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1、知识结构知识结构相相交交线线两条直线相交邻补角、对顶角对顶角相等垂线及其性质点到直线的距离两条直线被第三条直线所截同位角、内错角、同旁内角平平行行线线平行公理平移判定性质1.互为邻补角互为邻补角:两条直线相交所构成的四了角中两条直线相交所构成的四了角中,有公共顶点且有公共顶点且 有一条公共边的两个角是邻补角。如图有一条公共边的两个角是邻补角。如图(1)122.对顶角对顶角:(1)(1)两条直线相交所构成的四个角中两条直线相交所构成的四个角中，(1)有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。如图如图(2).(2).(2)1234(2)一个角的两边分别是另一个
2、角的两边的一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角。反向延长线，这两个角是对顶角。3.邻补角的性质邻补角的性质:同角的补角相等。4.对顶角性质对顶角性质:对顶角相等。两个特征:(1)具有公共顶点;(2)角的两边互为反向延长线。5.n条直线相交于一点，就有n(n-1)对对顶角。直线直线ABAB、CDCD、EFEF相交与于相交与于O,O,图中有图中有几对对顶角？几对对顶角？AOCAOC的对顶角是的对顶角是_COFCOF的对顶角是的对顶角是_AOCAOC的邻补角是的邻补角是_ 。EODEOD的邻补角是的邻补角是_ 。BODBODDOEDOECOB,AODCOB,AODDOF,C
3、OEDOF,COEABCDO在解在解决与角的计算有关决与角的计算有关的问题时，经常用的问题时，经常用到代数方法。到代数方法。1.1.垂线的定义垂线的定义:两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫垂足。2.垂线的性质垂线的性质:(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质(2):直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简称:垂线段最短。3.点到直线的距离点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与直线垂直时，特指它们
4、所在的直线互相垂直。特指它们所在的直线互相垂直。5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。如如图，图，AC BC,CD AB，垂足分别是，垂足分别是C点、点、D点。点。(1)点点B到到CD的距离是线段的距离是线段_的长度；的长度；(2)点点C到到AB的距离是线段的距离是线段_的长度；的长度；(3)点点A到到CB的距离是线段的距离是线段_的长度。的长度。ABCDBDCDAC拓拓 展展 应应 用用 如图：要把水渠中的水引到水池如图：要把水渠中的水引到水池C C中，中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？
5、请画出图来，并说明理由。能最短？请画出图来，并说明理由。C C理由理由:垂线段最短垂线段最短直直线线m外外有有点点P，它它到到直直线线m上上点点A、B、C的的距距离离分分别别是是6厘米厘米、3厘米、厘米、5厘米，则点厘米，则点P到直线到直线m的的距离距离 ()A等于等于6厘米厘米.B.等于等于3厘米厘米 C.等于等于5厘米厘米 D.不大于不大于3厘米厘米 易错点易错点DABCDOE此题需要正确地此题需要正确地应用、对顶角、应用、对顶角、邻补角、垂直的邻补角、垂直的概念和性质。概念和性质。平平行行线线的的性性质质平平行行线线的的判判定定两直线平行两直线平行条件条件结论结论同位角相等同位角相等内错
6、角相等内错角相等同旁内角互补同旁内角互补条件条件同位角相等同位角相等内错角相等内错角相等同旁内角互补同旁内角互补结论结论两直线平行两直线平行夹夹在在两两平平行行线线间间的的垂垂线线段段的的长长度度,叫叫做做两两平平行行线线间间的的距距离离。(5)还有其他判断两直线平行的方法吗？还有其他判断两直线平行的方法吗？c ca ab b同一平面内，平行于同一条直线的两条直同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行线互相平行易错点易错点:两条直线被第三条直线所截，则（两条直线被第三条直线所截，则（）A 同位角相等同位角相等 B 同旁内角互补同旁内角互补C 内错角相等内错角相等 D 以上都不对以上都不对
7、 D1.如图如图,若若3=4，则，则 ；AD1ABCD1432若若AB CD,则则 =。BC22.如图，如图，D=70，C=110,3 1=69，则，则B=BACED169ABCD14323.如图，已知如图，已知AB CD，补充什么补充什么条件，能得条件，能得AD/BC？4.若两条平行线被第三条直线所截，则一组内错角的若两条平行线被第三条直线所截，则一组内错角的平分线互相（平分线互相（）A 垂直垂直 B 平行平行 C 重合重合 D 相交相交5.两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截,下列说法错误是下列说法错误是:()A.同旁内角的平分线互相垂直同旁内角的平分线互相垂直B.内错角的
