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1、数学文化神秘的无穷与三次数学危机1第1页，共80页，编辑于2022年，星期六目录一、一、“有无限个房间有无限个房间”的的Hilbert旅馆旅馆二、无限与有限的区别和联系二、无限与有限的区别和联系三、悖论（三、悖论（paradox）四、四、数学中的无限在生活中的反映数学中的无限在生活中的反映五、五、潜无限与实潜无限与实无限无限六哲学中的无限六哲学中的无限七、无穷与数学危机七、无穷与数学危机第2页，共80页，编辑于2022年，星期六1.“客满客满”后又来后又来1位客人位客人（“客满客满”）1234 k 2345 k+1 空出了空出了1 1号房间号房间 一、一、“有无限个房间有无限个房间”的的Hil
2、bert旅馆旅馆第3页，共80页，编辑于2022年，星期六2.客客 满满 后后 又又 来来 了了 一一 个个 旅旅 游游 团团，旅旅 游游 团团中有无穷个客人中有无穷个客人 1234 k 2468 2k 空下了奇数号房间空下了奇数号房间 第4页，共80页，编辑于2022年，星期六3.客满后又来了一万个旅游团，客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人每个团中都有无穷个客人1234 k 10001200023000340004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间给出了一万个、又一万个的空房间 第5页，共80页，编辑于2022年，星期六是否有人想提什么问题？是否有人想提什么问题？第
3、6页，共80页，编辑于2022年，星期六4.思思 该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？每个团中都有无穷个客人，还能否安排？“无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清”-Hilbert第7页，共80页，编辑于2022年，星期六二、无限与有限的区别和联系二、无限与有限的区别和联系 1.区别区别 1 1）在无限集中，在无限集中，“部分可以等于全体部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，（这是无限的本质），而在有限的情况下，
4、部分总是小于全体。部分总是小于全体。第8页，共80页，编辑于2022年，星期六当初的当初的伽利略悖论伽利略悖论，就是因为没有看到，就是因为没有看到 “无限无限”的这一个特点而产生的。的这一个特点而产生的。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由个数相等；但由“部分小于全体部分小于全体”，又推出两集合，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。的元素个数不相等。这就形成悖论。第9页，共80页，编辑于2022年，星期六
5、 思思：构造一个构造一个“部分到整体的一一部分到整体的一一对应对应”：从：从0 0，1 1）0 0，+）。）。第10页，共80页，编辑于2022年，星期六2.2.）“有限有限”时成立的许多命题，对时成立的许多命题，对“无限无限”不再成立不再成立 （1 1）实数加法的结合律）实数加法的结合律 在在“有限有限”的情况下，加法结合律的情况下，加法结合律 成立成立:(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)，a a，b b，c c 第11页，共80页，编辑于2022年，星期六 在在“无限无限”的情况下，加法结合律不的情况下，加法结合律不再成立。如再成立。如第12页，共80页，编辑于2
6、022年，星期六（2 2）有限级数一定有）有限级数一定有“和和”。是个确定的数是个确定的数 无穷级数一定有无穷级数一定有“和和”。则不是个确定的数。称为该则不是个确定的数。称为该 级数级数“发散发散”。反之称为。反之称为“收敛收敛”。第13页，共80页，编辑于2022年，星期六 2.2.联系联系在在“有限有限”与与“无限无限”间建立联系的手段，往往间建立联系的手段，往往很重要。很重要。1）数学归纳法）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命题对通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。无限个自然数均成立。2）极限）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。通过有限的方法，描写无限的过程。如：如：
7、；自然数自然数N N，都，都 ，使，使 时，时，。第14页，共80页，编辑于2022年，星期六 0.99999=1?3）无穷级数）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如 4）递推公式）递推公式 ,a a1 1=*=*有一个著名的例子：有一个著名的例子：兔子永远追不上乌龟，箭永远射不上靶子。结果虽然可笑，但在逻辑上却耐兔子永远追不上乌龟，箭永远射不上靶子。结果虽然可笑，但在逻辑上却耐人寻味，这就是著名的二分法悖论。人寻味，这就是著名的二分法悖论。第15页，共80页，编辑于2022年，星期六三、悖论（paradox）悖论（paradox）具体是指：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，
