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1、现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目第二章第二章 优化设计优化设计Optimization Design现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目本章主要内容本章主要内容 优化设计的基本概念与数学模型优化设计的基本概念与数学模型 优化问题的极值条件与数值迭代法优化问题的极值条件与数值迭代法 一维搜索方法一维搜索方法 无约束优化方
2、法无约束优化方法 约束优化方法约束优化方法 多目标优化方法与离散变量优化问题多目标优化方法与离散变量优化问题 现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.1 2.1 优化设计的基本概念与数学模型优化设计的基本概念与数学模型引例引例【例【例1 1】有一边长为有一边长为6m6m的正的正方形钢板，四角各截去一个方形钢板，四角各截去一个小的方块，加工成盒子，试小的方块，加工成盒子，试确定截去的四个小方块的边确定截去的四个小方块的边长，使加工的盒子具有最大长，使加工的盒子
3、具有最大的容积。的容积。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：设截去的四个小方块的边长为解：设截去的四个小方块的边长为x x，则盒子的容积可表示成，则盒子的容积可表示成x x的的函数函数 求变量求变量x x，使函数，使函数 极大化极大化其中，其中，x x称为称为设计变量设计变量，f(x)f(x)称为目标函数。称为目标函数。由于目标函数是设计变量的一元三次函数，且没有附加的约由于目标函数是设计变量的一元三次函数，且没有附加的约束条件，因此该问题属于一元非线性
4、无约束优化设计问题。束条件，因此该问题属于一元非线性无约束优化设计问题。该设计问题的最优解为该设计问题的最优解为 现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目【例【例2 2】某工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品所需某工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润以及能够提供的材料、的材料、工时、电力和可获得的利润以及能够提供的材料、工时和电力见表工时和电力见表1 1。试确定两种产品每天的产量，以使每天。试确定两种产品每天的产量，以使每天可
5、获得的利润最大。可获得的利润最大。产品产品材料材料/kg工时工时/h电力电力/kw.h利润利润/元元甲甲93460乙乙4105120供应量供应量360300200表表1 1 生产条件与供给数据生产条件与供给数据 现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：解：这是一个生产计划问题。归结为既满足各项生产条件，这是一个生产计划问题。归结为既满足各项生产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。又使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。设每天生产甲产品设
6、每天生产甲产品x1件，乙产品件，乙产品x2件，每天获得的利润件，每天获得的利润可用函数可用函数f(x1,x2)表示，即：表示，即：f(xf(x1 1,x,x2 2)=60=60 x x1 1+120+120 x x2 2 每天实际消耗的材料用函数每天实际消耗的材料用函数g g1 1(x(x1 1,x,x2 2)表示，即：表示，即：g g1 1(x(x1 1,x,x2 2)=9x)=9x1 1+4x+4x2 2 每天实际消耗的工时用函数每天实际消耗的工时用函数g2(xg2(x1 1,x,x2 2)表示，即：表示，即：g g2 2(x(x1 1,x,x2 2)=3x)=3x1 1+10 x+10
7、x2 2 每天实际消耗的电力用函数每天实际消耗的电力用函数g g3 3(x(x1 1,x,x2 2)表示，即：表示，即：g g3 3(x(x1 1,x,x2 2)=4x)=4x1 1+5x+5x2 2现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目求变量求变量：x1，x2设计目标函数设计目标函数：使函数：使函数f(x1,x2)=60 x1+120 x2极大化极大化约束函数为约束函数为gi(x1,x2)不等式的约束条件不等式的约束条件满足条件：满足条件：现代设计方法现代设
8、计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 由于目标函数和所有约束函数均为设计变量的线性函由于目标函数和所有约束函数均为设计变量的线性函数，因此该问题为线性约束优化问题，显然，这样的问题数，因此该问题为线性约束优化问题，显然，这样的问题无法解决直接用于极值条件求解，须借助数值算法语言来无法解决直接用于极值条件求解，须借助数值算法语言来 计算。计算。该设计问题的最优解为：该设计问题的最优解为：现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开
