材料力学09学习.pptx

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1、1 对于细长的压杆(大柔度压杆)，最终会因为弹性的侧向位移过大而丧失承载能力；对于中等细长的压杆(中等柔度压杆)则当侧向位移增大到一定程度时会在弯压组合变形下发生强度破坏(压溃)。对于实际细长压杆的上述力学行为，如果把初弯曲和材质不均匀的影响都归入偶然偏心的影响，则可利用大柔度弹性直杆受偏心压力作用这一力学模型来研究。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第1页/共80页2 图a为下端固定，上端自由的实际压杆的力学模型；为列出用来寻求Fd 关系所需挠曲线近似微分方程而计算横截面上的弯矩时,需把侧向位移考虑在内，即 M(x)=F(e+d-w)，这样得到的挠曲线近似微分方程EIz w=F(e+d-w)和积

2、分后得到的挠曲线方程便反映了大柔度杆偏心受压时侧向位移的影响。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(a)第2页/共80页3 按照这一思路求得的细长压杆在不同偏心距 e 时偏心压力F 与最大侧向位移d 的关系曲线如图b所示。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b)由图可见虽然偶然偏心的程度不同(e3e2e1)，但该细长压杆丧失承载能力时偏心压力Fcr却相同。其它杆端约束情况下细长压杆的Fd 关系曲线其特点与图b相同。第3页/共80页4抽象的细长中心受压直杆 由图b可知，当偶然偏心的偏心距e0时，细长压杆的F-d 关系曲线就逼近折线OAB，而如果把细长压杆抽象为无初弯曲，轴向压力无偏心，材料绝对均匀的理想中

3、心压杆，则它的F-d 关系曲线将是折线OAB。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第4页/共80页5 由此引出了关于压杆失稳(buckling)这一抽象的概念：当细长中心压杆上的轴向压力F小于Fcr时，杆的直线状态的平衡是稳定的；当FFcr时杆既可在直线状态下保持平衡(d0)，也可以在微弯状态下保持平衡，也就是说FFcr时理想中心压杆的直线平衡状态是不稳定的，压杆在轴向压力Fcr作用下会丧失原有的直线平衡状态，即发生失稳。Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力(critical force)。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第5页/共80页6 从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可

4、理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的一种抽象。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第6页/共80页7细长中心受压直杆失稳现象细长中心受压直杆失稳现象第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第7页/共80页8压杆的截面形式及支端约束 压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆横截面的弯曲刚度应尽可能大；图a为钢桁架桥上弦杆(压杆)的横截面，图b为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改善压杆的杆端约束条件，例如限制甚至阻止杆端转动。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第8页/共80页99-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 本节以

5、两端球形铰支(简称两端铰支)的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(a)第9页/共80页10 在图a所示微弯状态下，两端铰支压杆任意x截面的挠度(侧向位移)为w，该截面上的弯矩为M(x)=Fcrw（图b）。杆的挠曲线近似微分方程为第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b)(a)上式中负号是由于在图示坐标中，对应于正值的挠度w，挠曲线切线斜率的变化率 为负的缘故。第10页/共80页11令k2=Fcr/EI，将挠曲线近似微分方程(a)改写成该二阶常系数线性微分方程(

6、b)的通解为(b)(c)第九章第九章 压杆稳定压杆稳定此式中有未知量A和B以及隐含有Fcr的k，但现在能够利用的边界条件只有两个，即x=0，w=0 和 x=l，w=0，显然这不可能求出全部三个未知量。这种不确定性是由F=Fcr时杆可在任意微弯状态下(d可为任意微小值)保持平衡这个抽象概念所决定的。事实上，对于所研究的问题来说只要能从(c)式求出与临界力相关的未知常数k就可以了。第11页/共80页12 将边界条件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于是根据(c)式并利用边界条件x=l，w=0得到第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(c)(a)注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于零，否则(c)式将成

7、为w 0而压杆不能保持微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由此可知，欲使(c)成立，则必须sinkl=0第12页/共80页13满足此条件的kl为或即 由于 意味着临界力Fcr 0，也就是杆根本未受轴向压力，所以这不是真实情况。在kl0的解中，最小解 klp 相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定由klp有亦即第13页/共80页14从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取klp，以此代入式(c)得第九章第九章 压杆稳定压杆稳定注意到当x=l/2 时 w=d，故有 A=d。从而知，对应于klp，亦即对应