8、进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。1说谎者悖论：最早见说谎者悖论：最早见新约全书新约全书提多书提多书“我正在说谎”第16页，共80页，编辑于2022年，星期六2.“外祖母悖论外祖母悖论”，我会穿梭时空，回到过去，把我自己的外祖母杀了。我外祖母没了，我妈就没了，我也就没了。而我没了，就没有人杀我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了。而有了我，外祖母就没了，我也就没了这就是悖论，自己与自己就有矛盾。第17页，共80页，编辑于2022年，星期六3.“说谎者循环”：A说：“下面是句谎话。”B说：“上面是句真话。”第18页
9、，共80页，编辑于2022年，星期六4、芝诺悖论、芝诺悖论-由无限引出的由无限引出的芝诺（前490？前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。第19页，共80页，编辑于2022年，星期六1）两分法向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可
10、穷尽的过程，运动永远不可能开始的。第20页，共80页，编辑于2022年，星期六2）阿基里斯阿基里斯(Achilles)悖论悖论：阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯追不上乌龟。第21页，共80页，编辑于2022年，星期六3）飞矢不动悖论）飞矢不动悖论一支飞行的箭是静止的：由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。第22页，共80页，编辑于2022年，星期六4）“操场或游行队伍”A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的C看来，比如说，A、B都在1小时内移动了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。由于B保持等速移动，所以移动2公里的时间应该是移动4公里时
11、间的一半。因而一半的时间等于两倍的时间。第23页，共80页，编辑于2022年，星期六症结：症结：无限段长度的和，可能是有限的；无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。无限段时间的和，也可能是有限的。芝诺悖论的意义：芝诺悖论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的）较早的“反证法反证法”及及“无限无限”的思想的思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？空间和时间有没有最小的单位？第24页，共80页，编辑于2022年，星期六 芝诺的前两个悖论是反对芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连
12、续空间和时间是连续的的”，后两个悖论则是反对，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的空间和时间是离散的”；第一、第三反对绝对运动，而第二、第四，反；第一、第三反对绝对运动，而第二、第四，反对相对运动。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；对相对运动。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，所以，“运动只是假象，不动不变才是真实运动只是假象，不动不变才是真实”。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡期的讨论，促进了认识
13、的发展，不能不说是巨大的贡献。献。第25页，共80页，编辑于2022年，星期六http:/ 四、四、数学中的无限在生活中的反映数学中的无限在生活中的反映 1 1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的）（整体看又是圆的）2 2）锉刀锉一个光滑零件：）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直的每一锉锉下去都是直的 （许多刀合在一起的效果又是光滑的）（许多刀合在一起的效果又是光滑的）第27页，共80页，编辑于2022年，星期六 3 3）不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。积