9、始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目一、优化设计的概念一、优化设计的概念 1.1.什么是优化设计？什么是优化设计？优化设计是将工程设计问题转化为最优化问题，利用数学优化设计是将工程设计问题转化为最优化问题，利用数学规划的方法，借助于计算机（高速度、高精度和大存储量）的规划的方法，借助于计算机（高速度、高精度和大存储量）的处理，从满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目标自处理，从满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目标自动寻找最优设计的一种设计方法。动寻找最优设计的一种设计方法。2.2.产生和发展产生和发展 机构学问题机构学问题结构运动参数优
10、化结构运动参数优化机构运动学优化设计机构运动学优化设计机械零部件和产品的优化设计机械零部件和产品的优化设计现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目3.3.典型举例典型举例 (1)(1)美国。辛格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机美国。辛格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机床主轴箱，使各轴的中心距总和比用传统设计方法所取得的结床主轴箱，使各轴的中心距总和比用传统设计方法所取得的结果减少果减少16.55%16.55%，从而体积和重量相应的减少。，从而体积和重
11、量相应的减少。(2)(2)意大利。扎罗蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机意大利。扎罗蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机变速箱等作了最佳匹配设计，显著提高了其性能。变速箱等作了最佳匹配设计，显著提高了其性能。(3)(3)中国。葛洲坝二号船闸人字门启闭机构经过优化设计，中国。葛洲坝二号船闸人字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由使驱动力矩由400t.m400t.m降为降为232t.m232t.m。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目二、优化设计的数学模型二、
12、优化设计的数学模型 优化设计的问题首先是建立数学模型，即把实际问题转化优化设计的问题首先是建立数学模型，即把实际问题转化为数学模型的形式，一般包括三个方面：为数学模型的形式，一般包括三个方面：设计变量与设计空间设计变量与设计空间、约束条件约束条件和和目标函数目标函数。1.1.设计变量与设计空间设计变量与设计空间 在机械设计中，每一个设计方案都可以用一组参数来表示，在机械设计中，每一个设计方案都可以用一组参数来表示，这些参数有几何参数和物理参数。几何参数如构件的长度、位这些参数有几何参数和物理参数。几何参数如构件的长度、位置角、构件上点的坐标等；物理参数如质量、转动惯量、力及置角、构件上点的坐标
13、等；物理参数如质量、转动惯量、力及力矩等。这些参数中，在优化设计前根据要求预先给定的，力矩等。这些参数中，在优化设计前根据要求预先给定的，称称为设计常量为设计常量。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目在优化设计中待选择的参数，也是变化的量，称为在优化设计中待选择的参数，也是变化的量，称为设计变量设计变量。设有设有n n个设计变量个设计变量 ，可用一个向量，可用一个向量X X表示。写成表示。写成式中式中 表示表示n n维空间，它包括了所有的设计变量，称为维空间
14、，它包括了所有的设计变量，称为设计设计空间空间，一个设计向量，一个设计向量X X代表着一个设计方案，它对应着代表着一个设计方案，它对应着n n维空间的维空间的一个点，其中最优设计方案用一个点，其中最优设计方案用 表示，称为表示，称为最优点或优化点最优点或优化点。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 设计变量的数目称为设计变量的数目称为维数维数，维数越多，优选方案越多，维数越多，优选方案越多，效果越好，但计算更复杂，难度增加。一般在优化设计中，效果越好，但计算
15、更复杂，难度增加。一般在优化设计中，不应过多地增加设计变量，应尽可能根据以往经验将一些不应过多地增加设计变量，应尽可能根据以往经验将一些参数确定为设计常量，而只将那些对设计指标影响比较大参数确定为设计常量，而只将那些对设计指标影响比较大的设计参数定为设计变量。的设计参数定为设计变量。另外，还要兼顾求解的精读和复杂性方面的要求。另外，还要兼顾求解的精读和复杂性方面的要求。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 设计空间中的一个设计点设计空间中的一个设计点 X X
16、 构成一个以坐标原点为起构成一个以坐标原点为起点，以点，以X X为终点的向量。两个设计点为终点的向量。两个设计点X X(1)(1)和和X X(2)(2)则构成三个向则构成三个向量，其中量，其中X X(1)(1)X X(2)(2)代表以代表以X X(2)(2)为起点，以为起点，以X X(1)(1)为终点的向量。为终点的向量。x x1 1x x2 2X X(1)(1)X X(2)(2)X X(1)(1)X X(2)(2)x x1 1x x2 2x x3 3X X(1)(1)X X(2)(2)X X(1)(1)X X(2)(2)二维设计平面二维设计平面三维设计空间三维设计空间现代设计方法现代设计方法
