数学建模中综合评价模型改进.pptx

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1、一、什么是综合评价问题一、什么是综合评价问题近年竞赛题近年竞赛题全国研究生数学建模竞赛题目：（1）2011-C题：对小麦发育后期茎秆抗倒性问题的研究（2）2011-D题：房地产行业的数学模型（3）2013-D题：空气中 PM2.5 问题的研究（4）2013-E题：中等收入定位与人口度量模型研究（5）2014-D题：人体营养健康角度的中国果蔬发展战略研究全国大学生数学建模竞赛题目：（6）2012年-A题:葡萄酒质量的评价（7）2012年-B题:碎纸片拼接复原问题（8）2013年-A题：车道被占用对城市道路通行能力的影响第1页/共55页1 1、综合评价的目的、综合评价的目的综合评价一般表现为以下几

2、类问题：。分类对所研究对象的全部个体进行分类，但不同于复合分组（重叠分组）；。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基础上对各小类按优劣排序）；。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一事物作出整体评价）。如小康目标的实现程度、现代化的实现程度。当然必须有参考系。第2页/共55页 构成综合评价问题的五个要素分别为构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、评价被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。指标、权重系数、综合评价模型和评价者。2、构成构成综合合评价价问题的五个要素的五个要素 第3页/共55页 （2 2）评价指价指标 评价指价指标是反映被是反映被评价价对象象(或系或

3、系统)的运行的运行(或或发展展)状况的状况的基本要素。通常的基本要素。通常的问题都是有多都是有多项指指标构成，每一构成，每一项指指标都是从都是从不同的不同的侧面刻画系面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。所具有某种特征大小的一个度量。一个一个综合合评价价问题的的评价指价指标一般可用一个向量表示，其中一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个每一个分量就是从一个侧面反映系面反映系统的状的状态，即称，即称为综合合评价的价的指指标体系。体系。第4页/共55页 注注意意到到:当当各各被被评价价对象象和和评价价指指标值都都确确定定以以后后，问题的的综合合评价价结果果就就完完全全依依赖于于权重重系系

4、数数的的取取值了了，即即权重重系系数数确确定定的的合合理理与与否否，直直接接关关系系到到综合合评价价结果果的的可可信信度度，甚甚至至影影响到最后决策的正确性。响到最后决策的正确性。第5页/共55页 （4 4）综合合评价模型价模型 对于多指于多指标（或多因素）的（或多因素）的综合合评价价问题,就是要通就是要通过建立合适的建立合适的综合合评价数学模型将多个价数学模型将多个评价指价指标综合成合成为一个一个整体的整体的综合合评价指价指标，作，作为综合合评价的依据，从而得到相价的依据，从而得到相应的的评价价结果。果。第6页/共55页 （5 5）评价者）评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，评

5、价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。者有关。第7页/共55页3、综合评价的一般步骤、综合评价的一般步骤 1确定综合评价的目的（分类？排序？实现程度？）2建立评价指标体系3.对指标数据做预处理（1）使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提出了如何使指标一致化的问题；（2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除指标之间不同计量单位（不同度量）对指标数值大小的影响和不能加总（综合）的问题，即对指标进行无量纲

6、化处理计算单项评价值。4确定各个评价指标的权重5求综合评价值将单项评价值综合而成。第8页/共55页 1.评价指价指标类型的一致化型的一致化 极大型指标极大型指标:总是期望指标的取值越大越好；总是期望指标的取值越大越好；极小型指标极小型指标:总是期望指标的取值越小越好；总是期望指标的取值越小越好；中间型指标中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的中间值为最好为好，即取适当的中间值为最好;区间型指标区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。区间内为最好。-定性指标定性

7、指标二、评价指标的规范化处理二、评价指标的规范化处理 第9页/共55页1.1 将极小型化为极大型倒数法：平移变换法 其中 第10页/共55页1.2 将居中型化为极大型对于居中型指标第11页/共55页1.3 将区间型化为极大型第12页/共55页1.4 定性指标的量化处理方法定性指标的量化处理方法 在在实实际际中中，很很多多问问题题都都涉涉及及到到定定性性，或或模模糊糊指指标的定量处理问题。标的定量处理问题。诸诸如如:教教学学质质量量、科科研研水水平平、工工作作政政绩绩、人人员员素素质质、各各种种满满意意度度、信信誉誉、态态度度、意意识识、观观念念、能能力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题。