14、三角形的面积，多边形的面积，圆面积。规则图形的面积规则图形的面积不规则图形的面积？不规则图形的面积？法法.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面积越准用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面积越准 第28页，共80页，编辑于2022年，星期六 法法.首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形图形若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，求和，面积：划分，求和，矩形面积之和矩形面积之和 曲边梯形面积；曲边梯形面积；越小，就越精确；再取极越小，就越精确；再取极 限限 ，就得到曲边，就得到曲边梯形的面积。梯形的面积。第
15、29页，共80页，编辑于2022年，星期六 五、五、潜无限与实无限潜无限与实无限 1潜无限与实无限简史潜无限与实无限简史 潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。是一个实体。第30页，共80页，编辑于2022年，星期六从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持潜无限的观点都持潜无限的观点他们认为他们认为“正整数集是无限的正整数集是无限的”来自我们不能穷举所来自我们不能穷举所有正整数。例如，可以想象一
16、个个正整数写在一张张有正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从小纸条上，从1 1，2 2，3 3，写起，每写一张，就把该纸条写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。可能的，它只能存在于人们的思维里。亚里士多德只承认潜无限：不承认直线式由点构成亚里士多德只承认潜无限：不承认直线式由点构成高斯反对实无限：反对把无穷量作为现实的实体，认高斯反对实无限：反对把无穷量作为现实的实体，认为无限只不过是一种
17、说话的方式为无限只不过是一种说话的方式第31页，共80页，编辑于2022年，星期六康托的集合论与实无限康托的集合论与实无限 但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境和待遇都不太好。当时的处境和待遇都不太好。由于康托尔的
18、无穷学说从根本上否定了由于康托尔的无穷学说从根本上否定了“整体大于部分整体大于部分”的观念，的观念，而且他在无限王国走得如此远，以至于同时代的数学家和哲学家都不而且他在无限王国走得如此远，以至于同时代的数学家和哲学家都不能理解他的观点，惧怕集合论。有人说，康托尔的集合论是一种能理解他的观点，惧怕集合论。有人说，康托尔的集合论是一种“疾疾病病”，康托尔的概念是，康托尔的概念是“雾中之雾雾中之雾”，甚至说康托尔是，甚至说康托尔是“疯子疯子”。来。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。
19、了精神分裂症，被送进精神病医院。19181918年年1 1月月6 6日，康托尔在一家精日，康托尔在一家精神病院去世。神病院去世。康托的无穷集合论也导致了第三次数学危机。康托的无穷集合论也导致了第三次数学危机。第32页，共80页，编辑于2022年，星期六康托康托Georg Ferdinand Philip Cantor(18451918)德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）魏尔斯特拉斯。1866年曾去格丁根学习一学期。186
20、7年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。第33页，共80页，编辑于2022年，星期六实无限、潜无限只是一个硬币的两个面两种无穷思想经历了此消彼长，两种无限在现代数学中都是有用武之地。微积分采用潜无限，非标准分析采用实无限无穷本身是一个矛盾体，既是一个需无穷逼近的过程，也是一个可供研究的实体Hilbert认为：无穷是一个永恒之谜，无穷是人类心情宁静的最大敌人第34页，共80页，编辑于2022年，星期六 六哲学中的无限六哲学中的无限 1哲学对哲学对“无限无限”的兴趣的兴趣 哲学是研究整个世界的科学。自从提出哲学是研究整个世界的科学。自
21、从提出“无限无限”的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。现在我的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。现在我们知道哲学中有下边一些命题：们知道哲学中有下边一些命题：第35页，共80页，编辑于2022年，星期六 物质是无限的；时间与空间是无限的；物质是无限的；时间与空间是无限的；物质的运动形式是无限的。物质的运动形式是无限的。一个人的生命是有限的；一个人对一个人的生命是有限的；一个人对 客观世界的认识是有限的。客观世界的认识是有限的。第36页，共80页，编辑于2022年，星期六无限可分与原子论很多思想家都研究过无穷大。古希腊的哲学家们就一条线段(或者就任何数量而言)，是不是可无限地被分割，或者