17、 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.2.约束条件与可行域约束条件与可行域 (1)(1)约束条件约束条件 对任何设计都有若干不同的要求和限制，将这些要求对任何设计都有若干不同的要求和限制，将这些要求和限制表示成设计变量的函数并写成一系列不等式和等式和限制表示成设计变量的函数并写成一系列不等式和等式表达式，就构成了设计的表达式，就构成了设计的约束条件约束条件简称简称约束约束。其作用是对。其作用是对设计变量设计变量 的取值加以限制。的取值加以限制。根据形式的不同：根据形式的不同：不等
18、式约束不等式约束和和等式约束等式约束 根据性质的不同：根据性质的不同：边界约束边界约束和和性能约束性能约束。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目不等式约束与等式约束的几何意义：不等式约束与等式约束的几何意义：x x1 1x x2 2g(X)=0g(X)0g(X)00 0不等式约束不等式约束h(X)=0h(X)0h(X)0 x x1 10 0 x x2 2等式约束等式约束现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能
19、开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 (2)(2)可行域可行域 任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分，一部任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分，一部分是满足约束条件的称为分是满足约束条件的称为可行域可行域，另一部分是不满足约束，另一部分是不满足约束条件的称为条件的称为非可行域非可行域，这两部分分界是，这两部分分界是 (约束方约束方程程)。在约束边界上的点称为在约束边界上的点称为边界点边界点，两个以上约束的交点，两个以上约束的交点称为称为角点角点。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始
20、对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2 2的的5 5个约束方程分别是：个约束方程分别是：其可行域是什么？其可行域是什么？现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目【例【例3 3】根据下列约束条件画出可行域。根据下列约束条件画出可行域。可行域在约束边界的可行域在约束边界的哪一边怎么确定？哪一边怎么确定？现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。
21、近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目(3(3）起作用约束）起作用约束 设设X X为设计空间中的一个点：为设计空间中的一个点：满足所有约束条件的点称为满足所有约束条件的点称为可行点可行点（内点）（内点）不满足所有约束条件的点称为不满足所有约束条件的点称为非可行点非可行点（外点）（外点）X X在某个约束边界上，则这个约束条件称为在某个约束边界上，则这个约束条件称为X X的起作的起作 用约束用约束 X X不在某个约束边界上，则这个约束条件称为不在某个约束边界上，则这个约束条件称为X X的不的不 起作用约束起作用约束现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫
22、困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目起作用约束起作用约束设计点设计点X X(k)(k)的所有起作用约束的的所有起作用约束的函数序号下标集合用函数序号下标集合用I Ik k表示，即表示，即现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目3.3.目标函数目标函数 优化设计的任务是在许多可行的方案中找出最优的方案，优化设计的任务是在许多可行的方案中找出最优的方案，所谓最优方案是在设计变量中能最好的满足所需
23、追求的某些特所谓最优方案是在设计变量中能最好的满足所需追求的某些特点的目标，而这些目标又可表达为设计变量的函数，称为点的目标，而这些目标又可表达为设计变量的函数，称为目标目标函数。函数。目目标标函函数数可可用用来来评评价价设设计计方方案案的的好好坏坏，所所以以又又称称为为评评价价函函数数。常表示为：。常表示为：现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 一般目标函数可用一般目标函数可用经济指标经济指标和和性能指标性能指标来表示。来表示。经济指标经济指标如机器的寿命
24、最长、重量最轻、体积最小、如机器的寿命最长、重量最轻、体积最小、用料最省、所需功率最小等；用料最省、所需功率最小等；性能指标性能指标主要是满足运动学与动力学的要求，如牛主要是满足运动学与动力学的要求，如牛头刨床要求刨刀在工作行程上近似等速，港口起重机要头刨床要求刨刀在工作行程上近似等速，港口起重机要求点轨迹近似直线，凸轮机构要求压力角小于许用压力求点轨迹近似直线，凸轮机构要求压力角小于许用压力角等等。角等等。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目4.4.优化设
