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1、第十一部分：无穷级数习题课以及练习题解答第十一部分第十一部分 无穷级数无穷级数一一 重点与难点重点与难点 1.1.无穷级数及其收敛、发散的概念；无穷级数及其收敛、发散的概念；无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；正项级数正项级数的比较审敛法及几何级数和的比较审敛法及几何级数和 p-p-级数的收敛性；级数的收敛性；正项级数正项级数的比值审敛法和根值审敛法；的比值审敛法和根值审敛法；交错级数的莱布尼茨定理，级数绝对收敛和条件收敛的交错级数的莱布尼茨定理，级数绝对收敛和条件收敛的概念和判别方法。概念和判别方法。2.理解函数项级数的收敛域与和函数的概念；理解函数项级数
2、的收敛域与和函数的概念；熟练掌握熟练掌握确定幂级数收敛域确定幂级数收敛域的方法；的方法；会求简单的幂级数的和函数；会求简单的幂级数的和函数；3.函数可展为幂级数的充要条件函数可展为幂级数的充要条件；掌握掌握ex,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)的麦克劳林展的麦克劳林展开式开式 会用间接法把函数会用间接法把函数展开成展开成幂级数。幂级数。5.掌握傅立叶级数的收敛定理，熟练地把周期为掌握傅立叶级数的收敛定理，熟练地把周期为 2 （或（或2l)的的函数函数展开成展开成傅立叶级数；傅立叶级数；掌握函数延拓思想，会把掌握函数延拓思想，会把0,0,(或或0,0,l )上的函数上的函数 展开成
3、正弦展开成正弦级数和余级数和余弦弦级数；级数；会用傅立叶级数求某些简单的数项级数的和。会用傅立叶级数求某些简单的数项级数的和。4.一一 重点与难点重点与难点.充充 要要几何几何|r|1P 1比较法比较法比值法比值法根值法根值法积分法积分法交交错错级级数数.u1 un+1.必定发散必定发散仍然收敛仍然收敛不变不变.先求出先求出R,令令 y=xx0,.先考虑先考虑再换回再换回 x 的收敛区间。的收敛区间。2.确定幂级数收敛域确定幂级数收敛域.再考虑端点再考虑端点x=R处的敛散性处的敛散性.3.函数可展为幂级数的充要条件函数可展为幂级数的充要条件为函数为函数 f(x)的泰勒级数。的泰勒级数。为函数为
4、函数 f(x)的麦克劳林级数。的麦克劳林级数。.4.五个重要函数的幂级数展开式五个重要函数的幂级数展开式f(x):1o.连续或只连续或只有有有限个第一类间断点；有限个第一类间断点；2o.至多有有限个极值点。至多有有限个极值点。充充 分分.5.傅立叶级数傅立叶级数.5.傅立叶级数傅立叶级数.答：如果仅要求在有限区间内把非奇函数展开成正弦级数，答：如果仅要求在有限区间内把非奇函数展开成正弦级数，是可以的。是可以的。例如：例如：这就是这就是奇延拓。奇延拓。把把F(x)按周期按周期2 延拓后展成正弦级数延拓后展成正弦级数则当则当 x(0,)时，这就是时，这就是 f(x)的的正弦级数。正弦级数。.采用采
5、用奇延拓奇延拓的方法。的方法。.(9)奇函数以外的函数可以展开成正弦级数吗？奇函数以外的函数可以展开成正弦级数吗？一一 判断是非判断是非（是是：；非非：,后者请举反例后者请举反例.）.例：例：练习题解答练习题解答.例：例：.12.0.1.(正正)(0).二、填空题二、填空题三三 计算题计算题1.解：解：2.解：解：三三 计算题计算题由比值法：由比值法：由收敛的必要条件：由收敛的必要条件：.解：解：3.解：解：4.（为什么？）（为什么？）R=2解：解：.？展开式展开式4=（由原级数知（由原级数知.）5解：解：.6解：解：=2e (e 1)=e+1 .展开式展开式 1.7解：解：=0,n=1,2,n=1,2,.8.解：解：和函数和函数 s(x)的图形如下：的图形如下：函数函数 f(x)的图形如下：的图形如下：.oxy 3 3 f(x).s(x)8