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1、南京师大附中2020-2021学年度高一年级第2学期期末考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数，若，则（ ）A.B.1C.2D.32.如图，在直三棱柱中，点D为BC的中点，则异面直线AD与所成的角为（ ）A.B.C.D.3.已知，是不同的直线，是不同的平面，若，则下列命题中正确的是（ ）A.B.C.D.4.钝角三角形的面积是，则等于（ ）A.1B.2C.D.55.如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为，则其表面积的值为（ ）A.B.C.D.6.已知向量，若，则（ ）A.B.C.D.7.如
2、图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为（ ）A.B.C.D.8.如图，过圆外一点作圆的切线，切点分别为A，B，现将沿折起到，使点P在圆所在平面上的射影为圆心，若三棱锥的体积是圆锥体积的.则（ ）A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共4小题。每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得5分，都分选对得2分，其他情况不得分9.某家庭将2018年1月至2019年12月期间每月的教育投入（单位，千元）绘制成如图所示的折线图，根据该图，下列结论正确的是（ ）A.2019年的教育总投入要高于2018年的教育总投入B.2018年与2019年中月教育投入最多的均在
3、8月份C.2018年与2019年的月教育投入逐月增加D.2018年与2019年中每年9月至12月的月教育投入变化比较平稳，波动性较小10.已知复数（为虚数单位），为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有（ ）A.在复平面内对应的点位于第二象限B.C.的实数部分为D.的虚部为11.现有分在问一组的三个代表队参加党史知识竞赛，若对于某个问题3个队回答正确的概率分别为，则关于该问题的回谷情况，以下说法中正确的是（ ）A，3个队都正确的概率为B.3个队都不正确的概率为C.出现恰有1个队正确的概率比出现恰有2个队正确的概率大D.出现恰有2个队正确的概率比出现恰有1个队正确的概率大12.正方体的棱长为2，
4、E，F，G分别为BC，的中点则（ ）A.直线与直线垂直B.直线与平面平行C.平面截正方体所得的截面面积为D.点和点到平面的距离相等三、填空题：本大题共4小题5个空，每题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上.13.下列数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的下四百分位数为_，90百分位数为_.14.用斜二侧法画水平放置的的直观图，得到如图所示等腰直角已知点是斜边的中点，且，则的边上的高为_.15.在直三棱柱中.若，则点到平面的距离为_.16.在边长为的菱形中，沿对角线折起，使二面角的大小为120，这时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为_.四、解答题：本大题共6小
5、题。共计70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计总体中成绩落在中的学生人数；（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数；18.在中，.（1）若，的面积为，求；（2）若，求周长的最大值.19.已知平面向量，.（1）若，求实数的值；（2）若，求与的夹角20.如图，在三棱柱中，侧面为菱形.（1）求证：平面；（2）若点D，E分别为，的中点，求证：平面.21.已知在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第i题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的
6、总人数现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“”表示答对，“”表示答错）：题号学生编号1234512345678910（1）根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数题号12345实测答对人数实测难度（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率（3）定义统计量，其中为第i题的实测难度，为
7、第i题的预估难度规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理判断本次测试的难度预估是否合理22.如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求二面角的余弦值.南京师大附中2020-2021学年度第2学期高一年级期末考试数学试卷命题人：高一数学备课组一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】，解得2.【答案】B【解析】取的中点，连，所以异面直线与所成角是，
8、或其补角，易得平面，.3.【答案】C【解析】对于A：，故本选项不符合题意；对于B：或，故本选项不符合题意；对于C：，故本选项符合题意；对于D：，故本选项不符合题意；4.【答案】C【解析】，或（舍）；，.5.【答案】A【解析】设正四面体，棱长为，高为，为底面正三角形外心（重心），底面正三角形高为，表面积6.【答案】A【解析】，可得，解得或，又由，则；7.【答案】C【解析】，即，又，则，.8.【答案】D【解析】设，所以或，所以或二、多项选择题：本大题共4小题。每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得S分，都分选对得2分，其他情况不得分9.【答案】ABD
9、【解析】由图像可知ABD正确10.【答案】ABC【解析】；故对应的点为；且的实部为：，虚部为：；11.【答案】ABC【解析】对于A：对于（1个队正确）（2个队正确）12.【答案】BCD【解析】因为，所以A错误；取中点，易证面面，所以直线与平面平行，B正确；截面为，C正确；因为，是中点，所以D正确.三、填空题：本大题共4小题5个空，每题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上.13.【答案】3；9.5【解析】，所以分别为3；9.514.【答案】【解析】直观图是等腰直角，；根据直观图平行于轴的长度变为原来的一半，的高为.15.【答案】【解析】，解得16.【答案】【解析】，设，则，四面体的外
10、接球的表面积为，四、解答题：本大题共6小题。共计70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1），解得（2）由频率分布直方图得成绩落在中的频率为，估计总体中成绩落在中的学生人数为：人（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数为：，18.【解析】（1），所以，所以（2），当且仅当时取等所以周长最大值为1219.【解析】（1）（2），所以，20.【解析】（1），面（2）取中点，可证面，面，面面面面21.【解析】（1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号12345实测答对人数88872实测难度0.80.80.80.70.2估计1
11、20人中有人答对第5题（2）记编号为i的学生为，从编号为1到5的5人中随机抽取2人，基本事件总数，恰好有1人答对第5题包含的基本事件有6个，分别为：，恰好有1人答对第5题的概率.（3）定义统计量，其中为第i题的实测难度，为第i题的预估难度.，该次测试的难度预估合理22.【解析】（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则，平面PCD，平面PCD面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，AB在底面上，l在底面外l与底面平行；（2）因为，所以二面角为设CD的中点为F，连接OF，PF由圆的性质，底面，底面，平面OPF平面PCD平面平面PCD直线OP在平面PCD上的射影为直线PF为OP与平面PCD所成的角由题设，设，则，在中，