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1、光纤光学光纤传输的基本理论第1页，此课件共65页哦光纤结构光纤结构光纤如何导光？光纤如何导光？如何分析光纤传输？如何分析光纤传输？几何光学法几何光学法几何光学法几何光学法 麦克斯韦波动方程法麦克斯韦波动方程法麦克斯韦波动方程法麦克斯韦波动方程法第2页，此课件共65页哦第3页，此课件共65页哦第4页，此课件共65页哦 根据全反射原理全反射原理，存在一个临界角c。当c时，相应的光线将在交界面折射进入包包包包层层层层并逐渐消失，如光线3。由此可见，只有在半锥角为c的圆锥内入射的光束才能在光纤中传播。第5页，此课件共65页哦Acceptance angle:(接受角接受角)第6页，此课件共65页哦定义
2、临界角c的正弦为数数数数值值值值孔孔孔孔径径径径(Numerical Aperture,NA)。根据定义和斯奈尔定律斯奈尔定律斯奈尔定律斯奈尔定律 NA=n0sinc=n1cosc ，n1sinc=n2sin90(1.2)n0=1，由式（2.2）经简单计算得到 式中=(n1-n2)/n1为纤芯纤芯纤芯纤芯与包层包层包层包层相对折射率差相对折射率差相对折射率差相对折射率差。NANA表示光纤接收和传输光的能力。表示光纤接收和传输光的能力。表示光纤接收和传输光的能力。表示光纤接收和传输光的能力。？NANA越大越好，越大越好，越大越好，越大越好，or or 越小越好？越小越好？越小越好？越小越好？NA
3、(或c)越大，光纤接收光的能力越强，从光源到光纤的耦合效率耦合效率耦合效率耦合效率越高。对于无损耗光纤，在c内的入射光都能在光纤中传输。NA越大，纤芯对光能量的束缚越强，光纤抗弯曲性能越好;但NA越大，经光纤传输后产生的信号畸变越大，因而限制了信息传输容量限制了信息传输容量限制了信息传输容量限制了信息传输容量。所以要根据实际使用场合，选择适当的NA。(1.3)第7页，此课件共65页哦我要提问！第8页，此课件共65页哦时时时时间间间间延延延延迟迟迟迟 根据图1.4，入射角为的光线在长度为L(ox)的光纤中传输，所经历的路程为l(oy)，在不大的条件下，其传播时间即时时时时间间间间延迟延迟延迟延迟
4、为 式中c为真空中的光速。由式(2.4)得到最最大大入入射射角角(=c)和最小入射角最小入射角(=0)的光线之间时间延迟时间延迟时间延迟时间延迟差差近似为(1.4)(5.5)这种时间延迟差在时域产生脉冲展宽脉冲展宽脉冲展宽脉冲展宽，或称为信号畸变信号畸变信号畸变信号畸变。由此可见，突变型多模光纤突变型多模光纤突变型多模光纤突变型多模光纤的信号畸变是由于不同入射角的光线经光纤传输后，其时间延迟时间延迟时间延迟时间延迟不同而产生的。第9页，此课件共65页哦第10页，此课件共65页哦 式中，n1和n2分别为纤纤芯芯中中心心和包包层层的折射率，r和a分别为径径向向坐坐标标和纤芯半径纤芯半径，=(n1-
5、n2)/n1为相对折射率差相对折射率差，g为折射率分布指数折射率分布指数 g g，(r/a)0(r/a)0的极限条件下，式(2.6)表示突突变变型型多多模模光光纤纤的折射率分布 g g=2=2，n(r)按平方律(抛物线)变化，表示常规渐渐变变型型多多模模光光纤纤的折射率分布。具有这种分布的光纤，不同入射角的光线会聚在中心轴线的一点上，因而脉冲展宽减小 2.渐变型多模光纤渐变型多模光纤 渐渐变变型型多多模模光光纤纤具有能减减小小脉脉冲冲展展宽宽、增增加加带带宽宽的的优优点点。渐变型光纤折射率分布的普遍公式为n11-=n2 ra 0ran(r)=(2.6)第11页，此课件共65页哦 由于渐渐渐渐变
6、变变变型型型型多多多多模模模模光光光光纤纤纤纤折射率分布是径向坐标r的函数，纤芯各点数数数数值孔径值孔径值孔径值孔径不同.局部数值孔径局部数值孔径NA(r)和最大数值孔径最大数值孔径最大数值孔径最大数值孔径NANAmaxmax 第12页，此课件共65页哦渐变折射率光纤的纤芯可以看作是一组层与层之间有细微的折射率渐变折射率光纤的纤芯可以看作是一组层与层之间有细微的折射率变化的薄层变化的薄层,其中在中心轴线处的层具有的折射率为其中在中心轴线处的层具有的折射率为n1，在包层边，在包层边界的折射率为界的折射率为n2。这也是制造商如何来制造光纤的方法。这也是制造商如何来制造光纤的方法。第13页，此课件共
