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1、离散傅里叶变换的定离散傅里叶变换的定义义本讲稿第一页，共六十三页3.1离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义3.1.1DFT3.1.1DFT的定义的定义的定义的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换离散傅里叶变换为X(k)的离散傅里叶逆变换离散傅里叶逆变换为本讲稿第二页，共六十三页 式中，N称为DFT变换区间长度，NM，通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。下面证明IDFTX(k)的唯一性。把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有 为整数为整数 为整数为整数 本讲稿第三页，共六十三页 例例3.1.1 x(n)=R4(n)，求x(n)
2、的8点和16点DFT 解解 设变换区间N=8，则所以，所以，在变换区间上满足下式：在变换区间上满足下式：IDFTX(k)=x(n),0nN-1由此可见，由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。式定义的离散傅里叶变换是唯一的。本讲稿第四页，共六十三页设变换区间设变换区间N=16，则则本讲稿第五页，共六十三页3.1.2DFT3.1.2DFT和和和和Z Z变换的关系变换的关系变换的关系变换的关系 设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：比较上面二式可得关系式比较上面二式可得关系式本讲稿第六页，共六十三页图图3.1.1X(k)与与X(e j)的关系的关系本讲稿第七页，共六十三
3、页 3.1.3DFT3.1.3DFT的隐含周期性的隐含周期性的隐含周期性的隐含周期性前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于的周期性，使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有均为整数均为整数所以所以(3.1.1)式中，式中，X(k)满足满足同理可证明同理可证明(3.1.2)式中式中x(n+mN)=x(n)本讲稿第八页，共六十三页 实际上，任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即为了以后叙述方便，为了以后叙述方便，将将(3.1.5)式用如下形式表示：式用如
4、下形式表示：本讲稿第九页，共六十三页图图3.1.2有限长序列及其周期延拓有限长序列及其周期延拓本讲稿第十页，共六十三页式中x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，(n)N表示n对N求余，即如果 n=MN+n1，0n1N-1，M为整数，则(n)N=n1 例如，则有则有所得结果附合图所得结果附合图3.1.2所示的周期延拓规律。所示的周期延拓规律。本讲稿第十一页，共六十三页 如果x(n)的长度为N，且=x(n)N，则可写出的离散傅里叶级数表示为(3.1.8)(3.1.9)式中式中(3.1.10)本讲稿第十二页，共六十三页3.2离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质 3.2.13.2
5、.1线性性质线性性质线性性质线性性质 如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数，即N=maxN1,N2，则y(n)的N点DFT为 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k),0kN-1 (3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。本讲稿第十三页，共六十三页 3.2.23.2.2循环移位性质循环移位性质循环移位性质循环移位性质 1.序列的循环移位序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(N)(3.2.2)本
6、讲稿第十四页，共六十三页图图3.2.1循环移位过程示意图循环移位过程示意图本讲稿第十五页，共六十三页 2.时域循环移位定理时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即 y(n)=x(n+m)NRN(n)则 Y(k)=DFTy(n)=X(k)(3.2.3)其中X(k)=DFTx(n),0kN-1。本讲稿第十六页，共六十三页 证明：令令n+m=n，则有则有本讲稿第十七页，共六十三页 由于上式中求和项x(n)N以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区则得3.频域循环移位定理频域循环移位定理如果如果X(k)=DFTx(n),0k
7、N-1Y(k)=X(k+l)NRN(k)则则 y(n)=IDFTY(k)=x(n)(3.2.4)本讲稿第十八页，共六十三页 3.2.33.2.3循环卷积定理循环卷积定理循环卷积定理循环卷积定理*有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2，N=max N1,N2。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)如果 X(k)=X1(k)X2(k)则(3.2.5)本讲稿第十九页，共六十三页 一般称(3.2.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循环卷积。下面先证明(3.2.5)式，再说明其计算方法。证明：直接对(3.2.5)式两边
