螺旋浆旋转时，根据角动量守恒定律可知角动量守恒定律可知，机，机身将会产生反向旋转。为此，直升机一般均采用加装尾身将会产生反向旋转。为此，直升机一般均采用加装尾浆或双螺旋浆结构。浆或双螺旋浆结构。第16页，此课件共25页哦角动量守恒定律角动量守恒定律应用实例应用实例直升机的双浆直升机的双浆第17页，此课件共25页哦用于轮船导航、用于轮船导航、控制导
12、弹飞行。控制导弹飞行。角动量守恒定律角动量守恒定律应用实例应用实例应用实例应用实例（3 3）悬在常平架上的回转仪悬在常平架上的回转仪第18页，此课件共25页哦长为长为L、质量为、质量为M 的均匀杆，一端挂在的均匀杆，一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。一质量为一质量为m 的子弹以水平速度的子弹以水平速度v0 ，射入杆，射入杆的下端并嵌于其中。求杆和子弹开始一起的下端并嵌于其中。求杆和子弹开始一起运动时的角速度。运动时的角速度。例例 5.11(P273)L L解：解：因子弹射入杆并和杆一起运动所经历的因子弹射入杆并和杆一起运动所经历的时间极短，故时间极短，故
13、杆的位置基本不变杆的位置基本不变。选选子弹和杆为系统子弹和杆为系统，则，则碰撞过程碰撞过程中中解得解得因子弹嵌入杆中和杆一起运动的速度因子弹嵌入杆中和杆一起运动的速度v=l，故有故有系统所受系统所受合外力矩为零合外力矩为零，系统，系统角动量守恒角动量守恒。（系统在水平方向（系统在水平方向动量是否守恒动量是否守恒？为什么？）？为什么？）第19页，此课件共25页哦*5.7 陀螺的进动陀螺的进动(precession of a top)陀螺在绕自身对称高速陀螺在绕自身对称高速旋转时，在重力矩作用旋转时，在重力矩作用下，其对称轴还将绕竖下，其对称轴还将绕竖直轴直轴OZ 回转，这种现回转，这种现象称为象
14、称为进动进动。一、进动一、进动 (precession)2.进动角速度进动角速度1.定义定义(precession angular velocity)第20页，此课件共25页哦二、进动应用实例二、进动应用实例2.弹筒的弹筒的来复线来复线的作用的作用炮弹的引爆需要弹头击中目标，炮弹前进过程所受空炮弹的引爆需要弹头击中目标，炮弹前进过程所受空气阻力一般不通过质心，所以炮弹有可能气阻力一般不通过质心，所以炮弹有可能翻转翻转。1.炮弹的运动炮弹的运动使炮弹绕自己的对称轴迅速旋转，空气阻力对炮弹产生一使炮弹绕自己的对称轴迅速旋转，空气阻力对炮弹产生一个阻力矩，使炮弹的自转轴绕阻力的作用线即弹道产生进个阻
15、力矩，使炮弹的自转轴绕阻力的作用线即弹道产生进动，从而使自转轴与前进方向不会有太大的偏离。动，从而使自转轴与前进方向不会有太大的偏离。第21页，此课件共25页哦三、回转仪的进动三、回转仪的进动回转仪绕其自转轴转动的角动量为回转仪绕其自转轴转动的角动量为L0，当平衡重物在杠，当平衡重物在杠杆上左、右移动时，回转仪将受到外力矩的作用，方杆上左、右移动时，回转仪将受到外力矩的作用，方向垂直与向垂直与L0 ，回转仪的角动量将改变，回转仪的角动量将改变L ，方向与外力矩，方向与外力矩相同相同，也垂直与也垂直与L0 ，因而杆将在水平面内绕竖，因而杆将在水平面内绕竖直轴转动直轴转动起来。起来。回转回转 效效
16、应应。第22页，此课件共25页哦小小 结结一、一、力矩的功力矩的功3.恒力矩的功恒力矩的功2.变力矩的功变力矩的功4.功率功率2.刚体的转动动能刚体的转动动能 1.刚体的重力势能刚体的重力势能二、刚体的机械能二、刚体的机械能3.机械能守恒定律机械能守恒定律1.力矩的元功力矩的元功 若若 A外外+A非保内非保内=0，则，则 E=EK+EP=恒量恒量。第23页，此课件共25页哦小小 结结三、刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律2.角冲量角冲量(冲量矩冲量矩)3.刚体的角动量定理刚体的角动量定理微分式微分式 积分式积分式 4.角动量守恒定律角动量守恒定律当当 时，时，1.刚体的角动量刚体的角动量对质点：对质点：第24页，此课件共25页哦再再 见见阅读：阅读：5.5 5.6(P266 P277)第25页，此课件共25页哦