7、65页哦 图 1.5 渐变型多模光纤的光线传播原理 射线方程的解射线方程的解射线方程的解射线方程的解 第14页，此课件共65页哦 式中，为特定光线的位置矢量，s为从某一固定参考点起的光线长度。选用圆柱坐标(r,，z)，把渐渐变变型型多多模模光光纤纤的子午面(r-z)示于图1.5。如式(1.6)所示，一般光纤相相对对折折射射率率差差都很小，光线和中心轴线z的夹角也很小，即sin。由于折射率分布具有圆圆圆圆对对对对称称称称性性性性和沿沿沿沿轴轴轴轴线线线线的的的的均匀性均匀性均匀性均匀性，n与和z无关。在这些条件下，式(1.7)可简化为(1.8)射线方程的解射线方程的解射线方程的解射线方程的解 用
8、几几几几何何何何光光光光学学学学方方方方法法法法分析渐渐渐渐变变变变型型型型多多多多模模模模光光光光纤纤纤纤要求解射线方程，射线方程一般形式为(1.7)第15页，此课件共65页哦 解这个二阶微分方程，得到光线的轨迹光线的轨迹光线的轨迹光线的轨迹为 r(z)=C1sin(Az)+C2 cos(Az)(1.10)式中，A=，C1和C2是待定常数，由边界条件确定。设光线以0从特定点(z=0,r=ri)入射到光纤，并在任意点(z,r)以*从光纤射出。由方程(1.10)及其微分得到(1.9)C2=r(z=0)=ri C1=(1.11)把式(1.6)和g=2代入式(1.8)得到 第16页，此课件共65页哦
9、 由图1.5的入射光得到dr/dz=tanii0/n(r)0/n(0)，把这个近似关系代入式(1.11)得到 由出射光线得到dr/dz=tan*/n(r)，由这个近似关系和对式(2.10)微分得到 *=-An(r)risin(Az)+0 cos(Az)(1.12b)取n(r)n(0)，由式(2.12)得到光线轨迹光线轨迹的普遍公式为把C1和C2代入式(1.10)得到 r(z)=ricos(Az)+(1.12a)第17页，此课件共65页哦 r*=cos(Az)-An(0)sin(Az)cos(Az)r1 这个公式是自聚焦透镜自聚焦透镜自聚焦透镜自聚焦透镜的理论依据。(1.13)第18页，此课件共
10、65页哦 由此可见，渐渐渐渐变变变变型型型型多多多多模模模模光光光光纤纤纤纤的光线轨迹是传输距离z的正弦函数，对于确定的光纤，其幅度的大小取决于入射角0，其周期=2/A=2a/，取决于光纤的结构参数(a,)，而与入射角0无关。自自自自聚聚聚聚焦焦焦焦效效效效应应应应 为观察方便，把光线入射点移到中心轴线(z=0,ri=0)，由式(1.12)和式(1.13)得到(1.14a)*=0cos(Az)(1.14b)这说明不同入射角相应的光线，虽然经历的路程不同，但是最终都会聚在P点上，见图1.5和图1.2(b)，这种现象称为自自自自聚聚聚聚焦焦焦焦(Self-(Self-Focusing)Focusi
11、ng)效应效应效应效应。第19页，此课件共65页哦 渐渐渐渐变变变变型型型型多多多多模模模模光光光光纤纤纤纤具有自自自自聚聚聚聚焦焦焦焦效效效效应应应应，不仅不同入射角相应的光线会聚在同一点上，而且这些光线的时间延迟时间延迟也近似相等。第20页，此课件共65页哦第21页，此课件共65页哦第22页，此课件共65页哦 1.2.2 光纤传输的波动理论光纤传输的波动理论 波动理论是一种比几何光学方法更为严格的分析方法，其严格性在于：(1)从光波的本质特性电磁波出发，通过求解电磁波所遵从的麦克斯韦方程，导出电磁场的场分布,具有理论上的严谨性；(2)未作任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单模和多模光