25、计的数学模型优化设计的数学模型 一般形式：一般形式：现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 用用“max“max、min”min”表表示示极极大大、极极小小化化，用用“s.t”“s.t”表表示示“满满足足于于”，“m“m、p”p”表表示示不不等等式式约约束束与与等等式式约约束束的的个个数，则表示如下形式：数，则表示如下形式：现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作
26、高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 本本课课程程中中，所所有有的的优优化化设设计计问问题题都都是是求求目目标标函函数数的的极极小小值值。遇遇到到求求极极大大值值的的问问题题，则则先先通通过过转化变成极小值问题。转化变成极小值问题。与此同时，所有的不等式约束都采用与此同时，所有的不等式约束都采用的形式。的形式。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、优化设计的分类三、优化设计的分类 按目标函数的多少按目标函数的多少：单目标优化和多目标优化：单目标优化和多目标
27、优化 按所能求解的维数：按所能求解的维数：一维优化法一维优化法(一维搜索一维搜索)和多维优化法和多维优化法 按约束情况：按约束情况：无约束优化方法和约束优化方法无约束优化方法和约束优化方法 用数学模型表达的求优方法称为用数学模型表达的求优方法称为数学优化方法数学优化方法，包括数学，包括数学规划法和最优控制法规划法和最优控制法 按求优的途径：按求优的途径：数学迭代法、解析法、图解法数学迭代法、解析法、图解法现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目数值迭代法：数值迭
28、代法：利用已有信息及再生信息进行试探及迭代求利用已有信息及再生信息进行试探及迭代求 优方法，是目前优化设计中广泛采用的方法。优方法，是目前优化设计中广泛采用的方法。解析法：解析法：利用函数性态通过微分或变分求优；利用函数性态通过微分或变分求优；图解法：图解法：利用作图求优，主要用于不超过二维的优化问题。利用作图求优，主要用于不超过二维的优化问题。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目四、优化问题的图解法四、优化问题的图解法 1.1.等值线的概念等值线的概念 以
29、二维优化为例。以二维优化为例。设目标函数为设目标函数为 ，它的图形，它的图形是三维空间中的一个曲面。用一个平面是三维空间中的一个曲面。用一个平面z=c(z=c(常数常数)去截这个曲面，其交线是空去截这个曲面，其交线是空间中的一条曲线，在这条曲线上所有的间中的一条曲线，在这条曲线上所有的点距平面点距平面xoyxoy有同一高度，即具有相同有同一高度，即具有相同的目标函数值，称这条曲线为的目标函数值，称这条曲线为等高线。等高线。xyzo等高线等高线现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展
30、开了“精准扶贫”项目 为方便起见，往往将这条曲线投影到为方便起见，往往将这条曲线投影到xoyxoy平面，这条曲平面，这条曲线称为线称为该函数的等值线该函数的等值线，不同的常数，不同的常数c c1 1、c c2 2,所截的平面曲所截的平面曲线不同，得到不同的等值线。线不同，得到不同的等值线。oyx求优的出发点：求优的出发点：不同的圆函数值不同，越靠近中心函数不同的圆函数值不同，越靠近中心函数值越小，同心圆的中心函数值最小。值越小，同心圆的中心函数值最小。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重
31、视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2 2中目标函数的等值线中目标函数的等值线060504030201040302010现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.2.优化问题的图解法优化问题的图解法 例例2 2的图解法。的图解法。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目最优解是等值线在函数最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域值
32、下降方向上与可行域的最后一个交点。的最后一个交点。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目【例【例4 4】用图解法求解用图解法求解 现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目最优解是等值线在最优解是等值线在函数值下降方向上函数值下降方向上与可行域的最后一与可行域的最后一个交点。个交点。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计
33、优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目非线性问题的最优解要么是一个内点，要么是一个边非线性问题的最优解要么是一个内点，要么是一个边界点；界点；非线性问题的最优解如果是一个边界点，那么它必定非线性问题的最优解如果是一个边界点，那么它必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点；一个交点；线性问题的最优解必定是等值线（面）在函数值下降线性问题的最优解必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点；方向上与可行域的最后一个交点；一般情况下：一
