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1、如如图图，设设i,j,k是是空空间间三三个个两两两两垂垂直直的的向向量量，且且有有公公共共起起点点O。对对于于空空间间任任意意一一个个向向量量p=,设设点点Q为为点点P在在 i,j所所 确确 定定 的的 平平 面面 上上 的的正正投投影影，由由平平面面基基本本定定理理可可知知，在在 ,k所所 确确 定定 的的 平平 面面 上上，存存 在在 实实 数数z，使使 得得而而 在在i,j所所确确定定的的平平面面上上，由由平平面面向向量量基基本本定定理理可可 知知，存存 在在 有有 序序 之之 前前 数数 对对(x,y)，使使得得.xi+yj从从而而 z k=xi+yj+zk.xyzkijQPO一、空间
2、向量基本定理：空间向量基本定理：第1页/共20页xyzkijQPO如果如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量任一个向量p，存在一个有序实数组使得，存在一个有序实数组使得p=xi+yj+zk.我们称我们称xi,yj,zk为向量为向量p在在i,j,k上的分向量。上的分向量。第2页/共20页都叫做都叫做基向量基向量叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底第3页/共20页 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都底的三个基向量互相垂直，且长都为为1，则这个基底叫做，则这个基底叫做单位正交基底单位正交基底,常
3、用常用 表示表示 正交基底：正交基底：空间的一个基底的空间的一个基底的三个基向量互相垂直。三个基向量互相垂直。二、空间直角坐标系第4页/共20页二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 在空间选定一点在空间选定一点O和一个单位正交和一个单位正交基底基底 ,以点以点O为原点，分别为原点，分别 以以 的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,这样就建立了一个空间这样就建立了一个空间直角坐标系直角坐标系Oxyz.第5页/共20页三、空间向量的正交分解及其坐标表示三、空间向量的正交分解及其坐标表示xyzOijkP记作记作 =(x,y,z)由空间向量基本定理，对于空由空间向量基
4、本定理，对于空间任一间任一向量向量 存在唯一的有序存在唯一的有序实数组实数组(x,y,z)使使 PP第6页/共20页1已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是()A.2a，ab，a2bB2b，ba，b2aC.a,2b，bc Dc，ac，ac第7页/共20页CDBCBADAEFxyz练习 2第8页/共20页BANCOMQP例例2、如图，、如图，M，N分别是四面体分别是四面体OABC的边的边OA，BC的中点，的中点，P，Q是是MN的三等分点。用向量的三等分点。用向量 表示表示 和和 。第9页/共20页3.1.5空间向量运算的坐标表示第10页/共20页一、向量的直角坐标运算第1
5、1页/共20页1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。的对角线的长度。二、距离与夹角第12页/共20页2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。思考：当思考：当 及及 时，夹角在什么范围内？时，夹角在什么范围内？第13页/共20页在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则（3）空间两点间的距离公式第14页/共20页4.设则 ，AB的中点M的坐标为 第15页
6、/共20页例1.设 (1,5，1)，(2,3,5)(1)若()(3 )，求 ；(2)若()(3 )，求 .第16页/共20页第17页/共20页练习练习1:1:已知已知 垂直于正方形垂直于正方形 所在的平面所在的平面,分别分别是是 的中点的中点,并且并且 ,求证求证:证明证明:分别以分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系为坐标向量建立空间直角坐标系 则则 第18页/共20页解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则例例2如图如图,在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.第19页/共20页感谢您的观看！第20页/共20页