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1、主讲教师主讲教师:王彩侠王彩侠数学分析 第17章1第2节一元复合函数求导法则本节内容本节内容:一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则二、复合函数的全微分二、复合函数的全微分微分法则复合函数微分法 第17章 2一、复合函数求导的链式法则一、复合函数求导的链式法则定理定理.若函数处可微,在点 则复合函数可微且两个偏导数为(链式法则链式法则)3证明证明:因为函数于是处可微,故又(1)(2)(3)将(1),(2)代入(3)式并整理得4其中由于因此它们在点(x,y)连续,即亦即在点 于是该复合函数可微且有链式法则链式法则.5存在,但定理中外函数 注意注意:若只求两个偏导数,则内函数可减弱为两偏导数
2、例如例如:易知:则复合函数可微可微不可少,若减弱为偏导数存在偏导数存在,则定理结论不一定成立.但函数在(0,0)不可微(已证).若令6推广推广:又例如,设下面所涉及的函数都满足条件.1)中间变量是多个自变量是一个的情形.例如,73)中间变量只有一个的情形中间变量只有一个的情形例如:注:由于是一元函数,则它对的导数应该采用一元函数的导数记号84)特殊情况下的特殊记号满足可微性条件,则有注意注意:这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,设9一般地一般地,若函数处可微,则复合函数(链式法则链式法则)10例例1.设设解解:11例
3、例2.设 求全导数解解:12例例3 3.解解:13求例例4解:14例例5:已知解解:15例例6.已知求解解:由两边对 x 求导,得16例例7求在点处可微,且设函数解解:由题设(2001考研考研)17例例8 设方程确定 u 是 x,y 的函数,连续,且求解解:18例例9.用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:解解:(1)令则(2)令则19二、复合函数的全微分二、复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.20例例1.例例 1.利用全微分形式不变性再解解解:所以21例例2:解解:利用微分形式的不变性有22例例3解解:利用微分形式的不变性有23例例4.设解解:利用微分形式的不变性有24内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是因变量,25思考与练习思考与练习1.26作业作业P123 1(2),(4),(6);3;5.27注意:熟记常用导数符号.称为混合偏导数在计算时注意合并同类项!设29