8、于Fcr=p2EI/l 2，挠曲线方程为可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。第14页/共80页15需要指出的是，尽管上面得到了A=d，但因为杆在任意微弯状态下保持平衡时d为不确定的值，故不能说未知量A已确定。事实上，在推导任何杆端约束情况的细长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未知量总是不确定的。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(a)第15页/共80页16 思考：思考：在上述推导中若取kl2p，试问相应的临界力是取klp时的多少倍？该临界力所对应的挠曲线方程和挠曲线形状又是怎样的？第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第16页/共80页179-3 不同杆端约束下细长压杆

9、临界力的不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式压杆的长度因数压杆的长度因数 现在通过二个例题来推导另一些杆端约束条件下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第17页/共80页18 例题例题9-1 试推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求压杆相应的挠曲线方程。图中xy平面为杆的弯曲刚度最小的平面，亦即杆最容易发生弯曲的平面。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第18页/共80页19 解：解：根据该压杆失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的大致形状可知，任意x横截面上的弯矩为杆的挠曲线近似微分方程则为这里，等号右边取正号是因为对应于正值的(d-w)，亦

10、为正。将上式改写为第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第19页/共80页20并令 有此微分方程的通解为从而亦有 根据边界条件x=0，w=0得Ak=0；注意到 不会等于零，故知A0，从而有wBcoskx+d。再利用边界条件x=0，w=0得B=-d。于是此压杆的挠曲线方程成为第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第20页/共80页21至此仍未得到可以确定隐含Fcr的未知量k的条件。为此，利用 x=l 时 w=d 这一关系，从而得出从式(a)可知d不可能等于零，否则w将恒等于零，故上式中只能coskl=0。满足此条件的kl的最小值为kl=p/2，亦即 从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：(b)亦即第九章第九章 压杆

11、稳定压杆稳定第21页/共80页22 以 kl=p/2 亦即 k=p/(2l)代入式(a)便得到此压杆对应于式(b)所示临界力的挠曲线方程：第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第22页/共80页23 例题例题9-2 试推导下端固定、上端铰支的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求该压杆相应的挠曲线方程。图(a)中的xy平面为杆的最小弯曲刚度平面。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(a)第23页/共80页24 解：解：1.在推导临界力公式时需要注意，在符合杆端约束条件的微弯状态下，支座处除轴向约束力外还有无横向约束力和约束力偶矩。在推导临界力公式时这是很重要的一步，如果在这一步中发生错误，那么得到的结果将必

12、定是错误的。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b)图b示出了该压杆可能的微弯状态，与此相对应，B处应有逆时针转向的约束力偶矩MB，并且根据整个杆的平衡条件MB 0可知，杆的上端必有向右的水平约束力Fy；从而亦知杆的下端有向左的水平约束力Fy。第24页/共80页252.杆的任意x截面上的弯矩为从而有挠曲线近似微分方程：上式等号右边的负号是因为对应于正值的w，为负而加的。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b)第25页/共80页26令 k2=Fcr/EI，将上式改写为亦即第九章第九章 压杆稳定压杆稳定此微分方程的通解为从而亦有式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。第26页/共80页27 对于此杆共有三个

13、边界条件。由边界条件x=0，w=0 得 A=Fy/(kFcr)。又由边界条件x=0，w=0 得 B=-Fy l/Fcr。将以上A和B的表达式代入式(a)有第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(a)再利用边界条件x=l，w=0，由上式得第27页/共80页28由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等于零，故由上式得 满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即 ，从而得到此压杆求临界力的欧拉公式：亦即第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第28页/共80页29 3.将 kl=4.49，亦即 k=4.49/l 代入式(c)即得此压杆对应于上列临界力的挠曲线方程：利用此方程还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下

14、挠曲线上的拐点在 x=0.3l 处(图b)。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b)第29页/共80页30压杆的长度因数和相当长度第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第30页/共80页31 表9-1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：式中，m 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关；m l 称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为m l 的两端铰支压杆的临界力。表9-1的图中从几何意义上标出了各种

15、杆端约束情况下的相当长度m l。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第31页/共80页32 运用欧拉公式计算临界力时需要注意：(1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Imin。(2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：xyz轴销第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第32页/共80页33对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。第九章第

16、九章 压杆稳定压杆稳定xyz轴销第33页/共80页34 思考：思考：图a，b所示细长中心压杆均与基础刚性连接，但图a所示杆的基础置于弹性地基上，图b所示杆的基础则置于刚性地基上。试问两压杆的临界力是否均为？为什么？并由此判断压杆的长度因数 m 是否可能大于2。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第34页/共80页359-4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围临界应力总图临界应力总图.欧拉公式应用范围 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限sp的情况。按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力F

