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1、5.1 5.1 随机事件及其概率基本概念：1.试验：在相同条件下，对事物或现象所进行的观察或实验。2.事件：随机试验的每一个可能结果。3.随机事件：在同一组条件下，每次试验可能出现也可能不出现的事件。4.概率：是某一事件在试验中出现的可能性大小的一种度量。第1页/共56页5.2 5.2 概率的性质与运算法则 （1 1）0P(A)10P(A)1 （2 2）必然事件的概率为1 1，不可能事件的概率为0 0 P(P()=1)=1，P(P()=0)=0 （3 3）若A A与B B互斥，则 P(AP(AB)=P(A)+P(B)B)=P(A)+P(B)对于任意两个随机事件 P(AP(AB)=P(A)+P(
2、B)-PB)=P(A)+P(B)-P（A AB B）第2页/共56页条件概率：在事件B B已经发生的条件下，求事件A A发生的概率，称这种概率为事件B B发生条件下事件A A发生的条件概率，记为 乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)或P(AB)=P(A)P(B|A)P(B)P(AB)P(A|B)=第3页/共56页【例例】设有设有10001000件产品，其中件产品，其中850850件是正品，件是正品，150150件是次品，从中依次抽取件是次品，从中依次抽取2 2件，两件都是件，两件都是次品的概率是多少？次品的概率是多少？解：解：设设 A A A Ai i i i 表示表示“第第 i i i
3、 i 次抽到的是次品次抽到的是次品”(i i i i=1,2)=1,2)=1,2)=1,2)，所求概率为，所求概率为P P P P(A A A A1 1 1 1A A A A2)2)2)2)第4页/共56页事件的独立性1.一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立2.若事件A与B独立，则P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)3.概率的乘法公式可简化为 P(AB)=P(A)P(B)推广到n个独立事件，有 P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2)P(An)第5页/共56页全概率公式和贝叶斯公式 设 事 件A A1 1，A A2 2，A An n 两 两 互 斥，A
4、 A1 1+A A2 2+A An n=（满足这两个条件的事件组 称 为 一 个 完 备 事 件 组），且P P(A Ai i)0()0(i i=1,2,=1,2,n n)，则对任意事件B B，有我们把事件我们把事件我们把事件我们把事件A A A A1 1 1 1，A A A A2 2 2 2，A A A An n n n 看作是引起事件看作是引起事件看作是引起事件看作是引起事件B B B B发发发发生的所有可能原因，事件生的所有可能原因，事件生的所有可能原因，事件生的所有可能原因，事件B B B B 能且只能在原有能且只能在原有能且只能在原有能且只能在原有A A A A1 1 1 1，A A
5、 A A2 2 2 2，A A A An n n n 之一发生的条件下发生，求事件之一发生的条件下发生，求事件之一发生的条件下发生，求事件之一发生的条件下发生，求事件B B B B 的概率就是上面的全概公式的概率就是上面的全概公式的概率就是上面的全概公式的概率就是上面的全概公式第6页/共56页【例例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为各种机床的次品率分别为5%5%、4%4%、2%2%，它们各自的产品分别占总产量的它们各自的产品分别占总产量的25%25%、35%35%、40%40%，将它们的产品组合在一起，求任取一，将它们的产品组合在一
6、起，求任取一个是次品的概率。个是次品的概率。解：解：设设 A A1 1表示表示“产品来自甲台机床产品来自甲台机床”，A A2 2表示表示“产品来自乙台机床产品来自乙台机床”，A A3 3表示表示“产产品来自丙台机床品来自丙台机床”，B B表示表示“取到次品取到次品”。根据全概公式有根据全概公式有第7页/共56页贝叶斯公式（逆概率公式）1.与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因2.设n个事件A1，A2，An 两两互斥，A1+A2+An=(满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组)，且P(Ai)0(i=1,2,n)，则第8页/共56页【例例】某车间用甲、乙、
