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1、返回返回上页上页下页下页目录目录高等数学多媒体课件牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）1/21/20231返回返回上页上页下页下页目录目录微分法微分法:积分法积分法:互逆运算互逆运算第四章第四章 不定积分不定积分（Indefinite Integrals）1/21/20232返回返回上页上页下页下页目录目录主主 要要 内内 容容第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 第二节第二节 换元积分法换元积分法第三节第三节 分分部积分法部积分法第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分第五节第五节 积分表的使用积分表的使用1/21/20233返回
2、返回上页上页下页下页目录目录第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 第四章第四章 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表（Conceptions and properties of Indefinite Integrals）三、不定积分的性质三、不定积分的性质四、小结与思考题四、小结与思考题1/21/20234返回返回上页上页下页下页目录目录一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念(Primitive Function and the Indefinite Integral)定义定义 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F(
3、x)及 f(x)满足在区间 I 上的一个原函数原函数.则称 F(x)为f(x)例如,的原函数有 问问 题题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?1/21/20235返回返回上页上页下页下页目录目录 定理定理1（原函数存在定理）（原函数存在定理）存在原函数存在原函数.(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数1/21/20236返回返回上页上页下页下页目录目录原函数都在函数族(C 为任意常数)内.证证:1)又知故即属于函数族即定理定理 2 1/21/20237返回返回上页上页下页下
4、页目录目录在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号积分号;被积函数被积函数;被积表达式被积表达式.积分变量积分变量;若则(C 为任意常数)C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢!例如例如,记作定义定义 2 1/21/20238返回返回上页上页下页下页目录目录的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线积分曲线.不定积分的几何意义不定积分的几何意义:1/21/20239返回返回上页上页下页下页目录目录二、二、基本积分表基本积分表从不定积分定义可知从不定积分定义可知:或或利用逆向思维利用逆向思维(k 为常数)1/21/202310返回返回上页上页下页下页目录目录
5、或或1/21/202311返回返回上页上页下页下页目录目录1/21/202312返回返回上页上页下页下页目录目录解解:原式 =例例2（补充题）（补充题）求解解:原式=例例1（课本（课本 例例5）求1/21/202313返回返回上页上页下页下页目录目录三、不定积分的性质三、不定积分的性质(Properties of the Indefinite Integral)推论推论:若则1/21/202314返回返回上页上页下页下页目录目录解解:原式=例例3（补充题）（补充题）求1/21/202315返回返回上页上页下页下页目录目录解解:原式=例例5（课本（课本 例例8）求解解:原式=例例4（补充题）（补
6、充题）求1/21/202316返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：1/21/202317返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表2.直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形,及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式,代数公式代数公式,积分性质积分性质1/21/202318返回返回上页上页下页下页目录目录课后练习课后练习习题习题4-1 1（偶数题）；（偶数题）；3思考与练习思考与练习1.若提示提示:1/21/202319返回返回上页上页下页下页目录目录是的原函数,则提示提示:已知2.若1/21/202320返回返回上页上页下页下页目录目录的导函数为则的一个原函数是().提示提示:已知求即B?或由题意其原函数为3.若1/21/202321返回返回上页上页下页下页目录目录提示提示:4.求下列积分求下列积分:1/21/202322返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：5.求不定积分1/21/202323返回返回上页上页下页下页目录目录求 A,B.解解:等式两边对 x 求导,得6.已知1/21/202324