17、cr作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按scrFcr/A来计算，亦即第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第35页/共80页36式中，scr称为临界应力；为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；ml/i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比(slenderness)或柔度，记作l，即 根据欧拉公式只可应用于scrsp的条件，由式(a)知该应用条件就是亦即或写作第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第36页/共80页37可见 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。对于Q235钢，按照 E206 GPa，sp 200 MPa，有 通常把llp的压杆，亦即能

18、够应用欧拉公式求临界力Fcr的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把llp的压杆，亦即不能应用欧拉公式的压杆，称为小柔度压杆。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第37页/共80页38 图中用实线示出了欧拉公式应用范围内(llp)的scr-l曲线，它是一条双曲线，称为欧拉临界力曲线，简称欧拉曲线。需要指出的是，由于实际压杆都有初弯曲，偶然偏心和材质不匀，所以从实验数据来分析，可以应用欧拉公式求临界力的最小柔度比这里算得的lp要大一些。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第38页/共80页39*.研究小柔度压杆临界力的折减弹性模量理论 工程中的绝大部分压杆为小柔度压杆，不能应用欧拉公式。研究小柔度压杆（llp

19、）临界应力的理论很多，此处介绍的折减弹性模量理论是其中之一。现先以矩形截面小柔度钢压杆在xy平面内失稳为例来探讨。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第39页/共80页40第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(a)图a所示为钢在压缩时的se 曲线。当加载过程中应力s 超过比例极限时，材料在某一应力水平下的弹性模量可应用切线模量Es；而卸载时，材料的弹性模量由卸载规律可知，它与初始加载时的弹性模量E 相同。第40页/共80页41(1)横截面上应力的变化情况 按抽象的概念，小柔度中心压杆与大柔度中心压杆一样，当F=Fcr时杆既可在直线状态下保持平衡，也可在微弯状态下保持平衡。小柔度压杆在直线状态下保持平衡时其

20、横截面上的应力是均匀的，其值为scr=Fcr/A（图b）。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b)第41页/共80页42 当压杆在此应力水平下发生微弯时，中性轴一侧(图b中 z 轴右侧)横截面上产生附加拉应力，使原有的压应力scr减小，故属于减载，附加弯曲拉应力为st=Ey/r(x)；第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b)中性轴另一侧横截面上产生附加应力，使原有的压应力scr 增大，故属于加载，附加弯曲压应力为sc=Es y/r(x)。因为EEs，故微弯时中性轴不通过横截面形心，它离左边缘的距离为h1，离右边缘的距离为h2。第42页/共80页43(2)中性轴的具体位置 根据压杆由于微弯产生的正应力在

21、横截面上不应组成合力有即应有亦即要求第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b)第43页/共80页44这就要求注意到h1+h2=h，由上式可解得第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b)第44页/共80页45(3)横截面上弯矩M(x)与曲率r(x)的关系根据 有第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b)上式中，Iz,1=bh13/3和Iz,2=bh23/3都是z轴一侧的矩形对z轴的惯性矩。第45页/共80页46由上式可得为了表达方便，用I 来表示bh3/12，于是有为将上式表达为一般弯曲问题中 的形式，引入折减弹性模量Er：第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b)第46页/共80页47于是有亦即或者说，挠曲线的近似微

22、分方程为 对于非矩形截面的小柔度压杆，其折减弹性模量可类似于上面所述的方法求得，而挠曲线方程的形式仍如式(c)所示。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(c)第47页/共80页48(4)小柔度压杆的临界力和临界应力表达式 小柔度压杆的挠曲线近似微分方程(c)与大柔度压杆的 wM(x)/EI 完全一致，可见对不同杆端约束下各种截面形状的小柔度压杆都有如下公式：临界力临界应力第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第48页/共80页49.压杆的临界应力总图 临界应力总图是指同一材料制作的压杆，其临界应力scr随柔度l 变化的关系曲线。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 在llp的部分，有欧拉公式scr p2E/l2表