8、进行DFT 令令n-m=n，则有则有本讲稿第二十页，共六十三页 因为上式中x2(n)以N为周期，所以对其在任一个周期上求和的结果不变。因此循循环环卷卷积积过过程程中中，要要求求对对x2(m)循循环环反反转转，循循环环移移位位，特特别别是是两两个个N长长的的序序理理的的循循环环卷卷积积长长度度仍仍为为N。显显然然与与一一般般的的线线性性卷积不同，故称之为卷积不同，故称之为循环卷积循环卷积循环卷积循环卷积，记为记为本讲稿第二十一页，共六十三页由于由于所以所以即即循环卷积亦满足交换律循环卷积亦满足交换律。本讲稿第二十二页，共六十三页图图3.2.2循环卷积过程示意图循环卷积过程示意图本讲稿第二十三页，
9、共六十三页 频域循环卷积定理频域循环卷积定理频域循环卷积定理频域循环卷积定理：如果 x(n)=x1(n)x2(n)则(3.2.6)X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)0kN-1本讲稿第二十四页，共六十三页 3.2.43.2.4复共轭序列的复共轭序列的复共轭序列的复共轭序列的DFTDFT 设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N X(k)=DFTx(n)则 DFTx*(n)=X*(N-k),0kN-1 (3.2.7)且 X(N)=X(0)本讲稿第二十五页，共六十三页 证明：根据DFT的唯一性，只要证明(3.2.7)式右边等于左边即可。又由又由X(k)的隐含周期性有的隐含周
10、期性有X(N)=X(0)用同样的方法可以证明用同样的方法可以证明DFTx*(N-n)=X*(k)(3.2.8)本讲稿第二十六页，共六十三页 3.2.5DFT3.2.5DFT的共轭对称性的共轭对称性的共轭对称性的共轭对称性*1.1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列，下面用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则二者满足如下定义式：xep(n)=x*ep(N-n),0nN-1 (3.2.9)xop(n)=
11、-x*op(N-n),0nN-1 (3.2.10)当当N为偶数时，将上式中的为偶数时，将上式中的n换成换成N/2-n可得到可得到本讲稿第二十七页，共六十三页 上式更清楚地说明了有限长序列共轭对称性的含义。如图3.2.3所示。图中*表示对应点为序列取共轭后的值。图图3.2.3共轭对称与共轭反对称序列示意图共轭对称与共轭反对称序列示意图本讲稿第二十八页，共六十三页 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即 x(n)=xep(n)+xop(n),0nN-1 (3.2.11)将上式中的n换成N-n，并取复共轭，再将(
12、3.2.9)式和(3.2.10)式代入得到 x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n)(3.2.12)xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n)(3.2.13)xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n)(3.2.14)本讲稿第二十九页，共六十三页 2.DFT2.DFT的共轭对称性的共轭对称性的共轭对称性的共轭对称性 (1)(1)如果如果x x(n n)=)=x xr r(n n)+)+jx jxi i(n n)其中 xr(n)=Rex(n)=1/2x(n)+x*(n)jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n)由(3.2.7)式和(3.2
13、.13)式可得 DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n)=1/2X(k)+X*(N-k)=Xep(k)本讲稿第三十页，共六十三页 由(3.2.7)式和(3.2.14)式得 DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n)=1/2X(k)-X*(N-k)=Xop(k)由DFT的线性性质即可得 X X(k k)=DFT)=DFTx x(n n)=X Xepep(k k)+)+X Xopop(k k)(3.2.16)其中 Xep(k)=DFTxr(n),X(k)的共轭对称分量 Xop(k)=DFTjxi(n),X(k)的共轭反对称分量本讲稿第三十一页，共六十三页 (2)(2)如果如果x
14、 x(n n)=)=x xepep(n n)+)+x xopop(n n)，0nN-1 (3.2.17)其中 xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n),x(n)的共轭对称分量 xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n),x(n)的共轭反对称分量 由(3.2.8)式得 DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n)=1/2X(k)+X*(k)=ReX(k)本讲稿第三十二页，共六十三页 DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n)=1/2X(k)-X*(k)=jImX(k)因此X X(k k)=DFT)=DFTx x(n n)=X XR R(k k)+)+jXjXI I
15、(k k)(3.2.18)其中XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n)jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n)本讲稿第三十三页，共六十三页设设x x(n n)是长度为是长度为N N的实序列，且的实序列，且X X(k k)=DFT)=DFTx x(n n)，则 (1)X(k)=X*(N-k)，0kN-1 (3.2.19)(2)如果 x(n)=x(N-n)则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k)(3.2.20)(3)如果x(n)=-x(N-n)，则X(k)纯虚奇对称，即X(k)=-X(N-k)(3.2.21)本讲稿第三十四页，共六十三页 利利利利用用用用DFTDFT的的的的共共共共