7、丙三台机床进行生产，各种机某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为床的次品率分别为5%5%5%5%、4%4%4%4%、2%2%2%2%，它们各自的产品分别，它们各自的产品分别占总产量的占总产量的25%25%25%25%、35%35%35%35%、40%40%40%40%，将它们的产品组合在一，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是起，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率甲、乙、丙生产的概率 解：解：设设 A A A A1 1 1 1表示表示“产品来自甲台机床产品来自甲台机床”，A A A A2 2 2 2表示表示“产品来自
8、乙台机床产品来自乙台机床”，A A A A3 3 3 3表示表示“产品来自丙台机床产品来自丙台机床”，B B B B表示表示“取到次品取到次品”。根据贝叶斯公式有：。根据贝叶斯公式有：第9页/共56页随机变量及其分布随机变量及其分布一、随机变量的概念二、离散型随机变量的概率分布三、连续型随机变量的概率分布第10页/共56页随机变量的概念1.一次试验的结果的数值性描述2.一般用 X、Y、Z 来表示3.在同一组条件下，把每次试验的结果都列举出来，即把X的所有可能值x1,x2,xn都列举出来，其有确定的概率P(x1),P(x2),P(xn)。则X称为P(X)的随机变量随机变量，P(X)称为随机变量X
9、的概率函数概率函数。4.根据取值情况的不同，分为离散型随机变量和连续型随机变量第11页/共56页离散型随机变量的概率分布X=xix1，x2，xnP(X=xi)=pip1，p2，pn1.1.列出离散型随机变量列出离散型随机变量列出离散型随机变量列出离散型随机变量X X的所有可能取值的所有可能取值的所有可能取值的所有可能取值2.2.列出随机变量取这些值的概率列出随机变量取这些值的概率列出随机变量取这些值的概率列出随机变量取这些值的概率3.3.通常用下面的表格来表示通常用下面的表格来表示通常用下面的表格来表示通常用下面的表格来表示4.P P(X X=x xi i)=)=p pi i称为离散型随机变量
10、的概率函数称为离散型随机变量的概率函数p pi i 0 00第12页/共56页P【例例】如如规规定定打打靶靶中中域域得得3 3分分，中中域域得得2 2分分，中中域域得得1 1分分，中中域域外外得得0 0分分。今今某某射射手手每每100100次次射射击击，平平均均有有3030次次中中域域，5555次次中中域域，1010次次中中，5 5次次中中域域外外。则则考考察察每每次次射射击击得得分分为为0,1,2,30,1,2,3这这一一离离散散型型随随机机变变量量，其其概概率分布为率分布为X=xi0 1 2 3P(X=xi)pi0.05 0.10 0.55 0.30第13页/共56页离散型随机变量的概率分
11、布 01 01分布：离散型随机变量X X只可能取0 0和1 1两个值。X 1 0P(x)p qP(X=1)=p P(X=0)=q p,q 0 p+q=1第14页/共56页【例例】已已知知一一批批产产品品的的次次品品率率为为p p p p0.050.050.050.05，合合格格率率为为q q q q=1-=1-=1-=1-p p p p=1-0.5=0.95=1-0.5=0.95=1-0.5=0.95=1-0.5=0.95。并并指指定定废废品品用用1 1 1 1表表示示，合合格格品品用用0 0 0 0表表示示。则则任任取取一一件件为为废废品品或或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为合格品这一
12、离散型随机变量，其概率分布为X=xi0 1P(X=xi)=pi0.05 0.950.50.50.50.50 0 0 0 x xP P(x x)第15页/共56页均匀分布 一个离散型随机变量取各个值的概率相同【例例例例】投投投投掷掷掷掷一一一一枚枚枚枚骰骰骰骰子子子子，出出出出现现现现的的的的点点点点数数数数是是是是个个个个离离离离散散散散型型型型随机变量，其概率分布为随机变量，其概率分布为随机变量，其概率分布为随机变量，其概率分布为X=xi1 2 3 4 5 6P(X=xi)=pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/60 0 0 0/6/6/6/6P P(x x)x x 3 3 3 3
