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1、统计培训教材概率与统计培训教材概率与概率分布概率分布第1页，共53页，编辑于2022年，星期二一、概率基础一、概率基础-随机实验，样本空间，随机事件随机实验，样本空间，随机事件-概率：古典概率，几何概率，公理化定义概率：古典概率，几何概率，公理化定义-条件概率条件概率-随机变量随机变量-常用随机变量的分布：二项、泊松、均匀、指数、正态常用随机变量的分布：二项、泊松、均匀、指数、正态-数学期望、方差数学期望、方差第2页，共53页，编辑于2022年，星期二在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象随机现象。对随机现象进行观察和试验称为对随机现象
2、进行观察和试验称为随机试验随机试验。在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件随机事件(A、B)。在随机试验中所有可能出现的结果组成的集合称为在随机试验中所有可能出现的结果组成的集合称为样本空间样本空间(S)。集合表示：集合表示：例：抛一枚均匀骰子。事件例：抛一枚均匀骰子。事件A表示表示“大大”即即“4、5、6点点”，如果，如果结果出现结果出现5点，则事件点，则事件A发生了。发生了。1、随机实验，样本空间，随机事件随机实验，样本空间，随机事件第3页，共53页，编辑于2022年，星期二2、事件的关系与运算、事件的关系与运算事件的关系事件的关系表示
3、表示含义含义加（并）加（并）表示事件表示事件A与与B至少有一个发生至少有一个发生A B或或A+B减（差）减（差）表示事件表示事件A发生而事件发生而事件B不发生不发生A-B乘（交）乘（交）表示事件表示事件A与与B两个都发生两个都发生AB 或或 AB对立（逆）对立（逆）表示表示A的对立事件，即的对立事件，即“A不发生不发生”（AA=，A+A=S）包含与相等包含与相等表示事件表示事件A发生必要导致事件发生必要导致事件B发生发生B A或或A BA=B互不相容互不相容(互斥互斥)表示事件表示事件A与事件与事件B不能同时发生不能同时发生（即（即AB=）SABABSSSAAA-BBABB=ASSSABBA-
4、B第4页，共53页，编辑于2022年，星期二例例抛一骰子。抛一骰子。A表示表示“偶数点偶数点”，B表示表示“4，5，6”，则，则事件事件A与与B至少有一个发生为至少有一个发生为事件事件A与与B都发生都发生事件事件A发生而发生而B不发生不发生事件事件A与与B都不发生都不发生第5页，共53页，编辑于2022年，星期二事件的运算法则事件的运算法则 交换律:AB=BA AB=BA结合律:A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配律:A(BC)=ABAC A(BC)=(AB)(AC)对偶律:集合的运算法则都适用,常用的有第6页，共53页，编辑于2022年，星期二3、概率的定义概率的定义物理学家
5、吴大猷：误用概率的笑话物理学家吴大猷：误用概率的笑话 一个病人去看病，医生检查后告诉病人说他要动手术。一个病人去看病，医生检查后告诉病人说他要动手术。病人问这种手术死亡率高不高，医生说这种手术病人问这种手术死亡率高不高，医生说这种手术100个人有个人有50个要死的。稍后医生又安慰病人说，到今天已经有个要死的。稍后医生又安慰病人说，到今天已经有50人死去人死去了，所以你不用害怕。了，所以你不用害怕。第7页，共53页，编辑于2022年，星期二估计概率方法一）概率的古典定义 1、定义：古典方法是在经验事实的基础上对被考察事件 发生可能性进行符合逻辑的分析后得出该事件的概率.如果试验E满足 (1)它的
6、结果只有有限种.(2)且每种结果发生的可能性相同.(3)假如被考察事件A含有k个结果,总体事件含有n个结果。则事件A发生的概率为：P(A)=k/n第8页，共53页，编辑于2022年，星期二2、古典概率模型中事件的概率求法 试验A的结果只有有限种,即样本点是有限个:1,2,n,=12 n i,i=1,2,n是基本事件，而他们发生的概率都相等，这样 1=P()=P(12 n)=P(1)+P(2)+P(n)=n P(i),i=1,2,n P(i)=1/n i=1,2,因此若事件A包含k个基本事件，于是 P(A)=k(1/n)=k/n第9页，共53页，编辑于2022年，星期二3、古典概率模型的例子例1
7、 掷一颗均匀骰子.设:A表示所掷结果为“四点或五点”.B表示所掷结果为“偶数点”.求:P(A)和P(B)解:n=6，kA=2 P(A)=2/6=1/3 kB=3 P(B)=3/6=1/2第10页，共53页，编辑于2022年，星期二例2 货架上有外观相同的商品15件,其中12件来自产地甲,3件来自地乙.现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产地的概率.解:从15件商品中取出2商品,共有 =105 种取法,且每种取法都是等可能的.n=105令A=两件商品都来自产地甲 kA=66 令B=两件商品都来自产地乙 kB=3 而事件两件商品来自同一产地=AB,且A与B互斥。它包含基本事件数=6
8、6+3=69 所求概率=69/105=23/35第11页，共53页，编辑于2022年，星期二例例3：有外观相同的三极管6只,按其电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类.按下列两种方案抽取三极管两只,（1）每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取下一只(放回抽样).（2）每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)设A=抽到两只甲类三极管,B=抽到两只同类三极管,C=至少抽到一只甲类三极管,D=抽到两只不同类三极管.求：P(A),P(B),P(C),P(D)第12页，共53页，编辑于2022年，星期二解:（1）由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽取.第
9、一次从6只中取一只,共有6种可能的取法.第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能的取法.取两只三极管共有66=36种可能的取法.注意:这种分析方法使用的是中学学过的 乘法原理第13页，共53页，编辑于2022年，星期二即n=36且每个基本事件发生的可能性相同.第一次取一只甲类三极管共有4种可能的取法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可能的取法.取两只甲类三极管共有44=16种可能的取法,即：kA=16 P(A)=16/36=4/9 令E=抽到两只乙类三极管,kE=22=4 P(E)=4/36=1/9 而C是E的对立事件，P(C)=1-P(E)=8/9；B=AE,且A与E互斥，P(B)=P(A
10、)+P(E)=5/9；D是B的对立事件,P(D)=1-P(B)=4/9第14页，共53页，编辑于2022年，星期二（2）由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法,第二次是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法.由乘法原理取两只三极管共有n=65=30种可能的取法.再由乘法原理:kA=43=12 P(A)=12/30=2/5 kE=21=2 P(E)=2/30=1/15 C是E的对立事件,P(C)=1-P(E)=14/15 B=AE,且A与E互斥 P(B)=P(A)+P(E)=7/15 D是B的对立事件,P(D)=1-P(B)=8/15第15页，共53页，编辑于20
11、22年，星期二例4：设N件产品中有K件是次品,N-K件是正品,KProbability DistributionsBinomial function(n=10,p=0.16)第33页，共53页，编辑于2022年，星期二近视人数 概率10.33314520.28555330.14504340.04834850.01105160.00175470.00019180.00001490.000001100.000000第34页，共53页，编辑于2022年，星期二l超几何分布（超几何分布（Hypergeometric）N个元素分成两类，有N1 个属于第一类，有N2 个属于第二类。从中不重复抽取 n 个，
12、令 X 表示这 n 个元素中属于第一类的个数，则 X 的分布称为超几何分布。第35页，共53页，编辑于2022年，星期二l泊松分布（泊松分布（Poisson）泊松是十九世纪法国著名数学家，是泊松是十九世纪法国著名数学家，是“一个熟谙在行事处世方面不失高贵风度的人一个熟谙在行事处世方面不失高贵风度的人”。泊松分。泊松分布最初只是作为二项分布的近似来使用，后来逐渐成为一种重要的概率模型，被誉为布最初只是作为二项分布的近似来使用，后来逐渐成为一种重要的概率模型，被誉为随机现象的随机现象的“基本粒子基本粒子”。观察如下现象：观察如下现象：-单位时间内走进候车室的人数单位时间内走进候车室的人数-单位时间
13、内打进的电话数单位时间内打进的电话数-某段时间内机场降落的飞机数某段时间内机场降落的飞机数-单位时间内细胞分裂的个数单位时间内细胞分裂的个数-某段时间内发生车祸的次数某段时间内发生车祸的次数-每个产品发现的疵瑕数每个产品发现的疵瑕数第36页，共53页，编辑于2022年，星期二 (x=0,1,2.,&0)数学期望和方差都是数学期望和方差都是 。泊松分布（泊松分布（Poisson）第37页，共53页，编辑于2022年，星期二泊松分布（泊松分布（Poisson）泊松分布表：一般教科书都列出泊松分布的概率：泊松分布表：一般教科书都列出泊松分布的概率：当当 n 很大时，二项分布的概率将很难计算。很大时，
14、二项分布的概率将很难计算。泊松定理：当泊松定理：当 n 很大，很大，p 很小时，二项分布可用泊松分布来近似，即很小时，二项分布可用泊松分布来近似，即 其中其中第38页，共53页，编辑于2022年，星期二例例1：历史资料显示，某市每月有历史资料显示，某市每月有5人自杀。问下个月自杀人自杀。问下个月自杀 人数小于人数小于3人的概率？人的概率？因均值因均值 =5P(小于小于3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=第39页，共53页，编辑于2022年，星期二 例2：某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每辆出租车出现故障的 概率为0.02,求:一天内没有出租车出现故障的概率.解：解：将观察一
15、辆车一天内是否出现故障看成一次试验E.因为每辆车是否出现故障与其它车无关,于是观察400辆出租车是否出现故障就是做400次伯努利试验,设X表示一天内出现故障的出租车数,则:X B(400,0.02).令=np=4000.02=8 于是:P一天内没有出租车出现故障=PX=0 =b(0;400,0.02)(80/0!)e-8=0.0003355第40页，共53页，编辑于2022年，星期二分布分布近似分布近似分布条件条件超几何分布超几何分布二项式分布二项式分布10n总体数量总体数量二项式分布二项式分布泊松分布泊松分布n 20且且p 0.05；或或n 100，只要，只要np 10二项式分布二项式分布N
16、=样本大小样本大小p是比例是比例正态分布正态分布（即失效部件的比率）（即失效部件的比率）Np和和n（1-p）小于）小于5分布的近似分布的近似第41页，共53页，编辑于2022年，星期二连续型随机变量连续型随机变量均匀分布均匀分布(Uniform Distribution)正态分布正态分布(Normal Distribution)指数分布指数分布(Exponential Distribution）第42页，共53页，编辑于2022年，星期二连续型随机变量：密度函数连续型随机变量：密度函数第43页，共53页，编辑于2022年，星期二均匀分布（均匀分布（Uniform Distribution）均匀
17、分布的概率密度函数是均匀分布的概率密度函数是 abxf(x)1/(b-a)00，其他例题：设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900-1100欧姆之间。求R的概率密度及落在950-1050欧姆之间的概率。第44页，共53页，编辑于2022年，星期二正态分布（正态分布（Normal Distribution）第45页，共53页，编辑于2022年，星期二总体均值总体均值 总体方差总体方差如果如果 =0,2=1，则称为标准正态分布，则称为标准正态分布 ，常记为，常记为 Z。设设 X 服从参数为服从参数为 ,2 的正态分布，则它可通过如下变换化为的正态分布，则它可通过如下变换化为标准正态分布标准正态分
18、布 概率密度概率密度分布函数分布函数数学期望数学期望方差方差正态的标准化正态的标准化第46页，共53页，编辑于2022年，星期二特性特性第47页，共53页，编辑于2022年，星期二(1)利用标准正态分布表求如下概率：利用标准正态分布表求如下概率：(a)P(Z 1.25)=1-0.8944=0.1056(b)P(Z 1.25)或或 P(Z -0.85)=0.1056+0.1977=0.3033(d)P(-0.85 Z 1.25)=1-0.1056 0.1977=0.6967(2)利用利用Z 变换的练习：变换的练习：美国成年男性的平均身高为美国成年男性的平均身高为70英寸，标准差为英寸，标准差为2
19、英寸，求：英寸，求：(a)P(X72)=(b)P(73 X 75)其余作为练习。其余作为练习。(c)P(X 66)(d)P(X 74)第48页，共53页，编辑于2022年，星期二正态概率图（正态概率图（Normal Probability Plots）正态概率图可用于检验数据是否为正态分布正态概率图可用于检验数据是否为正态分布 如果正态概率图近似于一条直线，则可认为是正态分布。如果正态概率图近似于一条直线，则可认为是正态分布。正态概率图可由正态概率图可由 Minitab 容易地得到：容易地得到：打开数据文件打开数据文件 Distskew.mtw 选择选择:Graph Probability P
20、lot (或或)Stat Basic Stats Normality Test 第49页，共53页，编辑于2022年，星期二第50页，共53页，编辑于2022年，星期二随机服务系统的服务时间，消耗性产品（如电子元件）的寿命等，随机服务系统的服务时间，消耗性产品（如电子元件）的寿命等，都通常假定为指数分布。都通常假定为指数分布。假设产品的失效率为假设产品的失效率为，则参数为则参数为 的指数分布的密度函数为的指数分布的密度函数为指数分布的均值为指数分布的均值为 1/，方差为，方差为1/2产品在产品在 t 时间失效的分布函数为时间失效的分布函数为产品的可靠度为产品的可靠度为指数分布（指数分布（Exp
21、onential Distribution）当x0=0 当x0第51页，共53页，编辑于2022年，星期二例例某元件的寿命服从指数分布，其平均寿命为某元件的寿命服从指数分布，其平均寿命为1000小时。小时。问问3个这样个这样的元件使用的元件使用1000小时后都没有损坏的概率是多少？小时后都没有损坏的概率是多少？解：一个元件使用解：一个元件使用1000小时都不坏的概率小时都不坏的概率 3个这样的元件使用个这样的元件使用1000小时后都没有损坏的概率是小时后都没有损坏的概率是第52页，共53页，编辑于2022年，星期二分布或流程分布或流程应用应用举例举例正态分布正态分布可以用于描述不同的物理、机械
22、、可以用于描述不同的物理、机械、电气和化学属性电气和化学属性零件尺寸、电压输出、零件尺寸、电压输出、化学成分水平化学成分水平二项式分布二项式分布可以用于描述观测值是通过或失可以用于描述观测值是通过或失效的情况效的情况零件满足或不满足规范零件满足或不满足规范标准的采样方案标准的采样方案超几何分布超几何分布与二项式分布一样；但是样本大与二项式分布一样；但是样本大小相对总体来说比较大小相对总体来说比较大从数量为从数量为100的总体中的总体中抽抽50个样本的二项式采个样本的二项式采用方案用方案指数分布指数分布用于描述使用的函数的系统的恒用于描述使用的函数的系统的恒定的失效率定的失效率MTBF或系统的恒定失或系统的恒定失效率效率泊松分布泊松分布在设计指数分布的试验时方便使在设计指数分布的试验时方便使用的分布用的分布确定是否满足确定是否满足MTBF失失效标准效标准常用分布的应用常用分布的应用第53页，共53页，编辑于2022年，星期二