16、轭轭轭轭对对对对称称称称性性性性，通通通通过过过过计计计计算算算算一一一一个个个个N N点点点点DFTDFT，可可可可以以以以得得得得到到到到两两两两个个个个不不不不同同同同实实实实序序序序列列列列的的的的N N点点点点DFTDFT，设x1(n)和x2(n)为两个实序列，构成新序列x(n)如下：x(n)=x1(n)+jx2(n)对x(n)进行DFT，得到 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)由(3.2.16)式、(3.2.13)式和(3.2.14)式得到Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k)Xop(k)=DFTjx2(n)=1/2X(k)-X*(N-k)
17、所以X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k)X2(k)=DFTx2(n)=-j1/2X(k)-X*(N-k)本讲稿第三十五页，共六十三页3.3频率域采样频率域采样*设任意序列x(n)的Z变换为且且X(z)收敛域包含单位圆收敛域包含单位圆(即即x(n)存在傅里叶变换存在傅里叶变换)。在单位圆上对在单位圆上对X(z)等间隔采样等间隔采样N点得到点得到xN(n)=IDFTX(k)，0nN-1本讲稿第三十六页，共六十三页 由DFT与DFS的关系可知，X(k)是xN(n)以N为周期的周期延拓序列的离散傅里叶级数系数的主值序列，即本讲稿第三十七页，共六十三页 将式(3.3.1)代入上式
18、得式中式中为整数为整数其它其它m本讲稿第三十八页，共六十三页 如如果果序序列列x x(n n)的的长长度度为为MM，则则只只有有当当频频域域采采样样点点数数N N MM时，才有时，才有 x xN N(n n)=IDFT)=IDFTX X(k k)=x x(n n)即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。这就是所谓的频域采样定理频域采样定理频域采样定理频域采样定理。(3.3.2)(3.3.3)本讲稿第三十九页，共六十三页 下面推导用用频频域域采采样样X X(k k)表表示示X X(z z)的的内内插插公公式式和和内内插插函函数数。设序列x(n)长度为M，在频域02之间等间
19、隔采样N点，NM，则有 式中式中本讲稿第四十页，共六十三页 将上式代入X(z)的表示式中得本讲稿第四十一页，共六十三页 上式中=1，因此(3.3.4)(3.3.5)(3.3.6)本讲稿第四十二页，共六十三页 式(3.3.6)称为用X(k)表示X(z)的内内插插公公式式，k(z)称为内内插插函函数数。当当z z=e ejj时时，(3.3.5)(3.3.5)式式和和(3.3.6)(3.3.6)式式就就成成为为x x(n n)的傅里叶变换的傅里叶变换X X(e ejj)的内插函数和内插公式的内插函数和内插公式，即进一步化简可得进一步化简可得(3.3.7)(3.3.8)本讲稿第四十三页，共六十三页3.
20、4DFT的应用举例的应用举例 DFT的快速算法FFT的出现，使DFT在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。本讲稿第四十四页，共六十三页 3.4.13.4.1用用用用DFTDFT计算线性卷积计算线性卷积计算线性卷积计算线性卷积*如果0kL-1则由时域循环卷积定理有则由时域循环卷积定理有Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k),0kL-1本讲稿第四十五页，共六十三页 由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以按照图3.4.1所示的计算框图，在频域计算。由于DFT有快速算法FFT，当N很大时，在频域计算
21、的速度快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。图图3.4.1用用DFT计算循环卷积计算循环卷积本讲稿第四十六页，共六十三页 在实际应用中，为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤波处理等，需要计算两个序列的线性卷积，与计算循环卷积一样，为了提高运算速度，也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。而DFT只能直接用来计算循环卷积，为此导出线卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。假设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M。它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：(3.4.1)(3.4.2)本讲稿第四十七页，共六十三页其中，LmaxN,M，对照式对照式(3.4.
22、1)可以看出，可以看出，上式中上式中(3.4.3)式式3.4.3说明，说明，y y(n n)等于等于等于等于y yl l(n n)以以以以L L为周期的周期延拓序列的主值为周期的周期延拓序列的主值为周期的周期延拓序列的主值为周期的周期延拓序列的主值序列，即序列，即序列，即序列，即LN+M-1LN+M-1时，循环卷积等于线性卷积时，循环卷积等于线性卷积时，循环卷积等于线性卷积时，循环卷积等于线性卷积。本讲稿第四十八页，共六十三页图图3.4.2线性卷积与循环卷积线性卷积与循环卷积本讲稿第四十九页，共六十三页图图3.4.3用用DFT计算线性卷积框图计算线性卷积框图本讲稿第五十页，共六十三页 3.4.
