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1、数学3 3统计内容1.1.画散点图2.2.了解最小二乘法的思想3.3.求回归直线方程 ybxa4.4.用回归直线方程解决应用问题第1页/共25页问题问题1：正方形的面积：正方形的面积y与正方形的边长与正方形的边长x之间之间 的的函数关系函数关系是是y=x2确定性关系确定性关系问题问题2：某水田水稻产量：某水田水稻产量y与施肥量与施肥量x之间是否之间是否 有一个确定性的关系？有一个确定性的关系？例如：在例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得进行施肥量对水稻产量影响的试验，得 到如下所示的一组数据：到如下所示的一组数据：施化肥
2、量施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455复习复习 变量之间的两种关系变量之间的两种关系第2页/共25页10 20 30 40 50500450400350300施化肥量施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455xy施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量第3页/共25页 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系相关关系.1、定义：
3、1)：相关关系是一种不确定性关系；：相关关系是一种不确定性关系；注对具有相关关系的两个变量进行统计对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫分析的方法叫回归分析回归分析.2)：第4页/共25页 现实生活中存在着大量的相关关系.如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入.等等探索：水稻产量探索：水稻产量y与施肥量与施肥量x之间大致有何规律之间大致有何规律？第5页/共25页10 20 30 40 50500450400350300发现：图中各点，大致分布在某条直线附近发现：图中各点，大致分布在某条直线附近.探索探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直：在
4、这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表线最能代表x与与y之间的关系呢？之间的关系呢？施化肥量施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455xy散点图施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量第6页/共25页10 20 30 40 50500450400350300 xy施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量第7页/共25页探究探究对于一组具有线性相关关系的数据对于一组具有线性相关关系的数据我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：称为样本点的中心称为样本点
5、的中心.你能推导出这个公式吗？你能推导出这个公式吗？第8页/共25页这正是我们所要推导的公式这正是我们所要推导的公式.在上式中，后两项和在上式中，后两项和 无关，而前两项为非负无关，而前两项为非负数，因此要使数，因此要使Q取得最小值，当且仅当前两项的值取得最小值，当且仅当前两项的值均为均为0，即有，即有第9页/共25页1、所求直线方程叫做、所求直线方程叫做回归直线方程回归直线方程；相应的直线叫做相应的直线叫做回归直线回归直线.2、对两个变量进行的线性分析叫做、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析线性回归分析.1、回归直线方程、回归直线方程第10页/共25页最小二乘法：最小二乘法：称为样本点
6、的中心称为样本点的中心.第11页/共25页2、求回归直线方程的步骤：、求回归直线方程的步骤：(3)代入公式代入公式(4)写出直线方程为写出直线方程为y=bx+a，即为所求的回归直线方程，即为所求的回归直线方程.第12页/共25页例例1、观察两相关量得如下数据、观察两相关量得如下数据:x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程.解：列表：解：列表：i12345678910 xi-1-2-3-4-553421yi-9-7-5-3-115379xiyi9141512551512149第13页/共25页所求回归直线方程为所求回归直线方程为第
7、14页/共25页例例2：已知：已知10只狗的血球体积及血球的测量值如下：只狗的血球体积及血球的测量值如下：x45424648423558403950y6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 5.90 9.49 9.20 6.55 8.72x(血球体积，血球体积，mm)，y(血球数，百万血球数，百万)(1)画出上表的散点图；画出上表的散点图；(2)求出回归直线并且画出图形；求出回归直线并且画出图形；(3)回归直线必经过的一点是哪一点？回归直线必经过的一点是哪一点？第15页/共25页3、利用回归直线方程对总体进行线性相关性的检验、利用回归直线方程对总体进行线性相关性的检验 例例3、炼钢是
8、一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出刚的时间从炉料熔化完毕到出刚的时间)的一列数据的一列数据，如下表所示：，如下表所示：x(0.01%)%)104180190177147134150191204121y(min)100200210185155135170205235125(1)y与与x是否具有线性相关关系；是否具有线
9、性相关关系；(2)如果具有线性相关关系，求回归直线方程；如果具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)预测当钢水含碳量为预测当钢水含碳量为160个个0.01%时，应冶炼多少分钟时，应冶炼多少分钟？第16页/共25页(1)列出下表，并计算列出下表，并计算i12345678910 xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125第17页/共25页所以回归直线的方程为所以回归直线的方程为 =1.267x-30.51(
10、3)当当x=160时，时，1.267.160-30.51=172(2)设所求的回归方程为设所求的回归方程为第18页/共25页例题例题4 从某大学中随机选出从某大学中随机选出8名女大学生，其身名女大学生，其身高和体重数据如下表：高和体重数据如下表：编号编号12345678身高身高165165157170175165155170体重体重4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为回归方程，并预报一名身高为172cmcm的女大的女大学生的体重学生的体重.第19页/共25页分析：由于问题中分析：由于问题中要求根据
11、身高预报要求根据身高预报体重，因此选取身体重，因此选取身高为自变量，体重高为自变量，体重为因变量为因变量2.回归方程：1.散点图；第20页/共25页相关系数相关系数r r0 0正相关；正相关；r r0 0负相关通常，负相关通常，r0.75，认为两个变量有很强的相关性，认为两个变量有很强的相关性本例中，由上面公式本例中，由上面公式r=0.7980.75第21页/共25页探究？探究？身高为身高为172cmcm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，其原因是什么吗？如果不是，其原因是什么？第22页/共25页如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？在在数学数学3中，我们学习了用相关系数中，我们学习了用相关系数r来衡量两个变量来衡量两个变量之间线性相关关系的方法之间线性相关关系的方法.相关系数r第23页/共25页相关关系的测度(相关系数取值及其意义)-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关完全负相关无线性相关无线性相关完全正相关完全正相关负相关程度增加负相关程度增加r正相关程度增加正相关程度增加第24页/共25页2023/4/15郑平正 制作感谢您的欣赏第25页/共25页