13、4 4 4 45 5 5 56 6 6 6第16页/共56页离散型随机变量的数字特征（1 1）数学期望：在离散型随机变量X X的一切可能取值的完备组中，各可能取值x xi i与其取相对应的概率p pi i乘积之和描述离散型随机变量取值的集中程度描述离散型随机变量取值的集中程度描述离散型随机变量取值的集中程度描述离散型随机变量取值的集中程度第17页/共56页（2）方差与标准差 方差：随机变量X的每一个取值与期望值的离 差平方和的数学期望，记为D(X)标准差：随机变量方差的平方根第18页/共56页财务分析中的投资风险问题【例】一位投资者有一笔现金可用于投资，现有 两个投资项目可供选择。项目A和B有
14、如下 资料可供参考。试比较哪个投资项目较佳？回报率回报率x(%)x(%)可能性可能性(p)(p)预期回报率预期回报率5.55.56.56.57.57.58.58.50.250.250.250.250.250.250.250.25合计合计1 11.3751.6251.8752.1257项目项目A A第19页/共56页回报率回报率x(%)x(%)可能性可能性p p预期回报率预期回报率4 45 56 67 78 89 910100.050.050.10.10.150.150.40.40.150.150.10.10.050.05合计合计1 1项目项目B B0.20.50.92.81.20.90.57第
15、20页/共56页解：比较哪个投资项目较好，要看哪个项目的预期回报率高、风险小。E(x)=7项目B B的预期回报率为 项目A A的预期回报率为E(x)=7项目A A的标准差为项目B B的标准差为第21页/共56页 期望值或平均数衡量平均回报率或收益率期望值或平均数衡量平均回报率或收益率 方差或标准差反映每一个可能出现的回报率与平均回报率的平均差异。方差或标准差反映每一个可能出现的回报率与平均回报率的平均差异。方差或标准差越大，回报率的变化越大，风险越高；方差或标准差越小，回报率的变化越小，风险越低；当投资回报率相等时，风险较小的项目为最佳选择当投资回报率相等时，风险较小的项目为最佳选择当投资回报
16、率不相等时，通过离散系数来衡量风险。当投资回报率不相等时，通过离散系数来衡量风险。第22页/共56页【例】如果投资项目A A的预期回报率为7%7%，标准差为5%5%；投资项目B B的预期回报率为12%12%，标准差为7%7%，问哪个投资风险较大？解：项目A的离散系数V=0.05/0.07=0.714项目B的离散系数V=0.07/0.12=0.583项目A每单位回报率承受0.714单位的风险，项目B每单位回报率承受0.583单位的风险。因此，A的风险较大。第23页/共56页常见的离散型概率分布超几何分布离散型随机变量的概率分布泊松分布二项分布第24页/共56页二项分布1.二项分布与贝努里试验有关
17、2.贝努里试验具有如下属性试验包含了n 个相同的试验每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败”出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同的；“失败”的概率 q 也相同，且 p+q=1试验是相互独立的试验“成功”或“失败”可以计数第25页/共56页设X为n次重复试验中“成功”出现的次数，X 取 x 的概率为二项分布有两个参数，分别为n，p，故二项分布记作 XB（n，p）E(X)=np D(X)=npq=np(1-p)二项分布的期望和方差：第26页/共56页【例例】已知已知100100件产品中有件产品中有5 5件次品，现从件次品，现从中任取一件，有放回地抽取中任取一件，有放回地抽取3 3次
18、。求在所抽次。求在所抽取的取的3 3件产品中恰好有件产品中恰好有2 2件次品的概率件次品的概率 解：解：设设 X X 为所抽取的为所抽取的3 3件产品中的次品数，件产品中的次品数，则则X X B B(3,0.05)(3,0.05)，根据二项分布公式有，根据二项分布公式有 第27页/共56页泊松分布1.用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内某一事件出现次数的分布。2.泊松分布的例子一个城市在一个月内发生的交通事故次数消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数第28页/共56页泊松分布的公式为 给定的时间间隔、长度、面积、体给定的时间间隔、长度、
19、面积、体积内积内“成功成功”的平均数的平均数 e=2.71828 e=2.71828 x x 给定的时间间隔、长度、面积、体给定的时间间隔、长度、面积、体积内积内“成功成功”的次数的次数泊松分布的期望和方差 E(X)=D(X)=第29页/共56页【例例】假定某企业的职工中在周一请假的人数假定某企业的职工中在周一请假的人数X X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.52.5人。求人。求 （1 1）X X 的均值及标准差的均值及标准差 （2 2）在给定的某周一正好请事假是）在给定的某周一正好请事假是5 5人的概率人的概率 解解：(1)(1)E E(X