23、达scrl关系；但在压杆柔度l很小时，由于该理论存在的不足，计算所得scr可能会大于材料的屈服极限ss，故取scr ss。在llp的范围内可利用折减弹性模量理论公式scr p2Er/l2表达scrl关系；第49页/共80页50此外，该理论公式中有与截面形状相关的折减弹性模量Er，故l91，故按下式计算稳定因数：从而有许可压力：第65页/共80页66 例题例题9-5 厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力F=270 kN。根据杆端约束情况，该钢柱的长度因数取为m1.3。钢柱长7 m，材料为Q235钢，强度许用应力s=170 MPa。该柱属于b类截面中心压杆。由于杆端连接

24、的需要，其同一横截面上有4个直径为d0=30 mm的钉孔。试为该钢柱选择槽钢号码。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第66页/共80页67解解：1.按稳定条件选择槽钢号码 为保证此槽钢组合截面压杆在xz平面内和xy平面内具有同样的稳定性，应根据ly=lz确定两槽钢的合理间距h。现先按压杆在xy平面内的稳定条件通过试算选择槽钢号码。假设j0.50，得到压杆的稳定许用应力为因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第67页/共80页68由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为 A=18.51 cm218.5110-4 m2，而它对z轴的惯性半径为iz=5.52 cm=55

25、.2 mm。下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱其稳定因数j 是否不小于假设的j 0.5。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 注意到此组合截面对于z 轴的惯性矩 Iz 和面积 A 都是单根槽钢的两倍，故组合截面的iz 值就等于单根槽钢的iz 值。于是有该组合截面压杆的柔度：第68页/共80页69由表9-3查得，Q235钢b类截面中心压杆相应的稳定因数为j0.262。显然，前面假设的j0.5这个值过大，需重新假设j 值再来试算；重新假设的j 值大致上取以前面假设的j0.5和所得的j0.262的平均值为基础稍偏于所得j 的值。重新假设j0.35，于是有第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第69页/共8

26、0页70试选16号槽钢，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，从而有组合截面压杆的柔度：第九章第九章 压杆稳定压杆稳定由表9-3得j=0.311，它略小于假设的j0.35。现按采用2根16号槽钢的组合截面柱而j0.311进行稳定性校核。此时稳定许用应力为按横截面毛面积算得的工作应力为第70页/共80页71虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超过1.5，这是允许的。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定2.计算钢柱两槽钢的合理间距 由于认为此钢柱的杆端约束在各纵向平面内相同，故要求组合截面的柔度ly=lz。根据 可知，也就是要求组合截面的惯性矩Iy=Iz。第71页/共80页72如果z0，I

27、y0，Iz0，A0分别代表单根槽钢的形心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则IyIz的条件可表达为亦即第九章第九章 压杆稳定压杆稳定消去公因子2A0后有在选用16号槽钢的情况下，上式为第72页/共80页73由此求得 h81.4 mm。实际采用的间距h不应小于此值。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定3.按钢柱的净横截面积校核强度钢柱的净横截面积为按净面积算得的用于强度计算的工作应力为它小于强度许用应力s=170 MPa，满足强度条件。第73页/共80页74 例题例题9-6 机械中的工字形截面连杆，两端为柱形铰，从而该连杆如在xy平面内失稳，可取长度因数mz=1.0；如在xz平面内失稳，则可取my

28、=0.6。已知：连杆由Q235钢锻造成型，它属于a类截面中心压杆。该连杆承受的最大轴向压力为F=35 kN，材料的强度许用应力s=206 MPa。试校核其稳定性。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第74页/共80页75解：解：1.工字形截面面积A和形心主惯性矩Iz，Iy第九章第九章 压杆稳定压杆稳定z第75页/共80页762.横截面对z轴和对y轴的惯性半径iz，iy3.连杆的柔度连杆两端在局部为矩形截面，它的形心主惯性矩为分别比工字形截面的 Iz 和 Iy 大了15.5和126，Iy远大于Iy。第76页/共80页77第九章第九章 压杆稳定压杆稳定这就表明两端的矩形截面部分对中间工字形截面部分在xz平面内的弯曲位移起到明显的约束作用，故在按工字形截面的Iy检算在xz平面内的稳定性时取l2=580 mm作为连杆的长度。于是有第77页/共80页784.连杆的稳定性校核 按较大的柔度值ly68.9由Q235钢a类截面压杆的jl表(见教材308页表9-2)，以内插法求得第九章第九章 压杆稳定压杆稳定从而得稳定许用应力：而连杆横截面上的工作应力为因s s st，故满足稳定性要求。第第册完册完第78页/共80页79第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第79页/共80页80感谢您的观看。第80页/共80页