22、说是不是可以最终得到一个不可分割的点(即“原子”)等问题，展开了无休止的争论。他们的现代追随者物理学家们今天仍然还在设法解决同一个问题，他们使用巨大的粒子加速器寻找“基本粒子”那些构成整个宇宙的基本砖块。天文学家一直在从另一个极端的无限广阔的尺度上思索着无穷大问题。我们的宇宙真像它所呈现在晴朗的黑夜那样无穷无尽，或是它有一个边界(在这个边界之外什么东西也不存在)吗？有限宇宙的可能性似乎是对我们常识的一种挑战。我们可以在任何方向上一直走下去而永远也到不了“边”，这个事实不是很清楚吗？但是我们将不难看出，当研究无穷大时，“常识”是一个非常差劲的向导！第37页，共80页，编辑于2022年，星期六2数
23、学对数学对“无限无限”的观点的贡献的观点的贡献数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高了人数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人类，获得类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对无限的过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。一个人，若把认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习和数学研究之中
24、，就会产生自己的智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而一种特别的感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。且会充满乐趣。第38页，共80页，编辑于2022年，星期六 抢答题抢答题 构造一个无穷多个运动员百米构造一个无穷多个运动员百米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要求表赛跑，但结果没有第一名的例子。（要求表达出每一个运动员的百米成绩，且要求接近达出每一个运动员的百米成绩，且要求接近实际：不能跑进实际：不能跑进9 9秒）秒）第39页，共80页，编辑于2022年，星期六解答运动员1234百米成绩10秒9.9秒9.89秒9.8
25、89秒另解第40页，共80页，编辑于2022年，星期六七、无穷与数学危机七、无穷与数学危机 数学史上有过三次数学危机，它们都与无数学史上有过三次数学危机，它们都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有关。穷有关，也与人们对无穷的认识有关。我们已经讨论过第一次与第二次数学危机我们已经讨论过第一次与第二次数学危机 第一次数学危机的要害是不认识无理数，第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数而无理数是无限不循环小数第41页，共80页，编辑于2022年，星期六 第二次数学危机的要害，是极限理论的逻第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是辑基础不完善，而极限正是“有穷过
26、渡到无有穷过渡到无穷穷”的重要手段。贝克莱的责难，也集中在的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量无穷小量”上。上。由于无穷与有穷有本质的区别，所以，极由于无穷与有穷有本质的区别，所以，极限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。第42页，共80页，编辑于2022年，星期六第三次数学危机第三次数学危机 1“数学基础数学基础”的曙光的曙光集合论集合论 到到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限
27、出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。集合论有可能成为整个数学的基础。第43页，共80页，编辑于2022年，星期六 其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、其理由是：算术以整数、
28、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对象可说成是时，用集合论的语言，算术的对象可说成是“以整数、分数以整数、分数等组成的等组成的集合集合”；微积分的对象可说成是；微积分的对象可说成是“以函数等以函数等组成的组成的集合集合”；几何的对象可说成是；几何的对象可说成是“以点、线、面以点、线、面等组成的等组成的集合集合”。这样一来，。这样一来，都是以集合为对象都是以集合为对象了。了。集集合成了更基本的概念。合成了更基本的概念。第44页，共80页，编辑于2022年，星期六 于是，集合
29、论似乎给数学家带来了曙光：于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：可能会一劳可能会一劳永逸地摆脱永逸地摆脱“数学基础数学基础”的危机。的危机。尽管集合论自身的尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题。庞相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在加莱甚至在1900年巴黎国际数学家大会上宣称：年巴黎国际数学家大会上宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了”第45页，共80页，编辑于2022年，星期六 2算术的集合论基础算术的集合论基础 1）人人们们
