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1、第第3章章 系统的时域系统的时域分析分析本讲稿第一页，共四十九页2.1 系统的微分方程及其响应系统的微分方程及其响应 一、LTI系统的描述 1、线性非时变系统线性常系数微分方程2、如何建立方程?KCL、KVL、VCR电路的知识 元件约束VAR（电流电压取关联参考方向条件下）(1)电阻R uR(t)=RiR(t)；(2)电感L (3)电容C本讲稿第二页，共四十九页 3、一般的n阶LTI系统其微分方程形式为：a ny(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)式中a n，a1，a0和
2、bm，bm-1，b1，b0均为常数 f(t)为激励，y(t)响应由电路知识得：线性动态电路的完全响应y(t)分为零输入响应yzi(t)和零状态响应yzs(t)即y(t)=yzi(t)+yzs(t)本讲稿第三页，共四十九页二、二、零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。1、零输入响应是激励为零时仅由系统的起始状态所引起的响应，用yzi(t)表示2、零状态响应是系统的初始状态为零(即系统的储能状态为零)时，仅由输入信号所引起的响应，用yzs(t)表示 线性时不变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即 y(t)=yzi(t)+y
3、zs(t)本讲稿第四页，共四十九页四、零输入响应四、零输入响应yzi(t)1、定义：从观察初始时刻起，输入信号为0，仅仅由该时刻的起始状态（系统本身具有的）作用系统所产生的响应称为零输入响应（又称储能响应）2、起始状态 反映系统初始时刻的能量（初始时刻一般是t0）约定：把t0-的值uc(0-),iL(0-)称为起始状态 把t0+的值uc(0),iL(0）及各阶导数称为初始值本讲稿第五页，共四十九页五、零状态响应五、零状态响应1、定义：从观察初始时刻起，起始状态为0，仅仅由外加输入作用于系统所产生的响应称为零状态响应（又称受激 响应）2、一阶微分方程零状态响应的解法（公式法）y(1)(t)+ay
4、(t）g(t)侧y(t)=e-at g()ea d x1(t)=e-at (t0)本讲稿第六页，共四十九页 在电路分析中，为确定初始条件，常常利用系统内部储能的连续性，即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性。这就是动态电路中的换路定理。若换路发生在t=t0时刻，有本讲稿第七页，共四十九页2.2 奇异函数奇异函数 一、单位阶跃信号一、单位阶跃信号1、定义：阶跃信号以符号u(t)表示，其定义为 2、图形3、单位阶跃信号的作用 a、表示任意方波信号 b、单边性图2.6 阶跃信号与延时阶跃信号 本讲稿第八页，共四十九页 例29 试用阶跃函数表示图2.7所示的延时脉冲信号和方波信号。解 w1(t)=u
5、(t-t0)-2u(t-2t0)+u(t-3t0)w2(t)=u(t)-u(t-1)+u(t-2)-u(t-3)+u(t-4)-u(t-5)w3(t)=u(t)+u(t-t0)+u(t-2t0)-u(t-3t0)-u(t-4t0)-u(t-5t0)本讲稿第九页，共四十九页单单边边性性。任意连续时间信号f(t)(-t0)，而t0时，信号为零，如图所示。图 阶跃信号的单边特性 本讲稿第十页，共四十九页二、冲激信号二、冲激信号1、定义：冲激信号记为(t)，其一般定义式为：2、图形3、直观理解 可以由普通函数通过求极限得到。可以由普通函数通过求极限得到。图：冲激信号及延时冲激信号 本讲稿第十一页，共四
6、十九页4、单位阶跃信号与单位冲激信号的关系 冲激信号是阶跃信号的一阶导数，阶跃信号是冲激信号的时间积分冲激信号是阶跃信号的一阶导数，阶跃信号是冲激信号的时间积分阶跃信号u(t)在t=0处有间断点，对其求导后，即产生冲激信号(t)。以后对信号求导时，凡不连续点的导数就用冲激信号或延时冲激信号来表示，冲激信号的强度就是不连续点的跳跃值 本讲稿第十二页，共四十九页 5、冲激信号的性质 （若f(t)是一个在t=t0处连续的普通函数）a、偶函数 (t)(t)b、取样特性：f(t)(t-t0)=f(t0)(t-t0)c、筛选特性：d、卷积特性：如果信号f(t)是一个任意连续时间函数，则有 表明任意连续时间
7、信号f(t)与冲激信号(t)相卷积，其结果还是信号f(t)本身。冲激信号的上述特性在信号与系统的分析中具有重要的作用，下面举例说明冲激信号特性的应用本讲稿第十三页，共四十九页计算下列各式的值：本讲稿第十四页，共四十九页解 本讲稿第十五页，共四十九页6、冲激信号的 作用（信号分析）即对任意信号f(t)进行分解 将信号f(t)可表示为多个冲激信号的线性组合！本讲稿第十六页，共四十九页三、斜坡信号三、斜坡信号 1、定义 斜坡信号以符号(t)表示，其定义为 2、图形：如下所示 图 斜坡信号与延迟斜坡信号(t-t0)=(t-t0)u(t-t0)(-t)本讲稿第十七页，共四十九页 3、作用：利用斜坡信号与