8、平分线互相平行内错角的平分线互相平行C.同旁内角的平分线互相平行同旁内角的平分线互相平行D.同位角的平分线互相平行同位角的平分线互相平行.CB6.6.已知已知,如图如图ABABEFEFCD,ADCD,ADBC,BDBC,BD平分平分ABC,ABC,则图中则图中与与EODEOD相等的角有相等的角有()()个个.A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5ABCDEFODD综合应用综合应用:ABCDEF1231、填空：、填空：(1)、A=_,(已知）已知）ACED ,(_)(2)、AB _,(已知）已知）2=4，(_)45(3)、_ _,(已知）已知）B=3.(_ _)试一试，你准行！试一试，
9、你准行！模仿上题自己编题。模仿上题自己编题。（考查平行线的性质或判定）（考查平行线的性质或判定）4同位角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。DF两直线平行两直线平行,内错角相等。内错角相等。ABDF两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等.8 8、如图，要说明、如图，要说明 ABCDABCDABCDABCD，需要什么条件？试把所，需要什么条件？试把所，需要什么条件？试把所，需要什么条件？试把所有可能的情况写出来，并说明理由。有可能的情况写出来，并说明理由。有可能的情况写出来，并说明理由。有可能的情况写出来，并说明理由。F如图如图 已知：已知：1+2=180求证：求证：AB CD。证明：
10、证明：1+2=1801+2=180(已知已知)1=31=3（对顶角相等）（对顶角相等）2=4 2=4（对顶角相等（对顶角相等)3+4=1803+4=180(等量代换等量代换)AB/CDAB/CD(同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行).).4123ABCEFD 已知已知DAC=DAC=ACB,ACB,D+D+DFE=180DFE=1800,求证求证求证求证:EF/BC:EF/BC 证明证明:DAC=DAC=ACB ACB(已知已知)AD/BCAD/BC (内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行)D+D+DFE=180DFE=1800(已知
11、已知)AD/EFAD/EF (同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行)EF/BCEF/BC (平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行)ABCDEF 如图，已知：已知：AC DE，1=2，试证明，试证明AB CD。证明证明:AC DE（已知）（已知）ACD=2 (两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)1=2（已知）（已知）1=ACD(等量代换等量代换)AB CD(内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行)ADBE12C 如图，如图，如图
12、，如图，BDBD ACAC，EFEF ACAC，D D、F F分别为垂足，分别为垂足，分别为垂足，分别为垂足，1 1 2 2，试说明，试说明，试说明，试说明 ADG ADG C C。证明：证明：EF AC，BD AC（已知）（已知）EFC=BDC=90 EF BD(同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行)2 CBD（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）1=2（已知）（已知）1=CBD（等量代换）（等量代换）DG CB（内错角相等（内错角相等,两直线平行）两直线平行）ADG=C两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等）1.命题的概念命题的概念:判断一件事情的句子，叫做命
13、题。叫做命题。命题必须是一个完整的句子命题必须是一个完整的句子;这个句子必须对某件事情做出肯定或者否定的判断。两者缺一不可。两者缺一不可。2.命题的组成命题的组成:每个命是由题设、结论两部分组成。每个命是由题设、结论两部分组成。题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成 “如果，那么”的形式。或“若，则”等形式。3.真命题和假命题真命题和假命题:命题是一个判断，命题是一个判断，这个判断可能是正确的，也可以是错误的。由此可以把命题分成真命题和假命题真命题和假命题。真命题就是真命题就是:如果题设成立，那么结论一定成立的命题。假命题就是假命题就是:如果题设成立时，不能保证结论总是成立的命
