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1、 生活中经常遇到求生活中经常遇到求利润最大利润最大、用用料最省料最省、效率最高效率最高等问题，这些问题等问题，这些问题通常称为通常称为优化问题优化问题，通过前面的学习，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。一些生活中的优化问题。第1页/共27页问题问题1:1:海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计第2页/共27页 例例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，宣传，现让你设计一张如图
2、所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为要求版心面积为128dm2,上下边各空上下边各空2dm,左右空左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？小？解：设版心的高为解：设版心的高为xcm,则宽为则宽为此时四周空白面积为：此时四周空白面积为：求导数，有求导数，有解得，解得，x=16 (x=-16舍去）舍去）第3页/共27页因此，因此，x=16是函数是函数s(x)的极小值点，也的极小值点，也是最小值点。是最小值点。所以，当版心高为所以，当版心高为16dm,宽宽为为8dm时，能使四周空白面积最小。时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为答：当版心高
3、为16dm,宽为宽为8dm时，海报时，海报四周空白面积最小。四周空白面积最小。第4页/共27页练习练习1、一条长为、一条长为l的铁丝截成两段，分别的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？别是多少？则两个正方形面积和为解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,其中0 x2时，时，f(r)0,它表示它表示f(r)单调递单调递增，即半径越大，利润越高；增，即半径越大，利润越高；当当r2时，时，f(r)0,它表示它表示f(r)单调递减，即单调递减，即半径越大，利润越低。半径越大，利润越低。（
4、1）半径为）半径为2时，利润最小。这时时，利润最小。这时f(2)0;当x(40,60)时,V(x)0.函数V(x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V(x)的最大值.答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大,最大值为16000cm3第11页/共27页 2、若函数、若函数 f(x)在定义域内在定义域内只有一个极值点只有一个极值点x0，则不需与端点比较，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或即是所求的最大值或最小值最小值.说明说明1、设出变量找出函数关系式；、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义第12页/共27页练
5、习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解 设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为 S(R)=2Rh+2R2.又V=R2h(定值),即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答 罐高与底的直径相等时,所用材料最省.第13页/共27页 问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?第14页/共27页第15页/共27页解解:存储量=磁道数每磁道的比特数.设存储区的半径介于设存储区的半径介于r与与R之间之间,由于磁道之间的宽由于磁道之间的宽度必须大于度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达所以磁
6、道数最多可达(R-r)/m。由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到特数可达到 ,所以，磁道总存储量为：所以，磁道总存储量为：(1)它是一个关于它是一个关于r的二次函数，从函数的解的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越越小，磁盘的存储量越大。大。第16页/共27页解：存储量=磁道数每磁道的比特数(2)为求f(r)的最大值，先计算第17页/共27页解得解得第18页/共27页如何解决优化问题?优化问题优化问题的答
7、案用函数表示的数学问题用导数解决数学问题第19页/共27页优化问题优化问题用函数表示数学问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案建立数学模型建立数学模型解决数学模型解决数学模型作答作答利用导数解决优化问题的基本思路利用导数解决优化问题的基本思路：这节课这节课,我们来继续学习几个优化问题的例子我们来继续学习几个优化问题的例子第20页/共27页1答案答案例例4 4：如图如图,铁路线上铁路线上AB段长段长100km,工厂工厂C到铁路的距离到铁路的距离CA=20km.现在要在现在要在AB上某一处上某一处D,向向C修修一条公路一条公路.已知铁路每吨千米与已知
8、铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料为了使原料从供应站从供应站B运到工厂运到工厂C的运费最省的运费最省,D应修在何处应修在何处?B D AC解解:设设DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD=km.又设铁路上每吨千米的运费为又设铁路上每吨千米的运费为3t元元,则公路上每吨千则公路上每吨千米的运费为米的运费为5t元元.这样这样,每吨原料从供应站每吨原料从供应站B运到工厂运到工厂C的总运费为的总运费为第21页/共27页令令 ,在在 的范围内有唯一解的范围内有唯一解x=15.所以所以,当当x=15(km),即即D点选在距点选在距A点点15千米时
9、千米时,总运费最省总运费最省.注注:可以进一步讨论可以进一步讨论,当当AB的距离大于的距离大于15千米时千米时,要找的要找的 最优点总在距最优点总在距A点点15千米的千米的D点处点处;当当AB之间的距离之间的距离 不超过不超过15千米时千米时,所选所选D点与点与B点重合点重合.解解:设设DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD=km.又设铁路上每吨千米的运费为又设铁路上每吨千米的运费为3t元元,则公路上每吨千米的运费为则公路上每吨千米的运费为5t元元.这样这样,每吨原料从供应站每吨原料从供应站B运到工厂运到工厂C的总运费为的总运费为B D AC第22页/共27页例5 5在经济学中，
10、生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)C(x)称为利润函数，记为P(x)。（1）、如果C(x)，那么生产多少单位产品时，边际 (边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）、如果C(x)=50 x10000，产品的单价P100 0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？第23页/共27页变式变式已知已知:某商品生产成本与产量某商品生产成本与产量q q的函数关系式为的函数关系式为,价格价格p p与产量与产量q q的函数关系式为的函数关系式为 求产量求产量 q q 为何值时，利润为何值时，利润 L L 最大？最大？第24页/
11、共27页【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x 0，y 0，则另一个在抛物线上的顶点为（x，y），在x轴上的两个顶点为（x，0）、（x，0），其中0 x 2设矩形的面积为S，则S 2 x（4x2），0 x 2由S（x）86 x20，得x ，易知x 是S在（0，2）上的极值点，即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为和第25页/共27页 (课本第课本第3737页页B B组第组第1 1题题)某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；房间的单价每定价为元时，房间会全部住满；房间的单价每增加元，就会有一个房间空闲如果游客居住房增加元，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费元的各种维修费房间间，宾馆每天每间需花费元的各种维修费房间定价多少时，宾馆的利润最大？定价多少时，宾馆的利润最大？解解:设宾馆定价为设宾馆定价为(18010 x)元时，宾馆的利润最大元时，宾馆的利润最大第26页/共27页感谢您的观看！第27页/共27页