8、阶跃信号可表示任意三角脉冲信号f(t)=(t-1)u(t-1)-(t-2)u(t-2)-u(t-2)4、斜坡信号与阶跃信号关系从阶跃信号与斜坡信号的定义，可以导出阶跃信号与斜坡信号之间的关系本讲稿第十八页，共四十九页四、冲激偶信号1、定义：对冲激信号(t)求时间导数，得到一个新的奇异信号，即冲激偶信号，其表示式为2、图形3、奇函数 图 冲激偶信号 本讲稿第十九页，共四十九页2.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应.一、阶跃响应一、阶跃响应 1、定定义义：线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用s(t)表示。阶阶跃跃响响应应是是激激
9、励励为为单单位阶跃函数位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应时，系统的零状态响应 2、阶跃响应的求解求解 阶跃响应属于零状态响应（一种特殊的零状态响应只不过f(t)是阶跃信号阶跃信号）基本解法是前面学过的公式求解法公式求解法本讲稿第二十页，共四十九页 二、冲激响应二、冲激响应1、定义：线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激信号(t)所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号(t)时，系统的零状态响应。2、h(t)的求解 冲激响应属于零状态响应本讲稿第二十一页，共四十九页三、冲激响应和阶跃响应的关系三、冲激响应和阶跃响应的关系 冲激
10、响应等于阶跃响应的微分，阶跃响应等于冲激响应的冲激响应等于阶跃响应的微分，阶跃响应等于冲激响应的积分积分本讲稿第二十二页，共四十九页2.4 卷积及卷积分析法卷积及卷积分析法一、卷积的概念一、卷积的概念1、卷积是一种运算，用*表示 y(t)=f1(t)*f2(t)=注：a、为积分变量，t为参变量 b、卷积运算同微分、积分一样是线性运算本讲稿第二十三页，共四十九页二、卷积积分的性质二、卷积积分的性质 1、交换律、交换律 说明两信号的卷积积分与次序无关 2、结合律结合律 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)3、分配律、分配律 f1(t)+f2(t)*f3(t)=f1
11、(t)*f3(t)+f2(t)*f3(t)本讲稿第二十四页，共四十九页 4、卷积的微分特性、卷积的微分特性 设y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)则y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)证明 本讲稿第二十五页，共四十九页5、卷积的积分特性、卷积的积分特性设y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)则 y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t)式中y(-1)(t)，f(-1)(t)及h(-1)(t)分别表示y(t)，f(t)及h(t)对时间t的一次积分 y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=f(j)(t)*h(i)(t)6、
12、卷积的等效特性卷积的等效特性 设y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)则 y(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(t)*h(-1)(t)进一步推广 设 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)则本讲稿第二十六页，共四十九页7、卷积的延时特性、卷积的延时特性 若f1(t)*f2(t)=y(t)则f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1-t2)本讲稿第二十七页，共四十九页三、时域的卷积分析法三、时域的卷积分析法1、卷积分析法、卷积分析法 若LTI系统输入为f(t)冲激响应为h(t)则系统的零状态响应 y(t)=f(t)*h(t)卷积分析法用来求系统的零状态响应卷积分析法
13、用来求系统的零状态响应 系统的零状态响应为输入激励f(t)与系统的冲激响应h(t)的卷积积分2、推导、推导（为何f(t)*h(t)的结果是系统的零状态响应呢？）本讲稿第二十八页，共四十九页 例例 1设系统的冲激响应为h(t)=(t+T)+(t-T)，如图(a)所示,输入信号为f(t)，如图(b)所示，试求系统在信号f(t)激励下的零状态响应 解 y(t)=f(t)*h(t)=f(t)*(t+T)+(t-T)=f(t+T)+f(t-T)本讲稿第二十九页，共四十九页 只只需需在在每每个个冲冲激激信信号号出出现现的的位位置置处处重重画画信信号号f(t)即即可可，卷卷积积结结果果(即系统的零状态响应即
14、系统的零状态响应)如图如图(c)所示所示 本讲稿第三十页，共四十九页四、奇异函数的卷积特性四、奇异函数的卷积特性 两个信号卷积 中有一个是奇异信号1、延时特性、延时特性 f(t)*k(t-t0)=kf(t-t0)a、如果h(t)=(t-t0)y(t)=f(t)*h(t)=f(t-t0)当当h(t)=(t-t0)时称为理想延时器时称为理想延时器图 理想延时器及其冲激响应 本讲稿第三十一页，共四十九页 b、若f(t)=k(t)y(t)=f(t)*h(t)=f(t)*k(t)=kf(t)输出是输入信号f(t)的k倍 当当h(t)=k(t)时称为理想放大器时称为理想放大器 图 理想放大器及其冲激响应