14、题。4.定理：定理：它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理定理.5.证明：证明：一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程 叫做证明证明.练习练习1 1、下列命题是真命题的有（、下列命题是真命题的有（）A A、相等的角是对顶角、相等的角是对顶角 B B、不是对顶角的角不相等、不是对顶角的角不相等C C、对顶角必相等、对顶角必相等 D D、有公共顶点的角是对顶角、有公共顶点的角是对顶角E E、邻补角的和一定是、邻补角的和一定是180180度度F F、互补的两个角一定是邻补角、互补的两个角一定是邻补角G G、两条直线相交、两条直线相交,只要其中一个角的大小确只要其中一个角
15、的大小确定了定了,那么另外三个角的大小就确定了那么另外三个角的大小就确定了 C、E、G 1.平移的定义平移的定义:把一个图形整体沿某一方向移动，会得到 一个新图形，这样的图形运动，叫做平移。叫做平移。2.平移的特征平移的特征:(1)平移不改变图形的形状和大小。(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到 的，这两个点是对应点，对应点连结而成的线段平行且相等。3.决定平移的因素是平移的决定平移的因素是平移的方向和距离。方向和距离。4.经过平移，图形上的每一点都沿同一方向移动相同的距离。经过平移，图形上的每一点都沿同一方向移动相同的距离。5.经过平移，经过平移，对应角相等对应角相等;对
16、应线段平行且相等;对应点所连的线对应点所连的线 段平行且相等。段平行且相等。2.下列生活中的物体的运动情况可以看成下列生活中的物体的运动情况可以看成平移的是平移的是()（1）摆动的钟摆）摆动的钟摆 （2）在笔直的公路上行驶的汽车）在笔直的公路上行驶的汽车（3）随风摆动的旗帜）随风摆动的旗帜（4）摇动的大绳）摇动的大绳（5）汽车玻璃上雨刷的运动）汽车玻璃上雨刷的运动（6）从楼梯自由落下的球（球不旋转）从楼梯自由落下的球（球不旋转）2.2.已知已知,如图如图ABABEFEFCD,ADCD,ADBC,BD BC,BD 平分平分ABC,ABC,则则图中与图中与EODEOD相等的角有相等的角有()()个
17、个.ABCDEFO1.如图如图,c a,c b,1=700，则则2=.1dcba270v折叠问题折叠问题v有一条长方形纸带，按如图所示沿有一条长方形纸带，按如图所示沿ABAB折叠时，当折叠时，当1=301=30求纸带重求纸带重叠部分中叠部分中CABCAB的度数。的度数。ABC1234EF CAB=75（1 1）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角湖而过，如果第一次拐的角A A是是120120，第二，第二次拐角后，这时的道路恰好和第一次拐弯之前次拐角后，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则拐角的道路平行，则拐角C=C=.A AC
18、C120120（2 2）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角湖而过，如果第一次拐的角A A是是5050，第二，第二次拐的角次拐的角B B是是8585，第三次拐的角是，第三次拐的角是C C，这，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则则C C是是 .A AB BC C12做辅助线问题做辅助线问题A+C=ABC3535A+C=APCA+C+APC=3600A AP PC CB BD DA AP PC CB BD D拓展探究拓展探究：（1 1）如图如图,已知已知 ABCD,1=30,ABCD,1=3
19、0,2=90,2=90,则则3=3=_（2 2）如图如图,若若AECD,EBF=135AECD,EBF=135，BFD=60,D=BFD=60,D=（）A A、75 B75 B、45 C45 C、30 D30 D、1515图图1 1图图2 23030？135135？6060中考试题：中考试题：A+C=APCA+C+APC=3600A AP PC CB BD DA AP PC CB BD DP PB BA AD DC CP PB BA AD DC C APC=A-C APC=C-A拓展探究拓展探究：如图，已知如图，已知AB CD，试再，试再添上一个条件，使添上一个条件，使1=2成立（要求给出两个
20、答案）成立（要求给出两个答案）能力拓展：能力拓展：9 9、如图，已知、如图，已知AEMAEM DGNDGN，则你能说明，则你能说明ABAB平平行于行于CDCD吗？吗？变式变式1：若若AEMAEM DGNDGN，EFEF、GHGH分别平分分别平分AEGAEG和和CGNCGN，则图中还有平行线吗？，则图中还有平行线吗？F FE EC CB BD DA AG GH H一个角的两边与另一个角的两一个角的两边与另一个角的两边分别平行边分别平行,则这两个角则这两个角 相等或互补相等或互补.典型例题典型例题 例例1 如图，三条直线AB，CD，EF相交于O，且CDEF，AOE70，若OG平分BOF求DOG的度数解：三条直线AB，CD，EF相交于O，且CDEF，DOF90 AOE70，BOFAOE70 OG平分BOF，FOG BOF35 DOGDOFFOG 903555典型例题典型例题 例2.已知直线AB、CD、EF相交于点O，OABCDEFOADCB由垂直先找到由垂直先找到 的的角，再根据角之间角，再根据角之间的关系求解。的关系求解。