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1、1记住等比数列的前记住等比数列的前n项和公式，能够利用项和公式，能够利用公式求等比数列的前公式求等比数列的前n项和项和2掌握前掌握前n项和公式的推导方法项和公式的推导方法 第1页/共38页第2页/共38页1在等比数列在等比数列an中，若公比中，若公比q1，则其，则其前前n项和项和Sn_.答案答案：na12在等比数列在等比数列an中，若公比中，若公比q1，则其前，则其前n项和项和Sn_.自学导引自学导引第3页/共38页1等比数列的前等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系？项和公式与函数有哪些关系？自主探究自主探究第4页/共38页当公比当公比q1时，因为时，因为a10，所以，所以Snna1，是是n
2、的正比例函数的正比例函数(常数项为常数项为0的一次函数的一次函数)(2)当当q1时，数列时，数列S1，S2，S3，Sn，的图象是函数的图象是函数yAqxA图象上的一群孤立的图象上的一群孤立的点当点当q1时，数列时，数列S1，S2，S3，Sn，的的图象是正比例函数图象是正比例函数ya1x图象上的一群孤立的点图象上的一群孤立的点2数列数列a，a2，a3，an，一定是等比一定是等比数列吗？数列吗？答案答案：不一定，例如当：不一定，例如当a0时，数列就不是时，数列就不是等比数列等比数列第5页/共38页1等比数列等比数列1，a，a2，a3，的前的前n项和为项和为()预习测评预习测评解析解析：要考虑到公比
3、为：要考虑到公比为1的情况，此时的情况，此时Snn.答案答案：D第6页/共38页2数列数列2n1的前的前99项和为项和为()A21001 B12100C2991 D1299第7页/共38页2数列数列2n1的前的前99项和为项和为()A21001 B12100C2991 D1299答案答案：C第8页/共38页3若等比数列若等比数列an的前的前3项的和为项的和为13，首项为，首项为1，则其公比为，则其公比为_答案答案：3或或4第9页/共38页答案答案：1第10页/共38页第11页/共38页1等比数列前等比数列前n项和公式的推导项和公式的推导设等比数列设等比数列a1，a2，a3，an，它的前它的前n
4、项和是项和是Sna1a2an.由等比数列的通项公式可将由等比数列的通项公式可将Sn写成写成Sna1a1qa1q2a1qn1.式两边同乘以式两边同乘以q得，得，qSna1qa1q2a1q3a1qn.，得，得(1q)Sna1a1qn，由此得，由此得q1时，时，要点阐释要点阐释第12页/共38页当当q1时，时，Snna1.以上的推导方法叫做以上的推导方法叫做“错位相减法错位相减法”这是中这是中学数学里比较重要的一种求和方法，要多用心体学数学里比较重要的一种求和方法，要多用心体会会第13页/共38页特别提示特别提示：(1)等比数列的前等比数列的前n项和的公式及项和的公式及通项公式涉及五个量：通项公式涉
5、及五个量：a1，q，n，an，Sn，只要，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组组)等手段求出其余两个量，俗称等手段求出其余两个量，俗称“知三求二知三求二”(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为条件为q1，当，当q1时应按常数列求和，即时应按常数列求和，即Snna1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，应在解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论分别讨论q1与与q1两种情况两种情况第14页/共38页第15页/共38页2等比数列的判定方法等比数列的判定方法(1)an1anq(an0，q是不为是不为0的
6、常数，的常数，nN*)an为等比数列为等比数列(2)ancqn(c，q均是不为均是不为0的常数，的常数，nN*)an是等比数列是等比数列(3)an12anan2(anan1an20，nN*)an是等比数列是等比数列第16页/共38页题型一等比数列前题型一等比数列前n n项和公式的基本运项和公式的基本运算算典例剖析典例剖析【例例1】在等比数列在等比数列an中，中，(1)S230，S3155，求，求Sn；(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求，求q.第17页/共38页第18页/共38页第19页/共38页第20页/共38页第21页/共38页方法点评方法点评：(1)这是一类基础题，要熟练
7、应用这是一类基础题，要熟练应用等比数列的通项公式及前等比数列的通项公式及前n项和公式，运用方程项和公式，运用方程的思想，解决两个最基本的量：首项的思想，解决两个最基本的量：首项a1和公比和公比q.在等比数列的求和问题中，经常使用整体代换的在等比数列的求和问题中，经常使用整体代换的思想思想(2)在使用等比数列的前在使用等比数列的前n项和公式时，要注项和公式时，要注意讨论公比意讨论公比q1和和q1两种情况两种情况第22页/共38页1若本例若本例(1)中的条件不变，如何求中的条件不变，如何求an的通的通项公式？项公式？第23页/共38页第24页/共38页题型二错位相减法求和题型二错位相减法求和第25
8、页/共38页第26页/共38页2求和：求和：Snx2x23x3nxn(x0)(2)当当x1时，时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1第27页/共38页第28页/共38页题型三判断等比数列题型三判断等比数列【例例3】已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sna2n1(a0，1；nN*)，试判断，试判断an是否为等比数列，为什么？是否为等比数列，为什么？解解：an是等比数列，理由如下：是等比数列，理由如下：a1S1a21，当，当n2时，时，anSnSn1(a2n1)(a2n21)(a21)a2n2，此时，此时，n1时，时，a1a
9、21.第29页/共38页数列数列an的通项公式为的通项公式为an(a21)a2n2(nN*)即数列即数列an是首项为是首项为a21，公比为，公比为a2的等比数的等比数列列方法点评方法点评：将已知条件：将已知条件Sna2n1与与anSnSn1结合起来结合起来，得到，得到n2时的通项公式时的通项公式an(a21)a2n2，特别注意的是，特别注意的是，n1时即时即a1a21能否统一到能否统一到an(a21)a2n2中去，如果能统一起来，则数列中去，如果能统一起来，则数列an为等比数列，否则数列为等比数列，否则数列an不是等比数列不是等比数列第30页/共38页(1)求求a1，a2；(2)求证：数列求证
10、：数列an是等比数列是等比数列第31页/共38页第32页/共38页误区解密漏掉误区解密漏掉q1而导致错误而导致错误【例例4】在数列在数列an中，中，ana2nan(a0)求求an的前的前n项和项和Sn.第33页/共38页错因分析错因分析：等比数列求和，一定要注意公比：等比数列求和，一定要注意公比是否等于是否等于1，否则将导致错误，否则将导致错误第34页/共38页第35页/共38页课堂总结课堂总结第36页/共38页2在等比数列中的五个量在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前中，由前n项和公式结合通项公式，知道三个量项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还可以利用前便可求其余的两个量，同时还可以利用前n项和项和公式解与之有关的实际问题公式解与之有关的实际问题3错位相减法是数列求和的重要方法，必错位相减法是数列求和的重要方法，必须理解数列特征及掌握求和方法须理解数列特征及掌握求和方法第37页/共38页