30、按按下下列列逻逻辑辑顺顺序序把把全全部部数数学学的的基基础础归归结结为为算算术术，即即归归结结为为非非负负整整数数，即即自自然然数数集集合合加加上上0现现在在我我国国中中小小学学就就把把这这一一集集合合称为自然数集合。称为自然数集合。（算术）非负整数（算术）非负整数n有理数有理数 实数实数 复数复数 图形图形第46页，共80页，编辑于2022年，星期六 因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，说，全部数学都可以归结为算术了。全部数学都可以归结为算术了。这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，就相这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，就相当于
31、解决了整个当于解决了整个“数学基础数学基础”的问题。的问题。法国数学家、数理逻辑先驱法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格弗雷格（G.Frege,18481925）就做了这样的工作。他写了一本）就做了这样的工作。他写了一本名叫名叫算术基础算术基础的书。的书。第47页，共80页，编辑于2022年，星期六弗雷格弗雷格算术基础算术基础第48页，共80页，编辑于2022年，星期六 2)弗雷格的弗雷格的算术基础算术基础 为了使算术建立在集合论的基础上，所为了使算术建立在集合论的基础上，所有的非负整数，都需要用集合论的观点和语有的非负整数，都需要用集合论的观点和语言重新定义。言重新定义。首先从首先从0说起。说起。
32、0是什么？是什么？应当先回答应当先回答0是什么，然后才有表示是什么，然后才有表示“0”的符号。的符号。第49页，共80页，编辑于2022年，星期六 为为此此，先先定定义义“空空集集”。空空集集是是“不不含含元元素素的的集集合合”。例例如如，“方方程程 在在实实数数集集中中的的根根的的集集合合”就就是是一一个个空空集集，再再例例如如“由由最最大大的的正正整整数数组组成成的的集集合合”也也是是一一个个空集。空集。第50页，共80页，编辑于2022年，星期六 所有的空集放在一起，作成一个集合的所有的空集放在一起，作成一个集合的集合集合，（为说话简单我们把，（为说话简单我们把“集合的集合集合的集合”称
33、作类），这个类，就可以给它一个符号：称作类），这个类，就可以给它一个符号：0，中国人念，中国人念“ling”，英国人念，英国人念“Zero”。空集是空的，但由所有空集组成的类，它空集是空的，但由所有空集组成的类，它本身却是一个元素了，即，本身却是一个元素了，即，0是一个元素了。是一个元素了。由它再作成一个集合由它再作成一个集合0，则不是空集了。，则不是空集了。第51页，共80页，编辑于2022年，星期六 弗雷格再定义两个集合间的弗雷格再定义两个集合间的双射双射：既是满射又是单射：既是满射又是单射的映射叫作双射，也称的映射叫作双射，也称可逆映射可逆映射；通俗地说，就是存在；通俗地说，就是存在逆映
34、射的映射。它可以在两个集合间来回地映射，所逆映射的映射。它可以在两个集合间来回地映射，所以一般称为以一般称为“双射双射”。弗雷格再定义弗雷格再定义两个集合的两个集合的“等价等价”：，能够在其间建立双射的两个集合能够在其间建立双射的两个集合A、B称为称为“等价等价”。第52页，共80页，编辑于2022年，星期六 下边可以定义下边可以定义“1”了。把了。把与集合与集合0等价等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就可以给它一个符号：这个类，就可以给它一个符号：1。再定义再定义“2”。把。把与集合与集合0，1等价的所等价的所有集合放在一起，作成一个
35、集合的集合。这有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就叫：个类，就叫：2。然后，把然后，把与与0，1，2等价的集合作成的等价的集合作成的类，叫：类，叫：3。第53页，共80页，编辑于2022年，星期六 一一 般般 地地，在在 有有 了了0，1，2，n的的定定义义后后，就就把把所所有有与与 集集 合合0，1，2，n 等等 价价 的的 集集 合合 放放 在在 一一 起起，作作 成成 集集 合合 的的 集集合，这样的类，定义为：合，这样的类，定义为：n+1。这这种种定定义义概概念念的的方方法法，叫叫作作“归归 纳纳 定定义义”的方法。的方法。第54页，共80页，编辑于2022年，星期六 这这样