34、般情况下：现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目【本节思考题】【本节思考题】1.1.优化设计模型的组成要素及其表示方法。优化设计模型的组成要素及其表示方法。2.2.什么是可行域？什么是等值线（面）？什么是可行域？什么是等值线（面）？3.3.通过简单优化问题的图解法分析优化问题最优解的特点。通过简单优化问题的图解法分析优化问题最优解的特点。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来
35、国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目【作业】【作业】用图解法求解：用图解法求解：1.1.2.2.现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.2 2.2 优化问题的极值条件与数值迭代法优化问题的极值条件与数值迭代法一、优化问题的数学基础一、优化问题的数学基础 1.1.方向导数方向导数 一元函数在点一元函数在点 的导数的导数 表示函数在该点的变化率。表示函数在该点的变化率。一阶导数大于一阶导数大于0 0，说明函数在这一点随，说明函数在这一点随x x的增
36、大而增大；的增大而增大；一阶导数小于一阶导数小于0 0，说明函数在这一点随，说明函数在这一点随x x的增大而下降；的增大而下降；一阶导数等于一阶导数等于0 0的点，称为函数的的点，称为函数的驻点驻点。一元函数的极值往。一元函数的极值往往在往在驻点驻点取得。取得。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目多元函数多元函数 在某点在某点 对坐标变量对坐标变量 的一阶偏导数：的一阶偏导数：现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原
37、因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 仿仿照照多多元元函函数数沿沿各各坐坐标标轴轴方方向向的的导导数数，可可以以定定义义多多元元函函数数沿沿任任意意方向方向S S的方向导数的方向导数:现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 设方向设方向S S与各坐标轴与各坐标轴 正向夹角分别为正向夹角分别为 ，则有，则有:其中，其中，为函数在点为函数在点 的的梯度梯度，为方向为方向S S上的上的单位向量单位向量，为为方向
38、余弦方向余弦。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 2.2.梯度梯度 函数在点函数在点 的梯度是由函数在该点的各个一的梯度是由函数在该点的各个一阶偏导数组成的向量，即阶偏导数组成的向量，即 现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目根据矢量代数的概念，方向导数可以写成：根据矢量代数的概念，方向导数可以写成：其中：其中：向量向量S
39、 S的模的模：向量向量 的模的模：现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目方向导数与梯度方向导数与梯度 也就是说，函数也就是说，函数在某点沿任意方向在某点沿任意方向S S的方向导数等于该点的方向导数等于该点的梯度在该方向上的的梯度在该方向上的投影。而梯度方向是投影。而梯度方向是函数在该点的方向导函数在该点的方向导数最大的方向，或者数最大的方向，或者说是函数值增长最快说是函数值增长最快的方向。的方向。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了
40、贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 梯度具有如下性质：梯度具有如下性质：1)1)函数在一点的梯度是一个函数在一点的梯度是一个向量向量。梯度的方向是该点函数。梯度的方向是该点函数值上升得最快的方向，梯度的大小就是它的模长；负梯度方值上升得最快的方向，梯度的大小就是它的模长；负梯度方向则是函数值下降得最快的方向。向则是函数值下降得最快的方向。2)2)一点的梯度方向与过该点的等值线或等值面的切线或切一点的梯度方向与过该点的等值线或等值面的切线或切面垂直，或者说是该点等值线或等值面的法线方向。面垂直，或者说是该点等值线或等值面
41、的法线方向。3)3)梯度是一点函数在某点邻域内局部形态的描述。在某点梯度是一点函数在某点邻域内局部形态的描述。在某点上升得最快的方向，离开该邻域后不一定上升得最快，甚至上升得最快的方向，离开该邻域后不一定上升得最快，甚至可能下降。可能下降。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目【例【例5 5】解：根据定义，梯度解：根据定义，梯度现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫
42、工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目梯度的模梯度的模单位梯度向量单位梯度向量现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 在设计平面在设计平面x x1 1oxox2 2内标出内标出点点(2(2，2)2)和点和点(0(0，2)2)，并将，并将此两点分别与原点相连得到此两点分别与原点相连得到向量向量 和和 。将这两。将这两个向量各自平移至点个向量各自平移至点X X(1)(1)和和X X(2)(2),所得新的向量就是点所得新的向量就是点X X(1)(1)和和X X(2
43、)(2)的梯度。的梯度。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 3.3.凸集、凸函数与凸规划凸集、凸函数与凸规划(1)(1)凸集凸集 设设D D是是n n维欧式空间维欧式空间 内的一个点集，即内的一个点集，即 ，若任意两，若任意两点点 的连线上的一切点的连线上的一切点 （），则称），则称D D为为凸集凸集。从直观上讲，凸集的内部没有空洞，边界上也没有凹陷从直观上讲，凸集的内部没有空洞，边界上也没有凹陷部分。部分。凸集的几何特征是凸集的几何特征是：其任意两点连线
44、上的一切点都位：其任意两点连线上的一切点都位于这个几何内。于这个几何内。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 (2)(2)凸函数凸函数 设设D D为为 中中的的一一个个凸凸集集，为为定定义义在在D D上上一一个个函函数数，若对若对D D内任意两个点内任意两个点 及任意及任意 ，恒有，恒有则称则称 为为凸函数凸函数。凸函数的几何意义是：点凸函数的几何意义是：点 的连线完全处在曲线或曲面的连线完全处在曲线或曲面 的上方或在的上方或在 上。上。现代设计方法现代设计
45、方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 (3)(3)凸规划凸规划 对于非线性规划对于非线性规划 若其中若其中 和和 均为凸函数（对于均为凸函数（对于 约束则约束则为凹函数），则这样的规划问题称为为凹函数），则这样的规划问题称为凸规划凸规划。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 二、优化问题的极值条件二、优化问题的极值条件 1.1.无约束问题的极
46、值条件无约束问题的极值条件 由微分理论可知，一元函数由微分理论可知，一元函数f(x)f(x)再点再点x xk k取得极值的必要条取得极值的必要条件是函数在该点的一阶导数等于零，充分条件是对应的二阶件是函数在该点的一阶导数等于零，充分条件是对应的二阶导数不等于零。即导数不等于零。即 当当 时，函数时，函数f(x)f(x)在点在点x xk k取得极小值。当取得极小值。当 时，函数在时，函数在x xk k取得极大值。极值点与极值函数记作取得极大值。极值点与极值函数记作现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫
47、工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 与此相似，多元函数与此相似，多元函数 在点在点 取得极小值的条件取得极小值的条件是：是：函数在该点的梯度为函数在该点的梯度为0 0，二阶导数矩阵为正定，二阶导数矩阵为正定，即，即 同同理理，多多元元函函数数 在在点点 取取得得极极大大值值的的条条件件是是：函数在该点的梯度为函数在该点的梯度为0 0，二阶导数矩阵为负定。，二阶导数矩阵为负定。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.2.约束问题的极值条件约束问题的极值条
48、件 约束问题的极值有多种状态：约束问题的极值有多种状态：(1)(1)极值点为可行域的内点，极值点为可行域的内点，此时目标函数的极小点也就是约束此时目标函数的极小点也就是约束问题的极小点。此时，约束条件均问题的极小点。此时，约束条件均不是起作用。不是起作用。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 (2)(2)当目标函数的极小点当目标函数的极小点在可行域外时，约束问题的极在可行域外时，约束问题的极小点是约束边界上的一点，该小点是约束边界上的一点，该点是约束边界与目
49、标函数的一点是约束边界与目标函数的一条等值线（等值面）的切点。条等值线（等值面）的切点。当极值点位于某约束边界上时，当极值点位于某约束边界上时，该约束被称为该约束被称为起作用约束起作用约束。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 (3)(3)约束问题还可能有多个极值点。约束问题还可能有多个极值点。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶
50、贫”项目1)1)等式约束的极值条件等式约束的极值条件 对于等式约束问题对于等式约束问题 由高等数学可知，可以建立拉格朗日函数由高等数学可知，可以建立拉格朗日函数 其中，其中，为拉格朗日向量。为拉格朗日向量。现代设计方法现代设计方法 第二章第二章 优化设计优化设计认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目令，令，得得 这就是等式约束问题在点这就是等式约束问题在点 取得极值的必要条件。取得极值的必要条件。上式的几何含义是：上式的几何含义是：在等式约束问题的极值点上，目标函在等式约束问题的极值点上，目标函数的负梯度等于诸约束