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1、第五章 二次型5.1.2 二次型的线性变换与矩阵的合同5.1 二次型与对称矩形第五章 二次型5.1.2 二次型的线性变换与矩阵的合同01 二次型的线性变换在平面解析几何中，为了研究二次方程在平面解析几何中，为了研究二次方程 所表示的曲线的几何性质，通常利用坐标轴的旋转变换所表示的曲线的几何性质，通常利用坐标轴的旋转变换选择适当的选择适当的 ,消去交叉项消去交叉项,使上面的方程化为标准形使上面的方程化为标准形上述上述 x,y 是是由由 的线性表示式给出的，通常称为的线性表示式给出的，通常称为线性变换线性变换.一般有下面的定义一般有下面的定义.5.1.2 二次型的线性变换与矩阵的合同定义 记记则上
2、述线性则上述线性变变换可以写成矩阵形式：换可以写成矩阵形式：称为由变量称为由变量 的一个的一个线性变换线性变换,关系式关系式 01 二次型的线性变换5.1.2 二次型的线性变换与矩阵的合同系数矩阵系数矩阵C 称为称为线性变换的矩阵线性变换的矩阵.如果如果C 为正交矩阵，为正交矩阵，则则称线性称线性变变换换为为正交变换正交变换.容易验证容易验证是一个正交是一个正交变变换换.若若|C|00，则，则称线性变换为称线性变换为可逆线性变换或非退化线性变换可逆线性变换或非退化线性变换.注：正交变换一定是可逆的，但是可逆变换未必是正交变换正交变换一定是可逆的，但是可逆变换未必是正交变换.01 二次型的线性变
3、换5.1.2 二次型的线性变换与矩阵的合同 n元二次型元二次型 ，施行一次可逆线性变换，施行一次可逆线性变换 X=CY，有有01 二次型的线性变换其中其中B=CTAC.因为因为所以所以 也是一个二次型也是一个二次型.二次型经过可逆线性变换后还是二次型吗？二次型经过可逆线性变换后还是二次型吗？5.1.2 二次型的线性变换与矩阵的合同 二次型经过可逆线性变换仍为二次型二次型经过可逆线性变换仍为二次型 定理5.1 一个以一个以A为矩阵的为矩阵的n元二次型元二次型 施施行行一一次次以以C为为矩矩阵阵的的变变量量的的线线性性变变换换X=CY，得得到到的的新二次型的矩阵是新二次型的矩阵是 .推论 二次型的
4、秩在变量的可逆线性变换之下保持不变二次型的秩在变量的可逆线性变换之下保持不变.01 二次型的线性变换 5.1.2 二次型的线性变换与矩阵的合同02 矩阵的合同性质 定义 设设 A,B 是两个是两个 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵阶矩阵，若存在可逆矩阵C,使得使得 ，则称矩阵，则称矩阵 A与与B 合同合同.1.矩阵的矩阵的合同关系是等价关合同关系是等价关,因为满足因为满足:自反性自反性：任意矩阵：任意矩阵A都与自身合同都与自身合同.因为因为ETAE=A.对称性：对称性：如果如果A与与B合同，那么合同，那么B与与A也合同也合同.传递性：传递性：如果如果A与与B合同合同，B与与C 合同，那么合同，那么A与与C 也合同也合同.2.合同的矩阵具有相同的秩合同的矩阵具有相同的秩.5.1.2 二次型的线性变换与矩阵的合同推论2 一个以一个以A为矩阵的为矩阵的n元二次型元二次型 经过可逆线性变换经过可逆线性变换X=CY 化成二次型化成二次型则则A与与B是合同的，且是合同的，且 .02 矩阵的合同谢 谢