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1、第1讲相似矩阵及二次型第1页，此课件共44页哦1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性第2页，此课件共44页哦1.1.定义：定义：内积内积一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质第3页，此课件共44页哦说明说明1 维向量的内积是维向量的内积是3维向量内积维向量内积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义第4页，此课件共44页哦2.2.内积的运算性质内积的运算性质（施瓦兹不等式）（施瓦兹不等式）第5页，此课件共44页哦1.1.定义：定义：令令长度长度范数范数2.性质：性质：二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质第6页，此课件共44页哦3.单位向量：
2、单位向量：4.n维向量间的夹角维向量间的夹角第7页，此课件共44页哦1.1.正交的概念正交的概念2.2.正交向量组的概念正交向量组的概念三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法 若一非零向量组中的若一非零向量组中的向量两两正交向量两两正交，则称该向，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组第8页，此课件共44页哦证明：证明：3.3.正交向量组的性质正交向量组的性质第9页，此课件共44页哦4.4.向量空间的正交基向量空间的正交基例例是二维向量空间的一个正交基是二维向量空间的一个正交基第10页，此课件共44页哦5.5.规范正交基规范正交基例如例如第11页，此课件共44页哦第12页，此课
3、件共44页哦 同理可知同理可知第13页，此课件共44页哦（）正交化正交化：（2 2）求规范正交基的方法求规范正交基的方法步骤：步骤：取取 ，第14页，此课件共44页哦（）单位化）单位化：取取施密特正交化施密特正交化 过程过程 第15页，此课件共44页哦例例1 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.解：解：取取先正交化先正交化.第16页，此课件共44页哦再单位化，再单位化，得规范正交向量组如下：得规范正交向量组如下：第17页，此课件共44页哦1.1.正交矩阵正交矩阵（2 2）定理：）定理：四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换（1）定义：）定义：A的
4、列（或行）向量都是单位向量且两两正交的列（或行）向量都是单位向量且两两正交A 为正交矩阵为正交矩阵注：注：正交矩阵正交矩阵A的的 n 个列（或行）向量构成向量空个列（或行）向量构成向量空间间Rn 的一个规范正交基的一个规范正交基第18页，此课件共44页哦（3）性质：）性质：正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变若若 为为正交阵正交阵，则线性变换，则线性变换 称为称为正交变换正交变换2.2.正交变换正交变换（1 1）定义：）定义：（2 2）性质：）性质：第19页，此课件共44页哦例例2 2 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵解：解：所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵
5、考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于第20页，此课件共44页哦所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵由于由于解：解：第21页，此课件共44页哦2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量第22页，此课件共44页哦注：注：一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念第23页，此课件共44页哦2.特征方程与特征多项式特征方程与特征多项式第24页，此课件共44页哦3.特征值的性质特征值的性质例例1 1 第25页，此课件共44页哦解解例例2 2 第26页，此课件共44页哦第27页，此课件共44页哦例例 3 3 解解第28页，此课件共44页哦第29页，此课件共44页哦第30
6、页，此课件共44页哦例例 4 4 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解第31页，此课件共44页哦第32页，此课件共44页哦得基础解系为：得基础解系为：第33页，此课件共44页哦例例 5 5 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得第34页，此课件共44页哦（3）第35页，此课件共44页哦求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：小结：小结：第36页，此课件共44页哦证明证明则则即即类推之，有类推之，有二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向
7、量的性质第37页，此课件共44页哦把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得第38页，此课件共44页哦注：注：1 10 0 属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的3 30 0 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征一个特征向量不能属于不同的特征值向量不能属于不同的特征值2 20 0 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量是属于这个特征值的特征向量第39页，此课
8、件共44页哦第40页，此课件共44页哦例例 6 6 设设A是是 阶方阵，其特征多项式为：阶方阵，其特征多项式为：解：解：AT与与A有相同的特征多项式，也有相同的特征值有相同的特征多项式，也有相同的特征值第41页，此课件共44页哦1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化小结：小结：2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：第42页，此课件共44页哦思考题：思考题：第43页，此课件共44页哦思考题解答：思考题解答：第44页，此课件共44页哦