12、波导。第23页，此课件共65页哦Maxwell方程组求解思路模式的概念光纤模场求解第24页，此课件共65页哦MAXWELLS EQUATIONS B=0 D=E=B/t H=J+D/t From the first line,the normal components of D and B are continuous across a dielectric interface From the second line,the tangential components of E and H are continuous across a dielectric interface第25页，此课
13、件共65页哦分析思路分析思路麦克斯韦方程组波动方程（亥姆赫兹方程）特征方程本征解传输特性分析第26页，此课件共65页哦分离变量分离变量电矢量与磁矢量分离:可得到只与电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式；时、空坐标分离:亥姆霍兹方程，是关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式；空间坐标纵、横分离：波导场方程，是关于E(x,y)和H(x,y)的方程式；边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续。第27页，此课件共65页哦麦克斯韦方程组波动方程？电矢量与磁矢量分离:可得到只与电场强度E(x,y,z,t)有关
14、的方程式及只与磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式；第28页，此课件共65页哦时、空坐标分离：亥姆霍兹方程，是关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式单色波：第29页，此课件共65页哦矢量的Helmholtz方程第30页，此课件共65页哦空间坐标纵、横分离：得到关于E(x,y)和H(x,y)的方程式；第31页，此课件共65页哦第32页，此课件共65页哦用纵向场表示横向场第33页，此课件共65页哦 波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的本征方程。当给定波导的边界条件时，求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”。第34页，此课件共65页哦模式的概念从而光场可表
15、示为分离的形式：式中 为相移常数，也称为传播常数；和 都是复矢量，有幅度、相位和方向，表示了 和 沿光纤横截面的分布，称为模式场。第35页，此课件共65页哦特征解模式 根据偏微分方程理论，对于给定的边界条件，简化的麦克斯韦方程组有无穷多个离散的特征解，并可进行排序。每一个特征解为：一个特征解为一个模式，光纤中总的光场分布则是这些模式的线性组合：一系列模式可以看成是一个光波导的场分布的空间谱。第36页，此课件共65页哦模式的基本特性稳定性：一个模式沿纵向传输时，其场分布形式不变，即沿z方向有稳定的分布。有序性：模式是波动方程的一系列特征解，是离散的、可以排序的。排序方法有两种：一种是以传播常数
16、的大小排序，越大，序号越小；另一种是以两个自变量 排序，所以有两列序号。叠加性：光波导中总的场分布是这些模式的线性叠加。正交性：一个正规光波导的不同模式之间满足正交关系。第37页，此课件共65页哦模式的基本特征模式的基本特征每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波；每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件；模式具有确定的相速群速和横场分布。模式是波导结构的固有电磁共振属性的模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。表征。给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的，外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。第38页，此课件共65页哦数学表达式：物理意义：光波导
