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1、应用空间向量解立体几何问题应用空间向量解立体几何问题zxyF1 1F2 2F3 3ACBO500kg例例1、如如图图,一一块块均均匀匀的的正正三三角角形形面面的的钢钢板板的的质质量量为为 ，在在它它的的顶顶点点处处分分别别受受力力 、，每每个个力力与与同同它它相相邻邻的的三三角角形形的的两两边边之之间间的的夹夹角角都都是是 ，且且 .这这块块钢钢板板在在这这些些力力的的作作用用下下将将会会怎怎样样运运动动？这这三三个个力力最最小小为多大时，才能提起这块钢板？为多大时，才能提起这块钢板？F F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxyF F1 1F F2 2F F3 3ACBO500
2、kgzxyF1 1F3 3F2 2F1 1F2 2F3 3ACBO500kgF1 1F3 3F2 2 空间向量的引入为代数方法处理立体几空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而时，可用定量的计算代替定性的分析，从而回避了一些严谨的推理论证。求空间角与距回避了一些严谨的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角与距离的问题。量的办法解决空间角
3、与距离的问题。建立空间直角坐标系，解立体几何题建立空间直角坐标系，解立体几何题一、常用公式：一、常用公式：1、求、求线线段的段的长长度：度：2、平行、平行3、垂直、垂直4、求、求P点到平面点到平面的距离：的距离：，（，（N为为垂足，垂足，M为为斜足，斜足，为为平面平面的法向量）的法向量）5、求直、求直线线l与平面与平面所成的角所成的角：，(为为的法向量的法向量)6、求两异面直线、求两异面直线AB与与CD的夹角：的夹角：7、求二面角的平面角、求二面角的平面角 :(为为二面角的两个面的法向量）二面角的两个面的法向量）8、求二面角的平面角、求二面角的平面角 :（射影面积法）（射影面积法）9、求法向量
4、：、求法向量：找；找；求：求：设设 为为平面平面内的任意两个向量，内的任意两个向量，为为 的法向量的法向量 则由方程组则由方程组 可求得法向量可求得法向量例一：题型一：线线角题型一：线线角异面直线异面直线AB与与CD所成角：所成角：所以：题型一：线线角题型一：线线角解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则 C|所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为例二例二：在长方体在长方体 中，中，题型一：线线角题型一：线线角两线垂直两线垂直证明：如图建立坐标系，则例二例二已知正三棱柱的各棱长都为已知正三棱柱的各棱长都为1，是底，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且，面上边的中点，是侧
5、棱上的点，且，求证：。求证：。解解1：向量解法：向量解法 设设，则由已知条件和正三棱柱的性质，则由已知条件和正三棱柱的性质，得，得你能建立直角坐标系解答本题吗？你能建立直角坐标系解答本题吗？解解2：直角坐标法：直角坐标法。取取 由由已知条件和正三棱柱的性质，得已知条件和正三棱柱的性质，得 AM BC,如图建立坐标系如图建立坐标系m-xyz。则。则 XYZG例例2 2已知正三棱柱的各棱长都为已知正三棱柱的各棱长都为1，是底，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且，面上边的中点，是侧棱上的点，且，求证：。求证：。题型二：线面角题型二：线面角在长方体在长方体 中，中，N解：如图建立坐标系A-xyz,则即
6、例三：例三：例三：例三：题型二：线面角题型二：线面角在长方体在长方体 中，中，N又又题型四：二面角题型四：二面角设平面xyz题型五：异面直线的距离题型五：异面直线的距离zxyABCC1即即取x=1,z则y=-1,z=1,所以EA1B1题型六：点面距离题型六：点面距离P点到平面点到平面的距离：的距离：，（，（N为为垂足，垂足，M为为斜足，斜足，为为平面平面的法向量）的法向量）例七：例七：如图ABC是以B为直角三角形，SA平面ABC，SA=BC=2，AB=4，M、N、D分别是SC、AB、BC的中点，（1）求证：MNAB；（2）求二面角S-ND-A的余弦值；（3）求过A且与平面SND平行的平面到平面 SND的距离ASNMBDC