36、样，弗弗雷雷格格就就从从空空集集出出发发，而而仅仅仅仅用用到到集集合合及及集集合合等等价价的的概概念念，把把全全部部非非负负整整数数定定义义出出来来了了。于于是是根根据据上上边边说说的的“可可以以把把全全部部数数学学归归结结为为非非负负整整数数”，就就可可以以说说，全全部部数数学学可可以以建建立立在在集集合合论论的的基基础础上上了。了。第55页，共80页，编辑于2022年，星期六 3 罗素的罗素的“集合论悖论集合论悖论”引发危机引发危机 1）悖论引起震憾和危机悖论引起震憾和危机 正正 当当 弗弗 雷雷 格格 即即 将将 出出 版版 他他 的的 算算 术术 基基础础一一书书的的时时候候，罗罗素素
37、的的集集合合论论悖悖论论出出来来了了。这这也也是是庞庞加加莱莱宣宣布布“完完全全严严格格的的数数学学已已经经建建立立起起来来！”之之后后刚刚刚刚两两年年，即即1902年。年。第56页，共80页，编辑于2022年，星期六 伯特兰伯特兰罗素（罗素（1872-1970）Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)出生年月：1872-1970国籍：英国学科成就：学科成就：英国著名哲学家、数学家、逻辑学家，分析学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。罗素罗素第57页，共80页，编辑于2022年，星期六 集合论中居然
38、有逻辑上的矛盾！集合论中居然有逻辑上的矛盾！倾倾 刻刻 之之 间间，算算 术术 的的 基基 础础 动动 摇摇 了了，整整 个个数数 学学 的的 基基 础础 似似 乎乎 也也 动动 摇摇 了了。这这 一一 动动 摇摇 所所 带带来来 的的 震震 憾憾 是是 空空 前前 的的。许许 多多 原原 先先 为为 集集 合合 论论 兴兴高高 采采 烈烈 的的 数数 学学 家家 发发 出出 哀哀 叹叹：我我 们们 的的 数数 学学 就就是建立在这样的基础上的吗？是建立在这样的基础上的吗？罗罗 素素 悖悖 论论 引引 发发 的的 危危 机机，就就 称称 为为 第第 三三 次次数学危机。数学危机。第58页，共8
39、0页，编辑于2022年，星期六 罗罗 素素 把把 他他 发发 现现 的的 悖悖 论论 写写 信信 告告 诉诉 弗弗 雷雷格格。弗弗雷雷格格在在他他的的算算术术基基础础一一书书的的末末尾尾无无可可奈奈何何地地写写道道：“一一个个科科学学家家遇遇到到的的最最 不不 愉愉 快快 的的 事事 莫莫 过过 于于，当当 他他 的的 工工 作作 完完 成成时时，基基础础崩崩塌塌了了。当当本本书书即即将将印印刷刷时时，罗罗素素先先生生的的一一封封信信就就使使我我陷陷入入这这样样的的尴尴尬尬境境地。地。”第59页，共80页，编辑于2022年，星期六狄德金(Dedekind)原来打算把连续性及无理数第3版付印，这
40、时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩(Brouwer)也认为自己过去做的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。第60页，共80页，编辑于2022年，星期六 2）罗素悖论罗素悖论 在在叙叙述述罗罗素素悖悖论论之之前前,我我 们们 先先 注注 意意 到到下下边边的的事事实实：一一个个集集合合或或者者是是它它本本身身的的成成员员(元元 素素),或或者者不不是是它它本本身身的的成成员员(元元 素素)，两两者者必必居居其其一一。罗罗素素把把前前者者称称为为“异异 常常 集集合合”，把后者称为，把后者称为“正常集合正常集合”。第61页，共80页，编辑于2022年，星期六 例如例如,所有
41、抽象概念的集合，本身还是抽象概念。所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身的元素，所以是即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合异常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合本但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合本身的元素，所以是身的元素，所以是“正常集合正常集合”。再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身的元素，所以是是这一集合本身的元素，所以是“异常集合异常集合”。但是，。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合本身的所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合本身的元素，所以是
42、元素，所以是“正常集合正常集合”。第62页，共80页，编辑于2022年，星期六罗素当年的例子罗素当年的例子“异常集合异常集合”1：不多于不多于29个字母表达的句子所构成的集合个字母表达的句子所构成的集合“异常集合异常集合”2：不是麻雀的东西所构成的集合不是麻雀的东西所构成的集合第63页，共80页，编辑于2022年，星期六 罗罗素素悖悖论论是是：以以 表表示示“是是其其本本身身成成员员的的所所有有集集合合的的集集合合”（所所有有异异常常集集合合的的集集合合），而而以以 表表示示“不不是是它它本本身身成成员员的的所所有有集集合合的的集集合合”（所所有有正正常常集集合合的的集集合合），于于是是任任一