17、中所有模式（导模、漏摸、辐射摸）相互正交，模式独立载运光能量，光波场总功率等于各个模式携带功率的迭加；光波导实际场分布可以表示为各个模式本征函数的迭加。模式正交归一性模式正交归一性第39页，此课件共65页哦模式命名模式命名根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否，可将模式命名为：(1)横电磁模(TEM)：Ez0，Hz0；(2)横电模(TE)：Ez0，Hz0；(3)横磁模(TM)：Ez0，Hz0；(4)混杂模(HE或EH)：Ez0，Hz0。第40页，此课件共65页哦阶跃折射率光纤中的场解阶跃折射率光纤中的场解数学模型圆柱坐标系中的波导场方程边界条件本征解与本征值方程本征值与模式分析第41页，此课件共
18、65页哦数学模型数学模型数学模型：阶跃折射率分布光纤是一种理想的数学模型，即认为光纤是一种无限大直圆柱系统，芯区半径a，折射率为n1；包层沿径向无限延伸，折射率为n2。光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质。第42页，此课件共65页哦图 2.6 光纤中的圆柱坐标 第43页，此课件共65页哦 六个场分量：Er，E，Ez，Hr，H，Hz。但并不是相互独立的，横向分量由两个纵向分量唯一确定。第44页，此课件共65页哦 式中，E和H分别为电电电电场场场场和磁磁磁磁场场场场在直角坐标中的任一分量，c为光速。选用圆柱坐标(r，z)，使z轴与光纤中心轴线一致，如图2.6所示。将式(2.18)在圆柱坐标中展开
19、，得到电场的z分量Ez 的波波波波动动动动方程方程方程方程为(2.18a)(2.18b)(2.19)1.波动方程和电磁场表达式波动方程和电磁场表达式 设光纤没有损损耗耗，折折射射率率n变化很小，在光纤中传播的是角频率为的单单色色光光，电磁场与时间t的关系为exp(jt)，则标标标标量量量量波波波波动动动动方程(Helmholtz方程)为 第45页，此课件共65页哦 磁场分量磁场分量磁场分量磁场分量Hz的方程和式(2.19)完全相同，不再列出。解方程(2.19)，求出Ez 和Hz，再通过麦麦麦麦克克克克斯斯斯斯韦韦韦韦方方方方程程程程组组组组求出其他电磁场分量，就得到任意位置的电场电场电场电场和
20、磁场磁场磁场磁场。变变量量分分离离法法：把Ez(r,z)分解为Ez(r)、Ez()和Ez(z)。从物理概念出发，可直接写出Ez()和Ez(z)的形式。设光沿光纤轴向(z轴)传输，其传输常数为，则Ez(z)应为exp(-jz)。由于光纤的圆圆圆圆对对对对称称称称性性性性，Ez()应为方方方方位位位位角角角角 的周期函数，设为exp(jv)，v为整数。现在Ez(r)为未知函数，利用这些表达式，电场z分量可以写成 Ez(r,z)=Ez(r)ej(v-z)(2.20)把式(2.20)代入式(2.19)得到第46页，此课件共65页哦 式中，k=2/=2f/c=/c，和f为光的波长和频率。这样就把分析光纤
21、中的电电电电磁磁磁磁场场场场分分分分布布布布，归结为求解贝贝贝贝塞塞塞塞尔尔尔尔(Bessel)Bessel)方方方方程程程程(2.21)。贝贝贝贝塞塞塞塞尔尔尔尔(Bessel)(Bessel)方方方方程程程程有有有有不不不不同同同同的的的的解解解解，取取取取什什什什么么么么解解解解要要要要根根根根据据据据物物物物理理理理意意意意义义义义来来来来确确确确定定定定。设纤芯(0ra)折射率n(r)=n1，包层(ra)折射率n(r)=n2，实际上突变型多模光纤突变型多模光纤突变型多模光纤突变型多模光纤和常规单模光纤单模光纤单模光纤单模光纤都满足这个条件。为求解方程(2.21)，引入无量纲参数u u