15、本讲稿第三十二页，共四十九页 2、微分特性、微分特性 f(t)*(t)=f(t)*(t)=f(t)即任意信号f(t)与冲激偶信号(t)卷积，结果为信号f(t)的一阶导数 若系统的冲激响应为冲激偶信号h(t)=(t)，则此系统称为微分器微分器 图 微分器及其冲激响应 本讲稿第三十三页，共四十九页 3、积分特性、积分特性 即任意信号f(t)与阶跃信号u(t)卷积，结果为信号f(t)本身对时间的积分 如果一个系统的冲激响应为h(t)阶跃信号u(t)，则此系统称为积分器 图 积分器及其冲激响应 本讲稿第三十四页，共四十九页例例2 已知f(t)=e-tu(t)，h(t)=u(t)-u(t-2)求两信号的
16、卷积系统的零状态响应y(t)=f(t)*h(t)解 根据卷积运算的分配律 yf(t)=f(t)*h(t)=f(t)*(u(t)-u(t-2)=f(t)*u(t)+f(t)*u(t-2)=f(-1)(t)-f(-1)(t-2)亦可利用卷积的等效特性来计算，即yf(t)=f(t)*h(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(-1)(t)*(u(t)-u(t-2)=f(-1)(t)*(t)-(t-2)=f(-1)(t)-f(-1)(t-2)本讲稿第三十五页，共四十九页例例3 已知某线性非时变(LTI)系统如图2.27所示。已知图中h1(t)=u(t)，h2(t)=(t-1)，h3(t)=e-3(t-2
17、)u(t-2)，试求该系统的冲激响应h(t)。解 当多个子系统通过级联，并联组成一个大系统时，大系统的冲激响应h(t)可以直接通过各子系统的冲激响应计算得到。h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t)=u(t)*(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)=u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)本讲稿第三十六页，共四十九页五、五、卷积积分的计算卷积积分的计算 1、解析计算法解析计算法 参与卷积的两个信号f1(t)与f2(t)都可以用解析函数式表达解析函数式表达，可以直接按照卷积的积分定义进行计算。例4 已知f1(t)=e-3t u(t)，f2(t)=e-5t u(t)，试计算两信号的卷积f1
18、(t)*f2(t)。解：根据卷积积分的定义本讲稿第三十七页，共四十九页本讲稿第三十八页，共四十九页例例5已知信号f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)与f2(t)=e-5(t-2)u(t-2)，试计算两信号 的卷积f1(t)*f2(t)解解 根据卷积积分的定义，可得 本讲稿第三十九页，共四十九页 在例4中，f1(t)的起点为0，f2(t)的起点为0，故f1(t)*f2(t)的起点也为0 在例5中，f1(t)的起点为1，f2(t)的起点为2，故f1(t)*f2(t)的起点为1+2=3可以根据（起点等于起点之和终点等于终点之和）验证起终点之间的关系本讲稿第四十页，共四十九页2、图解计算法图解计算
19、法 y(t)=f1(t)*f2(t)=已知信号的波形求卷积可以利用图解方式来计算已知信号的波形求卷积可以利用图解方式来计算 下面通过例题来介绍图解卷积的具体步骤。例例6 已知试用图解法求两信号的卷积 y(t)=f(t)*h(t)解首先将解首先将h()沿纵轴反转位移为沿纵轴反转位移为 h(t-)，如图所示。然后观察随着参数，如图所示。然后观察随着参数 t的变化，的变化，f()与与 h(t-)乘乘 积随之而变化从而积随之而变化从而 将将t分成不同分成不同 的的 区间，分别计算区间，分别计算 其积分的结其积分的结果果.本讲稿第四十一页，共四十九页本讲稿第四十二页，共四十九页 综合各段结果，有本讲稿第
20、四十三页，共四十九页例例7已知信号f(t)与h(t)的波形如图(a)、(b)所示，试计算其卷积y(t)=f(t)*h(t)。解首先将h()沿纵轴反转位移为 h(t-)，如图所示。然后观察随着参数 t的变化，f()与 h(t-)乘 积随之而变化从而 将t分成不同 的 区间，分别计算 其积分的结果.本讲稿第四十四页，共四十九页 图 两个不等宽矩形脉冲的卷积 本讲稿第四十五页，共四十九页 例例8已知两信号f(t)与h(t)的波形如图(a)、(b)所示，试计算其 卷积y(t)=f(t)*h(t)。解解 由由于于y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)，因因此此没没有有必必要要非非得得反反转转h(t)不不可可。一一般般情情况况下下，应应该该反反转转两两个个函函数数中中较较简简单单的的一一个个，在在本本题题中中，f(t)较较简简单单，故故反反转转f()为为f(t-)(t0)，如如图图(c)所示。根据所示。根据t的不同区间，分别计算其卷积积分的不同区间，分别计算其卷积积分.本讲稿第四十六页，共四十九页本讲稿第四十七页，共四十九页 作作业业已知两信号f(t)与h(t)的波形如图2.32(a)、(b)所示，试计算其卷积积分y(t)=f(t)*h(t)本讲稿第四十八页，共四十九页本讲稿第四十九页，共四十九页