20、X)=)=2.5=2.5；(2)(2)第30页/共56页泊松分布（作为二项分布的近似）1.当试验的次数当试验的次数当试验的次数当试验的次数 n n 很大，成功的概率很大，成功的概率很大，成功的概率很大，成功的概率 p p 很小时，很小时，很小时，很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即即即即2.实际应用中，当实际应用中，当实际应用中，当实际应用中，当 P P 0.250.25，n n2020，npnp 5 5时，近时，近时，近时，近似效果良好似效果良好似效果良好似效
21、果良好第31页/共56页用Excel计算二项分布概率值的操作步骤【插入】【函数】“BINOMDIST”【Number_s】:成功的次数X【Trials】:试验的总次数n【Probability_s】:每次试验成功的概率p p【Cumulative】:输入0（False），表示计算成功次数恰好等于指定数值的概率；输入1（True），表示计算成功次数小于或等 于指定数值的累积概率值。第32页/共56页用Excel计算二项分布概率值的操作步骤【插入】【函数】“POISSON”【X】：事件出现的次数【Mean】:泊松分布的均值【Cumulative】:输入0（False），表示计算成功次数恰好等于指定
22、数值的概率；输入1（True），表示计算成功次数小于或等 于指定数值的累积概率值。第33页/共56页连续型随机变量连续型随机变量的概率分布的概率分布第34页/共56页连续型随机变量的概率分布则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)为X的概率密度函数。定义：如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x有第35页/共56页概率密度函数1.概率密度函数具有以下性质：（3）（4）若f(x)在点x处连续第36页/共56页2.概率密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x)值值(值值,频数频数)频数频数f f(x x)a ab bx x第37页/共56页3.
23、3.在平面直角坐标系中画出在平面直角坐标系中画出f f(x x)的图形，则对于的图形，则对于任何实数任何实数 a a b b，P P(a a X X b b)是该曲线下从是该曲线下从a a到到 b b的面积的面积概率是曲线下的面积概率是曲线下的面积f(x)xab第38页/共56页 密度函数曲线下的面积等于密度函数曲线下的面积等于1 分布函数分布函数F(x0)是曲线下小于是曲线下小于 x0 的面积的面积f(x)xx0F F(x x0 0 )第39页/共56页连续型随机变量的期望和方差1.连续型随机变量的数学期望为连续型随机变量的数学期望为2.方差为第40页/共56页连续型随机变量的概率分布指数分
24、布连续型随机变量的概率分布正态分布均匀分布其他分布第41页/共56页均匀分布1.1.若随机变量若随机变量X X的概率的概率密度函数为密度函数为称称X X在区间在区间 a a,b b 上均匀分布上均匀分布2.数学期望和方差分别为数学期望和方差分别为数学期望和方差分别为数学期望和方差分别为 xf(x)ba第42页/共56页均匀分布例题【例】设连续型随机变量X在有限区间(a,b)内取值，其概率密度为：aXb (ab)0其他试求：（1）分布函数F(x)；（2）期望值与方差第43页/共56页解：（1）xa时，f(x)=0,所以F(x)=0axb时，xb时，F(x)=0 xaaxb1 xb第44页/共56
25、页(2)(2)第45页/共56页正态分布 最重要的一种连续型分布；最重要的一种连续型分布；在实际中应用广泛在实际中应用广泛第46页/共56页正态分布f f(x x)=)=随机变量随机变量 X X 的频数的频数 =总体方差总体方差 =3.14159;e=2.71828=3.14159;e=2.71828x x=随机变量的取值随机变量的取值 (-(-x x )=总体均值总体均值定义：如果随机变量X的概率密度为则称X服从正态分布，记作XN（,2）第47页/共56页正态分布函数的性质1.f(x)0，即概率密度曲线在x轴的上方2.正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数3.每一特定正态分布通过均
