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1、容易验证 也是 上的一个内积，这样 又成为另外一个欧氏空间。例 2 在 维线性空间 中，规定例 3 在线性空间 中，规定对于这个内积成为一个欧氏空间。容易验证这是 上的一个内积，这样第1页/共146页容易验证 是 上的一个内积，这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。定义：设 是复数域 上的 维线性空间，对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为 与 的内积，记为 ，并且要求内积满足下列运算条件：第2页/共146页这里 是 中任意向量，为任意复数，只有当 时 ，我们称带有这样内积的 维线性空间 为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。例 1 设 是 维复向量空间，任取第
2、3页/共146页规定容易验证 是 上的一个内积，从而 成为一个酉空间。例 2 设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间，定义第4页/共146页容易验证 是 上的一个内积，于是 便成为一个酉空间。例 3 在 维线性空间 中，规定其中 表示 中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证 是 上的一个内积，从而 连同这个内积一起成为酉空间。内积空间的基本性质：第5页/共146页欧氏空间的性质：第6页/共146页酉空间的性质：第7页/共146页定义：设 是 维酉空间，为其一组基底，对于 中的任意两个向量那么 与 的内积令第8页/共146页称 为基底 的度量矩阵，而且定义：设 ，用 表示以 的元素的
3、共轭复数为元素组成的矩阵，记第9页/共146页则称 为 的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质：第10页/共146页定义：设 ,如果 ，那么称 为Hermite矩阵；如果 ，那么称 为反Hermite矩阵。例 判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。第11页/共146页第12页/共146页第13页/共146页第14页/共146页（5）实对称矩阵（6）反实对称矩阵（7）欧氏空间的度量矩阵（8）酉空间的度量矩阵内积空间的度量定义：设 为酉（欧氏）空间，向量 的长度定义为非负实数例 在 中求下列向量的长度第15页/共146页解：根据上面的公式可知一般地，我们有:对于 中的任意向量其长度为第1
4、6页/共146页这里 表示复数 的模。定理：向量长度具有如下性质 当且仅当 时，第17页/共146页证明：第18页/共146页第19页/共146页第20页/共146页例 1：在线性空间 中，证明例 2 设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间，证明：对于任意的 ，我们有第21页/共146页定义：设 为欧氏空间，两个非零向量 的夹角定义为于是有定理：第22页/共146页因此我们引入下面的概念;定义：在酉空间 中，如果 ，则称 与 正交。定义：长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量 ，向量总是单位向量，称此过程为单位化。第23页/共146页第二节 标准正交基底与Schmidt
5、正交化方法定义：设 为一组不含有零向量的向量组，如果 内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。定义：如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。例 在 中向量组第24页/共146页与向量组都是标准正交向量组。第25页/共146页定义：在 维内积空间中，由 个正交向量组成的基底称为正交基底；由 个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。定理：向量组 为正交向量组的充分必要条件是;向量组 为标准正交向量组的充分必要条件是第26页/共146页定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性
6、无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。Schmidt正交化与单位化过程:设 为 维内积空间 中的 个线性无关的向量，利用这 个向量完全可以构造一个标准正交向量组。第27页/共146页第一步 正交化容易验证 是一个正交向量组第28页/共146页第二步 单位化显然 是一个标准的正交向量组。第29页/共146页R的主对角线上的元为正数。第30页/共146页再单位化 例 1 运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。解：先正交化 第31页/共146页那么 即为所求的标准正交向量组。例 2 求下面齐次线性方程组第32页/共146页其解空间的一个标准正交基底。解：先求出
7、其一个基础解系下面对 进行正交化与单位化：第33页/共146页即为其解空间的一个标准正交基底。第34页/共146页 第三节 酉变换与正交变换定义：设 为一个 阶复矩阵，如果其满足则称 是酉矩阵，一般记为 设 为一个 阶实矩阵，如果其满足则称 是正交矩阵，一般记为 第35页/共146页例：是一个正交矩阵第36页/共146页是一个正交矩阵是一个正交矩阵第37页/共146页（5）设 且 ，如果 则 是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵。是一个酉矩阵第38页/共146页酉矩阵与正交矩阵的性质：设 ，那么设 ，那么第39页/共146页定理：设 ，是一个酉矩阵的充分必要条件为 的 个列（或行）
8、向量组是标准正交向量组。定义：设 是一个 维酉空间，是 的一个线性变换，如果对任意的 都有第40页/共146页则称 是 的一个酉变换。定理：设 是一个 维酉空间，是 的一个线性变换，那么下列陈述等价：（1）是酉变换；（3）将 的标准正交基底变成标准正交基底；（4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。注意：关于正交变换也有类似的刻划。第41页/共146页第42页/共146页 第四节 幂等矩阵定义：设 ，如果 满足则称 是一个幂等矩阵。例是一个分块幂等矩阵。第43页/共146页幂等矩阵的一些性质：设 是幂等矩阵，那么有（1）都是幂等矩阵；（2）（3）（4）的充分必要条件是（5）第44页/共14
9、6页定理：设 是一个秩为 的 阶矩阵，那么 为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在 使得推论：设 是一个 阶幂等矩阵，则有定义：设 为一个 维标准正交列向量组，那么称 型矩阵 第45页/共146页为一个次酉矩阵。一般地将其记为定理：设 为一个 阶矩阵，则 的充分必要条件是存在一个 型次酉矩阵 使得其中 。第46页/共146页引理：的充分必要条件是证明：设 ，那么第47页/共146页必要性：如果 为一个 维标准正交列向量组，那么第48页/共146页第49页/共146页充分性：设 ，那么由 ，可得第50页/共146页第51页/共146页即这表明 是一个 维标准正交列向量组。定理的证明：必要性：因 ，故
10、 有 个线性无关的列向量，将这 个列向量用Schmidt方法得出 个两两正交的单位向量，以这 个向量为列构成一个 型次酉矩阵第52页/共146页 。注意到 的 个列向量都可以由 的 个列向量线性表出。即如果那么可得第53页/共146页第54页/共146页其中，由于向量组 的秩为 ，所以 的秩为 。第55页/共146页下面证明 。由 可得 ，即注意到 ，所以即因为 ，所以 ，这样得到于是第56页/共146页充分性：若 ，则第六节 Schur引理与正规矩阵定义：设 ，若存在 ，使得则称 酉相似(或正交相似)于 定理(Schur引理)：任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上(下)三角矩阵。第57页/共1
11、46页证明：用数学归纳法。的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑 的阶数为 时的情况。取 阶矩阵 的一个特征值 ，对应的单位特征向量为 ，构造以 为第一列的 阶酉矩阵 ，因为 构成 的一个标准正交基，故第58页/共146页，因此其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足(上三角矩阵)第59页/共146页令那么第60页/共146页注意:等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵 的全部特征值.定理(Schur不等式):设 为矩阵 的特征值,那么例:已知矩阵 第61页/共146页试求酉矩阵 使得 为上三角矩阵.解:首先求矩阵 的特征值第62页/共146页所以 为矩阵 的
12、三重特征值.当 时,有单位特征向量再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量第63页/共146页再解与 内积为零的方程组求得一个单位解向量取第64页/共146页计算可得第65页/共146页令第66页/共146页再求矩阵 的特征值所以 为矩阵 的二重特征值.当 时,有单位特征向量第67页/共146页再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量第68页/共146页取计算可得第69页/共146页令于是有第70页/共146页则第71页/共146页矩阵 即为所求的酉矩阵.正规矩阵定义:设 ,如果 满足第72页/共146页那么称矩阵 为一个正规矩阵.设 ,如果 同样满足那么称矩阵 为一个实正规矩阵.例:(1)为
13、实正规矩阵 第73页/共146页 (2)其中 是不全为零的实数,容易验证这是一个实正规矩阵.第74页/共146页 (3)这是一个正规矩阵.(4)H-阵,反H-阵,正交矩阵,酉矩阵,对角矩阵都是正规矩阵.正规矩阵的性质与结构定理第75页/共146页引理 1:设 是一个正规矩阵,则与 酉相似的矩阵一定是正规矩阵.引理 2:设 是一个正规矩阵,且又是三角矩阵,则 必为对角矩阵.第76页/共146页第77页/共146页由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理 :设 ,则 是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵 使得第78页/共146页其中 是矩阵 的特征值.推论 1:阶正规矩阵有 个线性无关的特征向量.
14、第79页/共146页推论 2:正规矩阵属于不同特征值的征向量 彼此正交.例 1:设求正交矩阵 使得 为对角矩阵.解:先计算矩阵的特征值第80页/共146页其特征值为对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系现在将 单位化并正交化,得到两个标准正交向量第81页/共146页对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量第82页/共146页将这三个标准正交向量组成矩阵第83页/共146页则矩阵 即为所求正交矩阵且有第84页/共146页求酉矩阵 使得 为对角矩阵.例 2:设解:先计算矩阵的特征值第85页/共146页第86页/共146页解:先计算矩阵的特征值其特征值为对于特征值 解
15、线性方程组求得其一个基础解系第87页/共146页现在将 单位化,得到一个单位向量对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量第88页/共146页对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量第89页/共146页将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵 即为所求酉矩阵且有第90页/共146页第91页/共146页例 3 证明:(1)H-矩阵的特征值为实数;H-矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的.(2)反H-矩阵的特征值为零或纯虚数.(3)酉矩阵的特征值模长为1.定理:设 是正规矩阵,则 (1)是H-阵的充要条件是 的特征值为实数 .第92页/共146页 (
16、2)是反H-阵的充要条件是 的特征值的实部为零 .(3)是U-阵的充要条件是 的特征值的模长为1 .注意:正规矩阵绝不仅此三类.例 4 :设 是一个反H-阵,证明:是U-阵.证明:根据U-阵的定义第93页/共146页由于 是反H-阵,所以于是可得 第94页/共146页这说明 为酉矩阵.第95页/共146页例 5 :设 是一个 阶H-阵且存在自然数 使得 ,证明:.证明:由于 是正规矩阵,所以存在一个酉矩阵 使得第96页/共146页于是可得从而这样第97页/共146页即 第八节 Hermite二次型(Hermite二次齐次多项式)Hermite矩阵的基本性质引理:设 ,则 (1)都是H-阵.第9
17、8页/共146页 (2)是反H-阵.(3)如果 是H-阵,那么 也是H-阵,为任意正整数.(4)如果 是可逆的H-阵,那么 也是可逆的H-阵.(5)如果 是H-阵(反H-阵),那么 是反H-矩阵(H-阵),这里 为虚数单位.(6)如果 都是H-阵,那么也是H-阵,这里 均为实数.(7)如果 都是H-阵,那么 也是H-阵的充分必要条件是第99页/共146页定理:设 ,则 (1)是H-阵的充分必要条件是对于任意的 是实数.(2)是H-阵的充分必要条件是对于任意的 阶方阵 为H-阵.H-阵的结构定理定理:设 ,则 是H-阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵 使得第100页/共146页其中 ,此定理经常叙
18、述为:H-阵酉相似于实对角矩阵.推论:实对称阵正交相似于实对角矩阵.第101页/共146页例 :设 为一个幂等H-阵,则存在酉矩阵 使得证明:由于 为一个H-阵,所以存在酉矩阵 使得第102页/共146页又由于 为一个幂等H-阵,从而 或将1放在一起,将0放在一起,那么可找到一个酉矩阵 使得第103页/共146页这里 为矩阵 的秩.Hermite二次型 (Hermite二次齐次多项式)定义:由 个复变量 ,系数为复数的二次齐次多项式第104页/共146页称为Hermite二次型,这里如果记 第105页/共146页第106页/共146页那么上面的Hermite二次型可以记为称为Hermite二次
19、型对应的矩阵,并称 的秩为Hermite二次型的秩.对于Hermite二次型作可逆的线性替换则H矩阵第107页/共146页这里Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉项的二次型我们称这种形状的Hermite二次型为标准形的Hermite二次型.定理:对于任意一个Hermite二次型 第108页/共146页必存在酉线性替换可以将Hermite二次型 化为标准形其中 是H-矩阵 的特征值.进一步,我们有定理:对于Hermite二次型 第109页/共146页必存在可逆的线性替换可以将Hermite二次型 化为其中 .我们称上面的标准形为Hermite二次型的规范形.例:写出下面He
20、rmite二次型的矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形.第110页/共146页解:第111页/共146页第112页/共146页 第九节正定Hermite二次型与正定Hermite矩阵定义:对于给定的Hermite二次形如果对于任意一组不全为零复数 都有第113页/共146页则称该Hermite二次形为正定的(半正定的),并称相应的H-矩阵 为正定的(半正定的).例:判断下列Hermite二次形的类别 第114页/共146页第115页/共146页与正定的实二次形一样,关于正定的Hermite二次形我们有定理:对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的 第116页/共146页 (1)是正定
21、的 (2)对于任何 阶可逆矩阵 都有为正定矩阵 (3)的 个特征值都大于零 (4)存在 阶可逆矩阵 使得 (5)存在 阶可逆矩阵 使得 (6)存在正线上三角矩阵 使得,且此分解是唯一的.第117页/共146页例 1 :设 是一个正定的H-阵,且又是酉矩阵,则证明:由于 是一个正定H-阵,所以必存在第118页/共146页酉矩阵 使得由于 又是酉矩阵,所以第119页/共146页这样必有 ,从而例 2 :设 是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:与 的特征值实部为零.证明:设 为矩阵的任意一个特征值,那么有 .由于 是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵 使得将其代入上面的特征多项式有第120页/共
22、146页这说明 也是矩阵 的特征值.另一方面注意矩阵 为H-反阵,从而 实部为零.同样可以证明另一问.第121页/共146页例 3 :设 是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:是可逆矩阵.证明:由于 是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵 使得这表明 是可逆的.于是另一方面注意矩阵 仍然为正定H-阵,而矩阵 为H-反阵,由上面的例题结论可知第122页/共146页矩阵 的特征值实部为零,那么矩阵的特征值中不可能有零,从而定理:对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的:(1)是半正定的第123页/共146页(2)对于任何 阶可逆矩阵 都有为半正定矩阵(3)的 个特征值全是非负的(4)存在 阶
23、可逆矩阵 使得(5)存在秩为 的 阶矩阵 使得第124页/共146页定理:设 是正定(半正定)Hermite矩阵,那么存在正定(半正定)Hermite矩阵 使得例 1 :设 是一个半正定的H-阵且 证明:证明:设 为 的全部特征值,由于 是半正定的,所以 .于是有 第125页/共146页例 2 :设 是一个半正定的H-阵且 是一个正定的H-阵,证明:证明:由于 是一个正定的H-阵,所以存在可逆矩阵 使得这样有第126页/共146页注意矩阵仍然是一个半正定的H-阵,有上面的例题可知从而第127页/共146页例 3 :证明：（1）半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;（2）半正定H-矩阵与正定H-阵之
24、和和是正定的;证明：设 都是半正定H-阵，那么二者之和 仍然是一个H-阵，其对应的Hermite二次型为 其中第128页/共146页由于 都是半正定H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数我们有这说明 为一个半正定H-阵。类似地，可以证明另外一问。第129页/共146页例 4 :设 都是 阶正定H-阵，则的根全为正实数。证明：因为 是正定的，所以存在可逆矩阵 使得另一方面注意到 是一个正定H-阵，从而有第130页/共146页的根全为正实数。又由于故 的根全为正实数。定理 :设 是一个（半）正定H-阵，那么必存在唯一的一个（半）正定H-阵 ，使得第131页/共146页 Hermite矩阵偶在复合
25、同（复相合）下的标准形例 ：设 均为 阶Hermite-阵,且又是正定的，证明必存在 使得第132页/共146页与同时成立，其中 是与 无关的实数。证明：由于 是正定H-阵，所以存在 使得又由于 也是H-阵，那么存在 使得第133页/共146页其中 是H-阵 的 个实特征值。如果记 ，则有第134页/共146页下面证明 个实特征值 与 无关。令 ，那么 是特征方程第135页/共146页的特征根。又由于因此 是方程的根。它完全是由 决定的与 无关。由此可以得到下面的H-阵偶标准形定理：第136页/共146页定理：对于给定的两个二次型其中 是正定的，则存在非退化的线性替换可以将 同时化成标准形第1
26、37页/共146页其中 是方程 的根，而且全为实数。定义：设 均为 阶Hermite-阵,且又是正定的，求 使得方程有非零解的充分必要条件是第138页/共146页关于 的 次代数方程方程成立。我们称此方程是 相对于 的特征方程。它的根 称为 相对于 的 广义特征值。将 代入到方程中所得非零解向量 称为与 相对应的广义特征向量。广义特征值与广义特征向量的性质;第139页/共146页命题：（1）有 个广义特征值；（2）有 个线性无关的广义特征向量 ，即 （3）这 个广义特征向量可以这样选取，使得其满足第140页/共146页其中 为Kronecker符号。证明：（1）略（2）取使下证第141页/共146页（3）第142页/共146页 Rayleigh商定义：设，称下面实数为Rayleigh商定理：第143页/共146页证明：（1）略(2)第144页/共146页(3)略第145页/共146页感谢您的观看！第146页/共146页