23、23.4.2用用用用DFTDFT对信号进行谱分析对信号进行谱分析对信号进行谱分析对信号进行谱分析 所谓信信号号的的谱谱分分析析就就是是计计算算信信号号的的傅傅里里叶叶变变换换。连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。1.1.用用用用DFTDFT对连续信号进行谱分析对连续信号进行谱分析对连续信号进行谱分析对连续信号进行谱分析 工程实际中，经常遇到的连续信号xa(t)，其频谱函数Xa(j)也是连续函数。本讲稿第五十一页，共六十三页 设连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率
24、为fc，如图2.4.5所示。xa(t)的傅里叶变换为 对xa(t)以采样间隔T1/2fc(即fs=1/T2fc)采样得 x(n)=Xa(nT)。设共采样N点，并对Xa(jf)作零阶近似(t=nT,dt=T)得本讲稿第五十二页，共六十三页 显然，Xa(jf)仍是f的连续周期函数，x(n)和X(jf)如图3.4.5(b)所示。对X(jf)在区间0,fs上等间隔采样N点，采样间隔为F，如图3.4.5(c)所示。参数fs、Tp、N和F满足如下关系式：由于由于NT=Tp，所以所以(3.4.5)(3.4.6)将将f=kF和式和式(3.4.5)代入代入X(jf)中可得中可得Xa(jf)的采样的采样本讲稿第五
25、十三页，共六十三页0kN-1令令则则(3.4.8)本讲稿第五十四页，共六十三页本讲稿第五十五页，共六十三页 理想低通滤波器的单位冲击响应ha(t)及其频响函数Ha(jf)如图3.4.6(a)、(b)所示。图中图图3.4.6用用DFT计算理想低通滤波器频响曲线计算理想低通滤波器频响曲线本讲稿第五十六页，共六十三页 现在用DFT来分析ha(t)的频率响应特性。由于ha(t)的持续时间为无穷长，所以要截取一段Tp，假设Tp=8s，采样间隔T=0.25s(即采样速度fs=4Hz)，采样点数N=Tp/T=32。此时频域采样间隔F=1/NT=0.125Hz，则 H(k)=TDFTh(n),0k31 其中
26、h(n)=ha(nT)R32(n)在已知信号的最高频率fc(即谱分析范围时)，为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象，要求采样速率fs满足下式 fs2fc (3.4.9)本讲稿第五十七页，共六十三页 按照(3.4.5)式，谱分辨率F=fs/N，如果保持采样点数N不变，要提高谱的分辨率(F减小)，必须降低采样速率，采样速率的降低会引起谱分析范围减少。如维持fs不变，为提高分辨率可以增加采样点数N，因为NT=Tp，T=1/f-s，只有增加对信号的观察时间Tp，才能增加N。Tp和N可以按照下式进行选择:(3.4.10)(3.4.11)本讲稿第五十八页，共六十三页 3.3.用用用用DFTDFT进行谱分
27、析的误差问题进行谱分析的误差问题进行谱分析的误差问题进行谱分析的误差问题 DFT(实际中用FFT计算)可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。(1)混叠现象混叠现象。(2)栅栏效应栅栏效应。(3)截断效应截断效应。根据傅里叶变换的频域卷积定理有本讲稿第五十九页，共六十三页 幅度谱RN()曲线如图3.4.11所示(RN（）以2为周期，只画低频部分)。图中，|2/N的部分称为主主瓣瓣，其余部分称为旁瓣旁瓣。例如，x(n)=cos(0n),0=/4其频谱为 其中其中本讲稿第六十页，共六十三页图图3.4.11矩形窗函数的幅度谱矩形窗函数的幅度谱本讲稿第六十一页，共六十三页图图3.4.12加矩形窗前后的频谱加矩形窗前后的频谱泄漏泄漏泄漏泄漏谱间谱间谱间谱间干扰干扰干扰干扰本讲稿第六十二页，共六十三页本讲稿第六十三页，共六十三页