26、值 和标准差 来区分。决定曲线的中心位置，决定曲线的陡缓程度。4.曲线f(x)相对于均值 对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交5.随机变量的概率由曲线下的面积给出第48页/共56页标准正态分布函数1.任何一个一般的正态分布，可通过下面的任何一个一般的正态分布，可通过下面的任何一个一般的正态分布，可通过下面的任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布线性变换转化为标准正态分布线性变换转化为标准正态分布线性变换转化为标准正态分布2.标准正态分布的概率密度函数标准正态分布的概率密度函数标准正态分布的概率密度函数标准正态分布的概率密度函数3.标准正态分布的分布函
27、数标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数第49页/共56页标准正态分布1.将一般正态分布转换为标准正态分布，再查表2.对于负的 x，可由 (-x)x 得到3.对于标准正态分布，即XN(0,1)，有P(a X b)b a P(|X|a)2 a 14.对于一般正态分布，即XN(,2)，有第50页/共56页【例例】设设X X X XN N N N(0(0(0(0，1)1)1)1)，求以下概率：，求以下概率：(1)(1)(1)(1)P P P P(X X X X 1.5)1.5)1.5)2)2)2)2)；(3)(3)(3)(3)P P P P(-1(-1(-1(-1X X
28、X X 3)3)3)3)；(4)(4)(4)(4)P P P P(|(|(|(|X X X X|2)2)2)2)解解：(1)(1)(1)(1)P P P P(X X X X 1.5)=1.5)=1.5)=2)=1-2)=1-2)=1-2)=1-P P P P(X X X X 2 2 2 2)=1-0.9973=)=1-0.9973=)=1-0.9973=)=1-0.9973=0.02270.02270.02270.0227 (3)(3)(3)(3)P P P P(-1(-1(-1(-1X X X X 3)=3)=3)=3)=P P P P(X X X X 3)-3)-3)-3)-P P P P
29、(X X X X-1)-1)-1)-1)=(3)-(3)-(3)-(3)-(-1)(-1)(-1)(-1)=(31-(31-(31-(31-(1)(1)(1)(1)=0.9987-(1-=0.9987-(1-=0.9987-(1-=0.9987-(1-0.8413)=0.83540.8413)=0.83540.8413)=0.83540.8413)=0.8354 (4)(4)(4)(4)P P P P(|(|(|(|X X X X|2)=2)=2)=2)=P P P P(-2(-2(-2(-2 X X X X 2)=2)=2)=2)=(2)-(2)-(2)-(2)-(-2)(-2)(-2)(-
30、2)=2 =2 =2 =2 (2)-1=0.9545(2)-1=0.9545(2)-1=0.9545(2)-1=0.9545第51页/共56页【例例】设设X X N N(5(5，3 32 2)，求以下概率，求以下概率 (1)(1)P P(X X 10)10)；(2)(2)P P(2(2X X 1010)解解：(1)(1)(2)(2)第52页/共56页【例】一本书排版后一校时出现错误处数X服从 正态分布N（200,400），求：（1）出现错误处数不超过230的概率；（2）出现错误处数在190210之间的概率。解：（1）（2）=20.6915-1=0.383第53页/共56页二项分布的正态近似1.
31、1.当当当当n n 很大时，二项随机变量很大时，二项随机变量很大时，二项随机变量很大时，二项随机变量X X近似服从正态分近似服从正态分近似服从正态分近似服从正态分 布布布布 N N npnp,npnp(1-(1-p p)（通常是当（通常是当（通常是当（通常是当npnp和和和和nqnq都大于都大于都大于都大于5 5时）时）时）时）2.2.对于一个二项随机变量对于一个二项随机变量对于一个二项随机变量对于一个二项随机变量X X，当，当，当，当n n很大时，求很大时，求很大时，求很大时，求 P P(x x1 1 X X x x2 2)时可用正态分布近似为时可用正态分布近似为时可用正态分布近似为时可用正
32、态分布近似为第54页/共56页【例例】100100台机床彼此独立地工作，每台机床的台机床彼此独立地工作，每台机床的实际工作时间占全部工作时间的实际工作时间占全部工作时间的8%8%。求。求 (1)(1)任一时刻有任一时刻有70708080台机床在工作的概率台机床在工作的概率 (2)(2)任一时刻有任一时刻有8080台以上机床在工作的概率台以上机床在工作的概率 解：设解：设X X表示表示100100机床中工作着的机床数，则机床中工作着的机床数，则X X B B(100,0.8)(100,0.8)。现用正态分布近似计算，。现用正态分布近似计算，npnp=80=80，npqnpq=16=16(1)(2)第55页/共56页感谢您的观看！第56页/共56页