8、力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题。如何对有关问题给出定量分析呢？如何对有关问题给出定量分析呢？第13页/共55页按国家的评价标准按国家的评价标准,评价因素一般分为五个等级，如评价因素一般分为五个等级，如A A，B B，C C，D D，E E。如何将其量化？若如何将其量化？若A A-，B B+，C C-，D D+等又如何合理量化？等又如何合理量化？根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种可根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种可行有效的方法。行有效的方法。第14页/共55页 2.2.评价指标的无量纲化评价指标的无量纲化 如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过如

9、果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出程中就会出“大数吃小数大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到错的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。误的评价结论。无量纲化处理又称为指标数据的标准化无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。或规范化处理。常用方法常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。第15页/共55页第16页/共55页第17页/共55页三、近年建模题目中涉及的指标构三、近年建模题目中涉及的指标构建问题举例建问题举例1 1、20132013年数学建模B B题中 碎纸片拼接中的纸片匹配指标2 2、20132

10、013研究生数学建模E E题中 贫富两极分化衡量指标3 3、20132013年数学建模A A题中事故处横断面实际通行能力影响差异第18页/共55页1 1、20132013数学建模数学建模B B题中碎纸片拼接中题中碎纸片拼接中的纸片匹配指标的纸片匹配指标 运用最小二乘法，将最新确定位置的右侧边缘灰度值与剩下碎片的左侧边缘灰度值进行比对，将相似度最高即（MatchMatch值最小）的待排碎片放在已知碎片的右边。依照上述方法直到将所有碎片拼接完毕。方法一：方法一：第19页/共55页方法二：方法二：第20页/共55页 为了比较不同地区和不同年份收入分配的两极分化为了比较不同地区和不同年份收入分配的两极

11、分化程度，需要构建了一个指标，以衡量居民收入两极分化程度，需要构建了一个指标，以衡量居民收入两极分化的大小，该指标越大，说明收入分配的两极分化程度越的大小，该指标越大，说明收入分配的两极分化程度越高，该指标越小，说明收入分配两极分化的程度越低。高，该指标越小，说明收入分配两极分化的程度越低。该指标需要满足的经济规律方面的要求概括为：该指标需要满足的经济规律方面的要求概括为：在其他情况不变的条件下，当在其他情况不变的条件下，当 扩大时，扩大时，减增大，减增大，这说明随着贫富收入离散程度的加大，两极分化程度具这说明随着贫富收入离散程度的加大，两极分化程度具有增大的趋势；在其他情况不变的条件下，当有

12、增大的趋势；在其他情况不变的条件下，当p p增大时，增大时，减小，这说明随着中等收入区间人口比例的增加，两极减小，这说明随着中等收入区间人口比例的增加，两极分化程度减弱；在其他情况不变的条件下，当分化程度减弱；在其他情况不变的条件下，当 增大时，增大时，减小，这说明随着人均收入水平的提高，若贫富收入离减小，这说明随着人均收入水平的提高，若贫富收入离散程度没有改变，则两极分化程度减轻了。根据该指标散程度没有改变，则两极分化程度减轻了。根据该指标的性质，将其定义为：的性质，将其定义为：2 2、20132013研究生数学建模研究生数学建模E E题中题中 贫富两贫富两极分化衡量指标极分化衡量指标第21

13、页/共55页 是一个在区间是一个在区间 上变动的指标，当收入分配完全上变动的指标，当收入分配完全是均匀分配时，不存在两极分化的情况，此时是均匀分配时，不存在两极分化的情况，此时 ；而当中间收入人群为零时，即形成完全的两极分化时，而当中间收入人群为零时，即形成完全的两极分化时，为此本文考虑另一种特殊的情形，即中间收入人口所占比，为此本文考虑另一种特殊的情形，即中间收入人口所占比例为例为50%，变异系数为，变异系数为 0.5 时，时，。自此，本文界定。自此，本文界定 时，两极分化程度比较轻，而当时，两极分化程度比较轻，而当 时，两极分化程度比较高。时，两极分化程度比较高。其中其中 为收入均值，为收

14、入均值，为收入的标准差，为收入的标准差，P为基于收入的人为基于收入的人口分布，口分布，为两极分化衡量指标。为两极分化衡量指标。第22页/共55页 从视频从视频1 1和视频和视频2 2的图像，可以看出交通事故期间，交通事的图像，可以看出交通事故期间，交通事故横截面出实故横截面出实际通行能力波动际通行能力波动明显，且没有明显的线性或者其明显，且没有明显的线性或者其他类似规律，数据可能具有正态分布特性。因此，利用得到的他类似规律，数据可能具有正态分布特性。因此，利用得到的实际通行能力数据，作正态检验。利用实际通行能力数据，作正态检验。利用spssspss软件作正态检验，软件作正态检验，发现正态性明显