43、一集集合合或或者者属属于于 ，或或者者属属于于 ，两两者者必必居居其其一一，且且只只居居其其一一。然然后后问问：集集合合 是是否否是是它它本本身身的的成员？（集合成员？（集合 是否是异常集合？）是否是异常集合？）第64页，共80页，编辑于2022年，星期六 如果如果 是它本身的成员，则按是它本身的成员，则按 及及 的定的定义，义，是是 的成员，而不是的成员，而不是 的成员，即的成员，即 不不是它本身的成员，这与假设矛盾。即是它本身的成员，这与假设矛盾。即 如果如果 不是它本身的成员，则按不是它本身的成员，则按 及及 的定义，的定义，是是 的成员，而不是的成员，而不是 的成员，即的成员，即 是它
44、本身的成员，这又与假设矛盾。即是它本身的成员，这又与假设矛盾。即 悖论在于：悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。无论哪一种情况，都得出矛盾。第65页，共80页，编辑于2022年，星期六 罗素悖论的通俗化罗素悖论的通俗化“理发师悖论理发师悖论”：某村的一个理发：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？发师是否给自己刮脸？如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮
45、脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。与假设矛盾。第66页，共80页，编辑于2022年，星期六 4 危机的消除危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种，了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种，一种是一种是抛弃抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，
46、分析悖论产生的原因，改造改造集合论，探讨消除悖论的集合论，探讨消除悖论的可能。可能。人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。第67页，共80页，编辑于2022年，星期六 这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。问题的余地。罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是论
47、的实质）是“自我指谓自我指谓”。即，。即，一个待定义的概念，一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。，造成恶性循环。例如，悖论中定义例如，悖论中定义“不属于自身的集合不属于自身的集合”时，涉及到时，涉及到“自身自身”这个待定义的对象。这个待定义的对象。（再如（再如“本句话是七个字本句话是七个字”）第68页，共80页，编辑于2022年，星期六 为为了了消消除除悖悖论论，数数学学家家们们要要将将康康托托“朴朴素素的的集集合合论论”加加以以公公理理化化；并并且且规规定定构构造造集集合合的的原原则则，例例如如，不不允允许许出出现现“所所有有
48、集集合合的的集集合合”、“一一切切属属于于自自身身的的集集合合”这这样的集合。样的集合。危机的解决第69页，共80页，编辑于2022年，星期六“非断言的”定义方式上面的每一个悖论都涉及一个集合S和S的一个成员M(既M是靠S定义的)。这样的一个定义被称作是“非断言的”，而非断言的定义在某种意义上是循环的。例如，考虑罗素的理发师悖论：用M标志理发师，用S标示所有成员的集合，则M被非断言地定义为“S的给并且只给不自己刮胡子人中刮胡子的那个成员”。此定义的循环的性质是显然的理发师的定义涉及所有的成员，并且理发师本身就是这里的成员。因此，不允许有非断言的定义便可能是一种解决集合论的己知悖论的办法。然而，
49、对这种解决办法，有一个严重的责难，即包括非断言定义的那几部分数学是数学家很不愿丢弃的。第70页，共80页，编辑于2022年，星期六 1908年，策梅洛（年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,18711953）提）提出了由出了由7条公理组成的集合论体系，称为条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。系统。1922年，弗兰克（年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系系统。再后来，还有改进的统。再后来，还有改进的ZFC-系统。系统。这样，大体完成了这样，大体完成了由朴素集合论到公
50、理集合论的发展由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。过程，悖论消除了。第71页，共80页，编辑于2022年，星期六 现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：合论出来后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼但