现代电子测量技术3.pptx

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1、2023/3/2613.1 3.1 测量误差的分类和测量结果的表征3.1.1 测量误差的分类根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、粗大误差三类。1.随机误差定义:在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。第1页/共67页2023/3/2623.

2、1.1 3.1.1 测量误差的分类（续）例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从统计规律。可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值u随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差 第2页/共67页2023/3/2633.1.1 3.1.1 测量误差的分类（续）2.系统误差定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度

3、误差和零位误差，或值随温度变化的误差。产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测量就越准确。系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即第3页/共67页2023/3/2643.1.1 3.1.1 测量误差的分类（续）3.粗大误差：粗大误差是一种显然与实际值不符的误差。产生粗差的原因有：测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。测量方法不当或

4、错误 如用普通万用表电压档直接测高内阻电源的开路电压测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除掉。第4页/共67页2023/3/2653.1.1 3.1.1 测量误差的分类（续）4.系差和随差的表达式在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和。在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的。系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化 第5页/共67页2023/3/2663.1.2 3.1.2 测量结果的表征准确度表示系统误差的大

5、小。系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。精密度表示随机误差的影响。精密度越高，表示随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响。精确度越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。射击误差示意图 第6页/共67页2023/3/2673.1.2 3.1.2 测量结果的表征（续）测量值 是粗大误差第7页/共67页2023/3/2683.2 3.2 测量误差的估计和处理3.2.1 随机误差的统计特性及减少方法在测量中，随机误差是不可避免的。随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外

6、界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。第8页/共67页2023/3/2693.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）（1）随机变量的数字特征 数学期望:反映其平均特性。其定义如下：X为离散型随机变量：X为连续型随机变量：1.1.随机误差的分布规律随机误差的分布规律第9页/共67页2023/3/26103.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）方差和标准偏差 方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。设随机变量X的数

7、学期望为E(X)，则X的方差定义为：D(X)=E(XE(X)2 标准偏差定义为：标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。第10页/共67页2023/3/26113.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？(2)(2)测量误差的正态分布测量误差的正态分布第11页/共67页2023/3/26123.2.13

8、.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）（3 3）测量误差的非正态分布常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。概率密度:均值:当 时,标准偏差:当 时，第12页/共67页2023/3/26133.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）2.有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值 求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？用事件发生的频度代替事件发生的概率，当 则令n个可相同的测试数据xi(

9、i=1.2,n)次数都计为1,当 时，则（1）有限次测量的数学期望的估计值算术平均值被测量X的数学期望，就是当测量次数 时，各次测量值的算术平均值 第13页/共67页2023/3/26143.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）规定使用算术平均值为数学期望的估计值，并作为最后的测量结果。即：算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？第14页/共67页2023/3/26153.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）（2 2）算术平均值的标准偏差 故：算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。原

10、因是随机误差的抵偿性。*第15页/共67页2023/3/2616算术平均值：3.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）（2）有限次测量数据的标准偏差的估计值残差：实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：算术平均值标准偏差的估计值：第16页/共67页2023/3/26173.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）续）【例3.1】用温度计重复测量某个不变的温度，得11个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。解：平均值 用公式 计算各测量值残差列于上表中实验偏差 标准偏差第17页/共67页2023/3/26183.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续3

11、.测量结果的置信问题（1）置信概率与置信区间：置信区间 内包含真值的概率称为置信概率。置信限：k置信系数（或置信因子）置信概率是图中阴影部分面积第18页/共67页2023/3/26193.2.2 3.2.2 系统误差的判断及消除方法（续）1.1.系统误差的特征：在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。多次测量求平均不能减少系差。第19页/共67页2023/3/26203.2.2 3.2.2 系统误差的判断及消除方法（续）2.系统误差的发现方法（1）不变的系统误差：校准、修正和实验比对。（2）变化的系统误差残差观察法，适用于系统误差比

12、随机误差大的情况 将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化。存在线性变化的系统误差无明显系统误差第20页/共67页2023/3/26213.2.2 3.2.2 系统误差的判断及消除方法（续）马利科夫判据：若有累进性系统误差，D 值应明显异于零。当n为偶数时，当n为奇数时，阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。第21页/共67页2023/3/26223.2.2 3.2.2 系统误差的判断及消除方法（续）3.系统误差的削弱或消除方法 （1）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。注意

13、周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大。尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。（2）用修正方法减少系统误差修正值误差=（测量值真值）实际值测量值修正值第22页/共67页2023/3/26233.2.2 3.2.2 系统误差的判断及消除方法（续）（3 3）采用一些专门的测量方法 替代法 交换法 对称测量法 减小周期性系统误差的半周期法 系统误差可忽略不计的准则是：系统误差或残余系统误差代数和的绝对值不超过测量结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。第23页/共67页2023/3/26243.2.3 3.2.3 粗大误差及其

14、判断准则 大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除。1.粗大误差产生原因以及防止与消除的方法 粗大误差的产生原因 测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。防止和消除粗大误差的方法重要的是采取各种措施，防止产生粗大误差。第24页/共67页2023/3/26253.2.3 3.2.3 粗大误差及其判断准则（续）2.粗大误差的判别准则统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。莱特检验法 格拉布斯检验法 式中，G

15、值按重复测量次数n及置信概率Pc确定 第25页/共67页2023/3/26263.2.3 3.2.3 粗大误差及其判断准则（续）应注意的问题 所有的检验法都是人为主观拟定的，至今无统一的规定。当偏离正态分布和测量次数少时检验不一定可靠。若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，重新计算，再行判别。若有两个相同数据超出范围时，应逐个剔除。在一组测量数据中，可疑数据应很少。反之，说明系统工作不正常。第26页/共67页2023/3/26273.2.3 3.2.3 粗大误差及其判断准则（续）解：计算得 s=0.033计算残差填入表37，最大，是可疑数据。用莱特检验法 3 s=30.033=

16、0.099 故可判断 是粗大误差，应予剔除。再对剔除后的数据计算得：s=0.016 3s=0.048各测量值的残差V填入表37，残差均小于3 s故14个数据都为正常数据。【例3.3】对某电炉的温度进行多次重复测量，所得结果列于表37，试检查测量数据中有无粗大误差。第27页/共67页2023/3/26283.2.4 3.2.4 测量结果的处理步骤 对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；求出算术平均值列出残差 ，并验证按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值按莱特准则，或格拉布斯准则 检查和剔除粗大误差；判断有无系统误差。如有系统误差，应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；计算算术平均值的标准

17、偏差；写出最后结果的表达式，即 （单位）。第28页/共67页2023/3/26293.2.4 3.2.4 测量结果的处理步骤（续）【例34】对某电压进行了16次等精度测量，测量数据中已记入修正值，列于表中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。第29页/共67页2023/3/26303.2.4 3.2.4 测量结果的处理步骤（续）第30页/共67页2023/3/26313.2.4 3.2.4 测量结果的处理步骤（续）第31页/共67页2023/3/26323.2.4 3.2.4 测量结果的处理步骤（续）等精度测量与不等精度测量 等精度测量：即在相同地点、相同的测量方法和相同测量设备、相同测量人

18、员、相同环境条件（温度、湿度、干扰等），并在短时间内进行的重复测量。不等精度测量：在测量条件不相同时进行的测量，测量结果的精密度将不相同。不等精度测量处理方法：权值与标准偏差的平方成反比。权值 测量结果为加权平均值 第32页/共67页2023/3/26333.2.4 3.2.4 测量结果的处理步骤（续）第33页/共67页2023/3/26343.2.5 3.2.5 误差的合成分析问题：用间接法测量电阻消耗的功率时，需测量电阻R、端电压V和电流I三个量中的两个量，如何根据电阻、电压或电流的误差来推算功率的误差呢？第34页/共67页2023/3/26353.2.5 3.2.5 误差的合成分析（续）

19、第35页/共67页2023/3/26363.2.5 3.2.5 误差的合成分析（续）在实际应用中，由于分项误差符号不定而可同时取正负，有时就采用保守的办法来估算误差，即将式中各分项取绝对值后再相加该公式常用于在设计阶段中对传感器、仪器及系统等的误差进行分析和估算，以采取减少误差的相应措施。但是，更严格和更准确地计算合成误差的方法是测量不确定度理论中的合成不确定度评定，有关内容在本书第3章中讨论 第36页/共67页2023/3/26373.3 3.3 测量不确定度 3.3.1 不确定度的概念不确定度是说明测量结果可能的分散程度的参数。可用标准偏差表示，也可用标准偏差的倍数或置信区间的半宽度表示。

20、1.术语（1）标准不确定度：用概率分布的标准偏差表示的不确定度 A类标准不确定度：用统计方法得到的不确定度。B类标准不确定度：用非统计方法得到的不确定度 第37页/共67页2023/3/26383.3.1 3.3.1 不确定度的概念（续）（2）合成标准不确定度*由各不确定度分量合成的标准不确定度。*因为测量结果是受若干因素联合影响。（3）扩展不确定度*合成标准不确定度的倍数表示的测量不确定度，即用包含因子乘以合成标准不确定度得到一个区间半宽度。*包含因子的取值决定了扩展不确定度的置信水平。*通常测量结果的不确定度都用扩展不确定度表示 第38页/共67页2023/3/26393.3.1 3.3.

21、1 不确定度的概念（续）2.不确定度的分类 第39页/共67页2023/3/26403.3.1 3.3.1 不确定度的概念（续）3.不确定度的来源被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能代表所定义的被测量。测量装置或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算法中使用的常数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。第40页/共67页2023/3/26413.3.2 3.3.2 误差与不确定

22、度的区别测量误差测量误差测量不确定度测量不确定度客观存在的，但不能准确得到，客观存在的，但不能准确得到，是一个定性的概念是一个定性的概念表表示示测测量量结结果果的的分分散散程程度度，可可根根据据试验、资料等信息定量评定。试验、资料等信息定量评定。误差是不以人的认识程度而改变误差是不以人的认识程度而改变与与人人们们对对被被测测量量和和影影响响量量及及测测量量过过程的认识有关。程的认识有关。随机误差、系统误差是两种不同随机误差、系统误差是两种不同性质的误差性质的误差A A类或类或B B类不确定度是两种不同的评类不确定度是两种不同的评定方法，与随机误差、系统误差之定方法，与随机误差、系统误差之间不存

23、在简单的对应关系。间不存在简单的对应关系。须进行异常数据判别并剔除。须进行异常数据判别并剔除。剔除异常数据后再评定不确定度剔除异常数据后再评定不确定度在最后测量结果中应修正确定的在最后测量结果中应修正确定的系统误差。系统误差。在测量不确定度中不包括已确定的在测量不确定度中不包括已确定的修正值，但应考虑修正不完善引入修正值，但应考虑修正不完善引入的不确定度分量。的不确定度分量。“误差传播定律误差传播定律”可用于间接测量可用于间接测量时对误差进行定性分析。时对误差进行定性分析。不确定度传播律更科学，用于定量不确定度传播律更科学，用于定量评定测量结果的合成不确定度评定测量结果的合成不确定度第41页/

24、共67页2023/3/26421.标准不确定度的A类评定方法 在同一条件下对被测量X进行n 次测量，测量值为xi(i=1,2,n)，(A)计算样本算术平均值，作为被测量X的估计值，并把它作为测量结果。(B)计算实验偏差式中自由度v=n1.(C)A类不确定度3.3.3 3.3.3 不确定度的评定方法（续）自由度意义：自由度数值越大，说明测量不确定度越可信。第42页/共67页2023/3/26433.3.3 3.3.3 不确定度的评定方法（续）2.标准不确定度的B类评定方法B类方法评定的主要信息来源是以前测量的数据、生产厂的技术证明书、仪器的鉴定证书或校准证书等。确定测量值的误差区间（,-），并假

25、设被测量的值的概率分布，由要求的置信水平估计包含因子k，则B类标准不确定度uB为其中 a 区间的半宽度；k置信因子，通常在23之间。第43页/共67页2023/3/26443.3.3 3.3.3 不确定度的评定方法（续）（5）不确定度分量的忽略一切不确定度分量均贡献于合成不确定度，即只会使合成不确定度增加。忽略任何一个分量，都会导致合成不确定度变小。但由于采用的是方差相加得到合成方差，当某些分量小到一定程度后，对合成不确定度实际上起不到什么作用，为简化分析与计算，则可以忽略不计。例如，忽略某些分量后，对合成不确定度的影响不足十分之一，就可根据情况忽略这些分量。第44页/共67页2023/3/2

26、6453.3.43.3.4测量不确定度的评定步骤对测量设备进行校准或检定后，要出具校准或检定证书；对某个被测量进行测量后也要报告测量结果，并说明测量不确定度。明确被测量的定义和数学模型及测量条件，明确测量原理、方法，以及测量标准、测量设备等；分析不确定度来源；分别采用A类和B类评定方法，评定各不确定度分量。A类评定时要剔除异常数据；计算合成标准不确定度；计算扩展不确定度；报告测量结果。Y=y kuc第45页/共67页2023/3/26463.4 3.4 测量数据处理3.4.1 有效数字的处理1.数字修约规则由于测量数据和测量结果均是近似数，其位数各不相同。为了使测量结果的表示准确唯一，计算简便

27、，在数据处理时，需对测量数据和所用常数进行修约处理。数据修约规则：（1）小于5舍去末位不变。（2）大于5进1在末位增1。（3）等于5时，取偶数当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，在末位增1（将末位凑为偶数）。第46页/共67页2023/3/26473.4.13.4.1有效数字的处理（续）例：将下列数据舍入到小数第二位。12.434412.43 63.7350163.740.694990.69 25.325025.3217.695517.70 123.1150123.12需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正确结果为0.69，错误做法是：0.694990.69500

28、.6950.70。在“等于5”的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。第47页/共67页2023/3/26483.4.13.4.1有效数字的处理（续）2.有效数字若截取得到的近似数其截取或舍入误差的绝对值不超过近似数末位的半个单位，则该近似数从左边第一个非零数字到最末一位数为止的全部数字，称之为有效数字。例如：3.142 四位有效数字，极限误差0.00058.700 四位有效数字，极限误差0.0005 8.7103二位有效数字，极限误差0.05103 0.0807三位有效数字，极限误差0.005 第48页/共67页2023/3/26493.4

29、.13.4.1有效数字的处理（续）中间的0和末尾的0都是有效数字，不能随意添加。开头的零不是有效数字。测量数据的绝对值比较大（或比较小），而有效数字又比较少的测量数据，应采用科学计数法，即a10n，a的位数由有效数字的位数所决定。测量结果（或读数）的有效位数应由该测量的不确定度来确定，即测量结果的最末一位应与不确定度的位数对齐。例如，某物理量的测量结果的值为63.44，且该量的测量不确定度u0.4，测量结果表示为63.40.4。第49页/共67页2023/3/26503.4.13.4.1有效数字的处理（续）3.近似运算法则保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项。（1）加法运算以小数点后

30、位数最少的为准（各项无小数点则以有效位数最少者为准），其余各数可多取一位。例如：（2）减法运算：当两数相差甚远时，原则同加法运算；当两数很接近时，有可能造成很大的相对误差，因此，第一要尽量避免导致相近两数相减的测量方法，第二在运算中多一些有效数字。第50页/共67页2023/3/26513.4.13.4.1有效数字的处理（续）（3）乘除法运算以有效数字位数最少的数为准，其余参与运算的数字及结果中的有效数字位数与之相等。例如：也可以比有效数字位数最少者多保留一位有效数字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，结果为35.5。（4）乘方、开方运算：运算结果比原数多保留一位

31、有效数字。例如：（27.8）2772.8(115)21.322104第51页/共67页2023/3/26523.4.23.4.2测量数据的表示方法1.列表法根据测试的目的和内容，设计出合理的表格。列表法简单、方便，数据易于参考比较，它对数据变化的趋势不如图解法明了和直观，但列表法是图示法和经验公式法的基础。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.1第52页/共67页2023/3/26533.4.23.4.2测量数据的表示方法2.图示法图示法的最大优点是形象、直观，从图形中可以很直观地看出函数的变化规律，如递增或递减、最大值和最小值及是否有周期性变化规律等。

32、作作图图时时采采用用直直角角坐坐标标或或极极座座标标。一一般般是是先先按按成成对对数数据据（x x，y y）描描点点，再再连连成成光光滑滑曲曲线线，并并尽尽量量使使曲曲线线于于所所有有点点接接近近，不不强强求求通通过过各各点点，要要使使位位于于曲曲线线两两边边的的点点数数尽尽量相等量相等第53页/共67页2023/3/26543.经验公式法经验公式法就是通过对实验数据的计算，采用数理统计的方法，确定它们之间的数量关系，即用数学表达式表示各变量之间关系。有时又把这种经验公式称为数学模型。类型有些一元非线性回归可采用变量代换，将其转化为线性回归方程来解。3.4.23.4.2测量数据的表示方法（续）

33、一元线形一元线形回归回归一元非线一元非线性回归性回归多元线性多元线性回归回归多元非线多元非线性回归性回归变量个数变量个数1111方次方次1111y=a+bx 第54页/共67页2023/3/26553.4.3 3.4.3 建立经验公式的步骤 已知测量数据列(xi,yi i=1,2,n),建立公式的步骤如下：（1)将输入自变量xi,作为横坐标，输出量yi即测量值作为纵坐标，描绘在坐标纸上，并把数据点描绘成测量曲线。（2）分析描绘的曲线，确定公式y=f(x)的基本形式。直线，可用一元线性回归方法确定直线方程。某种类型曲线，则先将该曲线方程变换为直线方程，然后按一元线性回归方法处理。如果测量曲线很难

34、判断属于何种类型，这可以按曲线多项式回归处理。即：（3）由测量数据确定拟合方程（公式）中的常量。第55页/共67页2023/3/26563.4.3 3.4.3 建立经验公式的步骤 （续）(4)检验所确定的方程的准确性。用测量数据中的自变量代入拟合方程计算出函数值y 计算拟合残差 计算拟合曲线的标准偏差 式中：m为拟合曲线未知数个数，n为测量数据列长度。如果标准偏差很大，说明所确定的公式基本形式有错误，应建立另外形式公式重做。第56页/共67页2023/3/26573.4.4 3.4.4 一元线性回归 用一个直线方程y=a+bx来表达测量数据(xi,yi i=1,2,n)之间的相互关系，即求出a

35、和b，此过程就是一元线性回归。1.端点法此方法是将测量数据中两个端点，起点和终点（即最大量程点）的测量值（x1,y1）和（xn,yn），代入y=a+bx，则a,b分别为第57页/共67页2023/3/26583.4.43.4.4一元线性回归 （续）2.平均选点法此方法是将全部n个测量值(xi,yi i=1,2,n)分成数目大致相同的两组，前半部k个测量点为一组，其余的n-k个测量点为另一组，两组测量点都有自己的“点系中心”，其坐标分别为 通过两个“点系中心”的直线即是拟合直线y=a+bx，其中a，b分别为：第58页/共67页2023/3/26593.4.43.4.4一元线性回归 （续）3.最小

36、二乘法最小二乘法的基本原理是在残差平方和为最小的条件下求出最佳直线。测量数据中的任何一个数据yi与拟合直线上y=a+bx对应的理想值yi之残差 (i=1,2,n 为测量点数）即 求a和b的偏导数，并令它们为零，即可解得a和b的值。第59页/共67页2023/3/26603.4.43.4.4一元线性回归 （续）【例3.10】对量程为10Mpa的压力传感器，用活塞式压力计进行测试，输出由数字电压表读数，所得各测量点的输出值列于下表中。试用端点法、平均选点法和最小二乘法拟合线性方程，并计算各种拟合方程的拟合精度。压力（MPa）246810输出（mV）10.04320.09330.13540.1285

37、0.072第60页/共67页2023/3/2661 3.4.4 3.4.4一元线性回归 （续）压力MPa输出mV端点法平均选点法最小二乘法理想直线残差理想直线残差理想直线残差210.04310.0440.00110.950.05210.0800.0337420.09320.0520.04120.0970.00420.0900.003630.13530.0600.09330.0990.05430.1000.053840.12840.0680.06040.1010.02740.1100.0181050.07250.0680.00450.1030.03150.1200.048拟合直线方程拟合误差0.

38、0680.0490.048最小二乘法精确度最高，平均选点次之，端点法较差 第61页/共67页2023/3/26623章 总 结1 随机误差随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，无法避免和控制，不能消除随机误差。但应采用数理统计的方法，减少随机误差。算术平均值 残差 实验标准偏差 （贝塞尔公式）算术平均值标准偏差的估计值 根据概率分布和置信概率确定置信因子，得到测量结果的置信区间。正态分布或n20时，k=23；n20时，查t分布表得k；均匀分布时k。测量结果为：第62页/共67页2023/3/26633章 总 结（续）2系统误差系统误差的特点是固定不变的或按确定规律变化，主要由测量仪器

39、、测量方法、测量环境和测量人员等因素引起。多次测量不能减少系统误差。系统误差的发现方法有：校准的方法、残差观察法、马利科夫判据和阿贝赫梅特判据。系统误差的削弱或消除方法：（1）从产生系统误差根源上采取措施；（2）修正方法；（3）采用专门的测量方法，如替代法、交换法、对称测量法、半周期法。第63页/共67页2023/3/26643章 总 结（续）3 粗大误差粗大误差是由于测量人员的偶然出错和外界条件的改变、干扰和偶然失效等造成，应采取各种措施，防止产生粗大误差。对测量中的可疑数据可采用莱特检验法或拉布斯检验法判断是否是粗大误差，若是，应剔除不用。4 测量结果的处理应区别对待等精度测量和不等精度测

40、量，不等精度测量的测量结果用加权平均值表示，标准偏差越小，权值越大。对测量数据进行处理时，应首先检查和修正系统误差，判别并剔除粗大误差。第64页/共67页2023/3/26653章 总 结（续）5有效数字处理和测量数据的表示方法（1）数据修约规则：“四舍五入，等于五取偶数”；（2）有效数字与数据的准确度密切相关，测量结果（或读数）的有效位数应由该测量的不确定度来确定；(3)把测量数据处理成一定的函数关系，通常采用方法有列表法、图示法和经验公式 第65页/共67页2023/3/26663章 总 结（续）6建立公式的步骤和一元线性回归（1）建立公式的步骤是：列表画曲线分析曲线，确定曲线的基本形式，由测量数据确定拟合方程中的系数求拟合残差和拟合曲线的标准偏差，并进行验证。(2）一元线性回归（直线拟合）是用一个直线方程 来表示测量数据之间的相互关系，即求出方程中的两个系数a和b。回归方法通常有端点法、平均选点法和最小二乘法。第66页/共67页2023/3/26现代电子测量技术67感谢您的观看！第67页/共67页