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1、目录 上页 下页 返回 结束 第八章 二二*、全微分在近似计算中的应用、全微分在近似计算中的应用 应用 第三节一元函数 y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义:如果函数 z=f (x,y)在定义域 D 的内点(x,y)可表示成其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，称为函数在点(x,y)的全微分全微分,记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.目录 上页 下页 返回 结束(2)偏导数连
2、续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微当函数可微时:得函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 1(必要条件)若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可可微微,则该函数在该点的偏导数同样可证证证:因函数在点(x,y)可微,故 必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 目录 上页 下页 返回 结束 反例反例:函数易知 但因此,函数在点(0,0)不可微.注意注意:定理1 的逆定理不成立.偏导数存在函数 不一定可微 !即:目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2(充分条件)证证：若函数的偏导数则函数在该点可微.
3、目录 上页 下页 返回 结束 所以函数在点可微.注意到,故有目录 上页 下页 返回 结束 例例函数在则处满足在点可微。（式中 ）(A)(B)连续且偏导数存在(C)二阶偏导数存在(D)(05-06,二二(14)目录 上页 下页 返回 结束 例例 计算函数在点(2,1)处的全微分.解解:例例 计算函数的全微分.解解:解解:例例 已知目录 上页 下页 返回 结束 例例 求函数的全微分解解:由题(06-07,二二(7)例例设则解解:由题则(07-08,二二.1)目录 上页 下页 返回 结束 例例 设解解:利用轮换对称性,可得注意注意:x,y,z 具有 轮换对称性轮换对称性 目录 上页 下页 返回 结束
4、 在点(0,0)可微.例例在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证证:1)因故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连 证明函数所以目录 上页 下页 返回 结束 同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.2)3)目录 上页 下页 返回 结束 4)下面证明可微:说明说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则目录 上页 下页 返回 结束 例例 设函数解解:由题求目录 上页 下页 返回 结束 例例处一定（）若则函数在点(A)连续(B)不连续(C)可微(D)以上均不正确解：解：(A)(C)(B)D(07-08,一一.1)目录 上页 下页 返回 结束 例例 函数在点解解:全增量为全微分为处的自变量增量为则函数在该点处的全增量为全微分为(08-09,二二.7)目录 上页 下页 返回 结束 例例设则解解:由题则(09-10,二二.1)目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续对多元函数有：目录 上页 下页 返回 结束 3.微分应用 近似计算目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P328 13,20目录 上页 下页 返回 结束