22、,w w和V V。(2.21)第47页，此课件共65页哦 因为光光光光能能能能量量量量要要要要在在在在纤纤纤纤芯芯芯芯(0ra)(0ra)中中中中传传传传输输输输，在在在在r=0r=0处处处处，电电电电磁磁磁磁场场场场应应应应为为为为有有有有限限限限实实实实数数数数；在在在在包包包包层层层层(ra)(ra)，光光光光能能能能量量量量沿沿沿沿径径径径向向向向r r迅迅迅迅速速速速衰衰衰衰减减减减，当当当当rr时时时时，电电电电磁磁磁磁场应消逝为零场应消逝为零场应消逝为零场应消逝为零。根据这些特点，式(2.23a)的解应取v阶贝贝贝贝塞塞塞塞尔尔尔尔函函函函数数数数Jv(ur/a)，而式(2.23
23、b)的解则应取v阶修正的贝塞尔函数贝塞尔函数贝塞尔函数贝塞尔函数Kv(wr/a)。u2=a2(n21k2-2)(0ra)w2=a2(2-n22k2)(ra)V2=u2+w2=a2k2(n21-n22)利用这些参数，把式(2.21)分解为两个贝塞尔微分方程贝塞尔微分方程贝塞尔微分方程贝塞尔微分方程：(2.22)(0ra)(ra)(2.23a)(2.23b)第48页，此课件共65页哦图2.7 （a)贝赛尔函数；（b)修正的贝赛尔函数Jv(u)1.00.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6432102 4 6 8 10 uv=1v=0v=2(a)(b)v=11 2 3 4 5 wkv(w)
24、第49页，此课件共65页哦因此，在纤芯纤芯纤芯纤芯和包层包层包层包层的电场电场电场电场Ez(r,z)和磁场磁场磁场磁场Hz(r,z)表达式为 Ez1(r,z)(0ra)Hz1(r,z)=Ez2(r,z)Hz2(r,z)(0ra)(ra)(ra)(2.24a)(2.24b)(2.24c)(2.24d)式中，脚标1和2分别表示纤纤纤纤芯芯芯芯和包包包包层层层层的电磁场分量，A和B为待定常数，由激励条件确定。Jv(u)和Kv(w)如图2.7所示，Jv(u)类似振幅衰减的正弦曲线，Kv(w)类似衰减的指数曲线。式(2.24)表明，光纤传输模式的电磁场分布和性质取决于特征参数u u、w w和 的值。u和
25、w决定纤芯和包层横向(r)电磁场的分布，称为横横横横向向向向传传传传输输输输常常常常数数数数；决定纵向(z)电磁场分布和传输性质，所以称为(纵向纵向纵向纵向)传输常数传输常数传输常数传输常数。第50页，此课件共65页哦圆柱坐标系下纵向分量与横向分量的圆柱坐标系下纵向分量与横向分量的关系关系第51页，此课件共65页哦 2.特征方程和传输模式特征方程和传输模式 由式(2.24)确定光纤传输模式的电磁场分布和传输性质，必须求得u u,w w和 的值。由式(2.22)看到，在光纤基本参数n1、n2、a和k已知的条件下，u u和w w只和 有关。利用边界条件，导出满足的特征方程，就可以求得 和u u、w
26、 w的值。由式(2.24)确定电电电电磁磁磁磁场场场场的纵纵纵纵向向向向分分分分量量量量Ez和Hz后，就可以通过麦克斯韦方程组导出电磁场横向分量电磁场横向分量电磁场横向分量电磁场横向分量Er、Hr和E、H的表达式。因为电电电电磁磁磁磁场场场场强强强强度度度度的切向分量在纤纤纤纤芯芯芯芯包包包包层层层层交界面连续，在r=a处应该有 Ez1=Ez2 Hz1=Hz2 E1=E2 H1=H2 (2.25)第52页，此课件共65页哦 由式(2.24)可知，Ez和Hz已自动满足边界条件边界条件边界条件边界条件的要求。由E和H的边界条件边界条件边界条件边界条件导出满足的特征方程特征方程特征方程特征方程为 这
27、是一个超越方程，由这个方程和式(2.22)定义的特征参数V联立，就可求得值。但数值计算十分复杂，其结果示于图2.8。图中纵坐标的传输常数取值范围为 n2kn1k (2.27)(2.26)第53页，此课件共65页哦 横坐标的V V称为归一化频率归一化频率归一化频率归一化频率，根据式(2.22)(2.29)图中每一条曲线表示一个传传传传输输输输模模模模式式式式的随V的变化，所以方程(2.26)又称为色散方程色散方程色散方程色散方程。第54页，此课件共65页哦图 2.8 若干低阶模式归一化传输常数随归一化频率变化的曲线 01234560b1n1n2b/kHE11TE01HE31TM01HE21EH1