15、。因此，可以认为题中交通事故横截面处实际发现正态性明显。因此，可以认为题中交通事故横截面处实际交通能力服从正态分布。交通能力服从正态分布。实际交通能力差异度：以正态拟合得到的均值作为实际交通能力的大小，则下式成立：实际交通能力的差异程度定义如下：P值越大反应发生事故的车道位置对实际交通能力的影响很大。3 3、20132013数学建模A A题中事故处横断面实际通行能力影响差异第23页/共55页稳定性差异度：由于视频1 1和视频2 2的交通事故横截面实际交通能力具有波动性，则应该具有稳定程度，用稳定性这一量来反映，显然，稳定性越高越有利于车辆的通行。定义稳定性如下所示：则稳定性的差异程度如下：第2

16、4页/共55页差异度：为了说明事故处横断面实际交通能力总的影响差异，定义差异度B B，如下所示：式中的 为实际交通能力和稳定性的偏好系数。综上所述，得到如下事故处横断面实际通行能力影响差异模型：第25页/共55页问题问题:如何来构造合适的综合评价模型？如何来构造合适的综合评价模型？四、综合评价模型的建立方法四、综合评价模型的建立方法第26页/共55页 线性加权综合法的适用条件线性加权综合法的适用条件:各评价指标之间相互独各评价指标之间相互独立。立。对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。指标间

17、信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。1.线性加性加权综合法合法 第27页/共55页线性加权综合法的特点：线性加权综合法的特点：（1 1）该该方方法法能能使使得得各各评评价价指指标标间间作作用用得得到到线线性性补补偿偿，保保证综合评价指标的公平性；证综合评价指标的公平性；（2 2）该该方方法法中中权权重重系系数数的的对对评评价价结结果果的的影影响响明明显显，即即权权重较大指标值对综合指标作用较大；重较大指标值对综合指标作用较大；（3 3）当当权权重重系系数数预预先先给给定定时时，该该方方法法使使评评价价结结果果对对于于各各备选方案之间的差异表现不敏感；备选方案之间的差异表现不敏感；（4

18、4）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。第28页/共55页 2.非非线性加性加权综合法合法 主要特点主要特点:（1）对数据要求数据要求较高，指高，指标数数值不能不能为0、负数，数，（2）乘除法容易拉开）乘除法容易拉开评价档次，价档次，对较小数小数值的的变动更敏更敏感。感。适用条件：适用条件：各指各指标间有有较强关关联性性。第29页/共55页 3.逼近理想点（逼近理想点（TOPSISTOPSIS）方法）方法 第30页/共55页 模糊综合评价方法是模糊数学中应用的比较模糊综合评价方法是模糊数学中应用的比较广泛的一种方法，对一些具有模糊概念的系统广泛

19、的一种方法，对一些具有模糊概念的系统（评价对象），在进行评价时很难给出确切的表（评价对象），在进行评价时很难给出确切的表达，对受多种因素影响的事物做出全面评价的一达，对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，其特点是评价结种十分有效的多因素决策方法，其特点是评价结果不是绝对地肯定或否定，而是以一个模糊集合果不是绝对地肯定或否定，而是以一个模糊集合来表示。来表示。4、模糊综合评价法第31页/共55页5 5、层次分析模型、层次分析模型 层次分析法是将与决策总是有关的元素分解成层次分析法是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性目标、准则、方案

20、等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。和定量分析的决策方法。第32页/共55页6、动态加加权综合合评价方法价方法 20052005年中国大学生数学建模竞赛的年中国大学生数学建模竞赛的A A题：题：“长江水质的评长江水质的评价和预测价和预测”问题的第一部份给出了问题的第一部份给出了1717个观测站（城市）的最个观测站（城市）的最近近2828个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最主要的四项指标：溶解氧（主要的四项指标：溶解氧（DODO）、高锰酸盐指数（）、高锰酸盐指数（CODMnCODMn）、）、氨氮氨氮(NH3-N)(NH3-

21、N)和和PHPH值，要求综合这四种污染指标的值，要求综合这四种污染指标的2828个月的个月的检测数据对检测数据对1717个城市的水质情况做出综合评价。个城市的水质情况做出综合评价。6.1 动态加权综合评价问题的提法动态加权综合评价问题的提法 第33页/共55页 根据国根据国标（GB 3838GB 383820022002）的）的规定，关于地表水的水定，关于地表水的水质可分可分为类、类、类、类、类、劣、劣类共六个共六个类别，每一个，每一个类别对每一每一项指指标都有相都有相应的的标准准值（区（区间），），只要有一只要有一项指指标达到高达到高类别的的标准就算是高准就算是高类别的水的水质，所，所以以实

22、际中不同中不同类别的水的水质有很大的差有很大的差别，而且同一，而且同一类别的水的水在在污染物的含量上也有一定的差染物的含量上也有一定的差别。在在对1717个城市的水个城市的水质做做综合合评价价时，要充分考，要充分考虑这些指些指标值不同不同类别水的水的“质的差异的差异”和同和同类别水的水的“量的差异量的差异”,在此在此简称称为“质差差”和和“量差量差”。因此，。因此，这是一个是一个较复复杂的多因素多属性的的多因素多属性的综合合评价价问题。第34页/共55页第35页/共55页 根据根据这个个问题的的实际背景和背景和综合合评价的一般原价的一般原则，解决，解决问题的主要的主要过程分三步完成：程分三步完

23、成：将各将各评价指价指标作作标准化准化处理；理；根据各属性的特性构造根据各属性的特性构造动态加加权函数；函数；构建构建问题的的综合合评价模型，并做出价模型，并做出评价。价。实际中中问题的的评价指价指标可能有极大型的、极小型的、中可能有极大型的、极小型的、中间型，或区型，或区间型的四种情况，也有型的四种情况，也有时各有不同的量各有不同的量纲，这就就需要根据不同情况分需要根据不同情况分别作作标准化准化处理，即理，即对三种不同三种不同类型指型指标变换成成统一的、无量一的、无量纲的的标准化指准化指标。6.2 动态加加权综合合评价的一般方法价的一般方法 第36页/共55页 考虑到评价指标的考虑到评价指标

24、的“质差质差”与与“量差量差”的关系，在确的关系，在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标之间的差异，定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。也要能体现同类型指标的数量差异。根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主要是根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主要是从实际问题出发分析确定。从实际问题出发分析确定。对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取不同对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取不同的权函数。的权函数。6.2.2 动态加加权函数的函数的设定定 第39页/共55页第40页/共55页第41页/共55页第42页/共55页6.3 综合

25、评价模型的构建 第43页/共55页 五、长江水质的综合评价模型五、长江水质的综合评价模型 第45页/共55页 1.指标数据的标准化处理指标数据的标准化处理第46页/共55页第47页/共55页第48页/共55页 2.动态加权函数的确定动态加权函数的确定 第49页/共55页 3.综合评价指标函数的确定综合评价指标函数的确定 第50页/共55页 4.各城市水质的综合评价各城市水质的综合评价 第51页/共55页第52页/共55页 六、动态加权综合评价方法的特点六、动态加权综合评价方法的特点 从从实实际际的的综综合合评评价价结结果果可可以以看看出出，针针对对这这样样一一类类多多因因素素多多属属性性的的既

26、既包包含含“质质差差”又又包包含含“量量差差”的的综综合合评评价价问问题题，采采用用动动态态加加权权综综合合评评价价方方法法使使得得评评价价结结果果科科学学合合理理。主主要要特特点有点有:充充分分地地考考虑虑到到了了每每一一个个因因素素每每一一属属性性的的所所有有“差差异异”的的影影响响和作用和作用;在在综综合合评评价价中中也也充充分分地地体体现现出出了了各各属属性性的的“广广泛泛性性”和和“民民主性主性”;避避免免了了在在一一般般的的综综合合评评价价方方法法的的“一一票票否否决决”（即即某某一一指指标标的劣而导致结果的否定）的不合理性的劣而导致结果的否定）的不合理性;体现出了综合评价的体现出

27、了综合评价的“综合综合”二字的含义。二字的含义。第53页/共55页 动动态态加加权权综综合合评评价价方方法法从从方方法法上上增增加加了了综综合合评评价价的的客客观观性性，大大大大地地淡淡化化了了评评价价人人的的主主观观因因素素对对评评价价结结果果的的影影响响。这与一般的定常加权法相比其优越性是显而易见的。这与一般的定常加权法相比其优越性是显而易见的。动动态态加加权权综综合合评评价价方方法法不不仅仅适适用用于于水水质质的的综综合合评评价价这这一一类类问问题题，而而且且，类类似似的的可可以以用用来来研研究究解解决决诸诸如如空空气气质质量量的的综综合合评评价价问问题题，以以经经济济和和军军事事等等领领域域的的很很多多综综合合评评价价问问题，动态加权综合评价方法在实际中非常有推广应用价值。题，动态加权综合评价方法在实际中非常有推广应用价值。第54页/共55页2023/3/25信息工程大学 信息工程学院55感谢您的观看。第55页/共55页