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1、一、线性方程一、线性方程上方程称为齐次的齐次的.上方程称为非齐次的非齐次的.线性的;非线性的.一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:例如例如第1页/共33页齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法)第2页/共33页2.线性非齐次方程讨论讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:第3页/共33页常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换.作变换第4页/共33页积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解第5页/共33页解解例例1 1第
2、6页/共33页例例2 2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线 .两边求导得解解解此微分方程第7页/共33页所求曲线为第8页/共33页伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程线性微分方程.方程为非线性微分方程非线性微分方程.二、伯努利方程二、伯努利方程解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程.第9页/共33页求出通解后，将 代入即得代入上式第10页/共33页解解例例 3第11页/共33页例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程:解解所求通解为第12页/共33页解解分离变量法得所求通解为第13页/共33页解解代入原式分
3、离变量法得所求通解为另解另解第14页/共33页三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程第15页/共33页第五节 全微分方程一、全微分方程及其求法二、积分因子法三、一阶微分方程小结第16页/共33页一、全微分方程及其求法一、全微分方程及其求法1.1.定义定义:则则若有全微分形式若有全微分形式例如全微分方程或恰当方程所以是全微分方程.第17页/共33页2.2.解法解法:应用曲线积分与路径无关.通解为 用直接凑全微分的方法.全微分方程第18页/共33页解解是全微分方程,原方程的通解为例例1 1第19页/共33页解解是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例例2第20页/共33页二、积分
4、因子法定义定义:问题问题:如何求方程的积分因子?第21页/共33页1.1.公式法公式法:求解不容易特殊地:第22页/共33页第23页/共33页2.2.观察法观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式第24页/共33页可选用的积分因子有可选用的积分因子有解解例例3则原方程为第25页/共33页原方程的通解为(公式法)可积组合法第26页/共33页解解将方程左端重新组合,有例例4 求微分方程原方程的通解为第27页/共33页解解将方程左端重新组合,有原方程的通解为可积组合法例例5 求微分方程第28页/共33页解解1整理得A A 常数变易法常数变易法:B B 公式法公式法:例例6第29页/共33页解解2 2整理得A A 用曲线积分用曲线积分法法:B B 凑微分法凑微分法:第30页/共33页C C 不定积分不定积分法法:原方程的通解为第31页/共33页三、一阶微分方程小结第32页/共33页感谢您的观看！第33页/共33页