28、1EH12HE41EH21TM02TE02HE22V第55页，此课件共65页哦对于每个确定的v值，可以从特征方程(2.26)求出一系列值，每个值对应一定的模式，具有特定的电磁场电磁场电磁场电磁场分布。第56页，此课件共65页哦 当v=0时，电电电电磁磁磁磁场场场场可分为两类。一类只有Ez、Er和H分量，Hz=Hr=0，E=0，这类在传输方向无磁场的模式称为横磁模横磁模横磁模横磁模(波)，记为TM0。另一类只有Hz、Hr和E分量，Ez=Er=0，H=0，这类在传输方向无电场的模式称为横电模横电模横电模横电模(波)，记为TE0。当v0时，电磁场六个分量都存在，这些模式称为混合模混合模混合模混合模(
29、波波波波)。混合模也有两类，一类EzHz，记为HEv，另一类HzEz，记为EHv。下标v和都是整数。第一个下标v是贝塞尔函数的阶数，称为方方方方位位位位角角角角模模模模数数数数，它表示在纤芯沿方位角绕一圈电场变化的周期数。第二个下标是贝塞尔函数的根按从小到大排列的序数，称为径径径径向向向向模数模数模数模数。第57页，此课件共65页哦波动方程和特征方程的精确求解都非常繁杂，一般要进行简化。大多数通信光纤的纤芯与包层相对折射率差都很小(例如1)由HEv+1和EHv-1组成，包含4重简并。第59页，此课件共65页哦LP01 HE11LP11 HE21 TM01 TE01 LP02 HE12LP12
30、HE22 TM02 TE02LP03 HE13LP13 HE23 TM03 TE0302.4052.4053.8323.8325.5205.5207.0167.0168.6548.65410.173低阶模式低阶模式V值范围值范围表表2.2 低阶（低阶（v=0和和v=1）模式和相应的）模式和相应的V值范围值范围第60页，此课件共65页哦图 2.9 四个低阶模式的电磁场矢量结构图 第61页，此课件共65页哦 3.模式数量模式数量V值How can we calculate the number of modes?For a large number(20),the following formul
31、a for a step-index fiber can be applied:第62页，此课件共65页哦For a graded-index fiber the formula is:The example 3.3.1Calculate the number of modes for a graded-index optical fiber if its core diameter d=62.5um,its numerical aperture NA=0.275,and its operating wavelength=1300nm第63页，此课件共65页哦 4.单模条件和截止波长单模条件和
32、截止波长单模条件和截止波长单模条件和截止波长 传输模式数目随V值的增加而增多。当V值减小时，不断发生模模模模式式式式截截截截止止止止，模式数目模式数目模式数目模式数目逐渐减少。特别值得注意的是当V2.405时，只有HE11(LP01)一个模式存在，其余模式全部截止。HE11称为基模基模基模基模，由两个偏振态简并而成。由此得到单模传输条件单模传输条件单模传输条件单模传输条件为 V=2.405 或c=由式(2.36)可以看到，对于给定的光纤(n1、n2和a确定)，存在一个临临临临界界界界波波波波长长长长cc，当c时，是单模传输，这个临界波长c称为截止波长截止波长截止波长截止波长。由此得到(2.36)第64页，此课件共65页哦 5.光强分布和模场半径光强分布和模场半径光强分布和模场半径光强分布和模场半径 通常单模光纤单模光纤单模光纤单模光纤基模HE11的电磁场分布可近似为高斯分布高斯分布高斯分布高斯分布 式中，A为场的幅度，r为径向坐标，w0为高斯分布1/e点的半宽度，称为模场半径模场半径模场半径模场半径。实际单模光纤单模光纤单模光纤单模光纤的模场半径模场半径模场半径模场半径w0是用测量确定的 (r)=A exp(2.37)第65页，此课件共65页哦