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1、一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用方程两边都是整式方程两边都是整式ax+bx+c=0ax+bx+c=0（a a 0 0）只含有一个未知数只含有一个未知数求知数的最高次数是求知数的最高次数是2 2配 方 法求 根 公式法直接开平方法因 式 分解法二次项系数为二次项系数为1，而一次项系数为偶数，而一次项系数为偶数第1页/共39页明辨是非明辨是非判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二次方程，请说明理由？次方程，请说明理由？1、(x1)、x22x=8、xy
2、+5、xx6、ax2+bx+c3、x2+第2页/共39页一元二次方程的一般式（a0a0）一元二次方程一元二次方程一般形式一般形式二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数常数项项 3x 3x=1=12y(y-3)=-43x-1=03x-1=03 32 2-6-6-1-14 40 02y2y2 2-6y+4=0-6y+4=0第3页/共39页2 22 2、若方程是关于x x的一元二次方程，则m m的值为 。3.3.若若x=2x=2是方程是方程x x2 2+ax-8=0+ax-8=0的解，则的解，则a=a=;2 24、写出一个根为、写出一个根为2，另一个根为，另一个根为5的一元二次方程的一元二次方
3、程。1 1、若、若 是关于是关于x x的一元二次的一元二次方程则方程则m m 。2第4页/共39页2、已知一元二次方程x2=2x的解是（）（A）0（B）2（C）0或-2（D）0或2D1、已知一元二次方程(x+1)(2x1)=0的解是（）（A）-1（B）1/2（C）-1或-2（D）-1或1/2 D第5页/共39页用适当的方法解下列方程第6页/共39页因式分解法：1.1.用因式分解法的用因式分解法的条件条件是是:方程左边能方程左边能够分解为两个因式的积够分解为两个因式的积,而右边等于而右边等于0 0的的方程方程;2.2.形如形如:ax2+bx=o(即常数即常数C=0).因式分解法的一因式分解法的一
4、般般步骤步骤:一移一移-方程的右边方程的右边=0;=0;二分二分-方程的左边因式分解方程的左边因式分解;三化三化-方程化为两个一元一次方程方程化为两个一元一次方程;四解四解-写出方程两个解写出方程两个解;第7页/共39页直接开平方法：1.1.用开平方法的用开平方法的条件条件是是:缺少一次项的缺少一次项的一元二次方程，用开平方法比较方便一元二次方程，用开平方法比较方便;2.2.形如形如:ax2+c=o (即没有一次项即没有一次项).a(x+m)2=k第8页/共39页配方法：用配方法的用配方法的条件条件是是:适应于任何一个一适应于任何一个一元二次方程，但是在没有特别要求的情元二次方程，但是在没有特
5、别要求的情况下，除了形如况下，除了形如x2+2kx+c=0 用配方法用配方法外，一般不用外，一般不用;(;(即二次项系数为即二次项系数为1 1，一次项系数是偶数。）一次项系数是偶数。）配方法的一般配方法的一般步步骤骤:一除一除-把把二次项系数二次项系数化为化为1(方程的两边同方程的两边同时除以二次项系数时除以二次项系数a)二移二移-把常数项移到方程的把常数项移到方程的右边右边;三配三配-把方程的左边配成一个把方程的左边配成一个完全平方式完全平方式;四开四开-利用利用开平方法开平方法求出原方程的两个解求出原方程的两个解.一除、二移、三配、四开、五解一除、二移、三配、四开、五解.第9页/共39页公
6、式法：用公式法的用公式法的条件条件是是:适应于任何一个一适应于任何一个一元二次方程，元二次方程，先将方程化为一般形式，先将方程化为一般形式，再求出再求出b2-4ac的值，的值，b2-4ac0则方程有则方程有实数根，实数根，b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac0，x=(-381)/(21)=(-39)/2，x_1=-6，x_2=3.第12页/共39页P25复习题复习题（3）x-7x-1=0，a=1，b=-7，c=-1，b-4ac=（-7）-41（-1）=530，x=(-（-7）53)/2=(753)/2，x_1=(7+53)
7、/2，x_2=(7-53)/2.（4）2x+3x=3，原方程化为2x+3x-3=0，a=2，b=3,b=-3,b-4ac=3-42（-3）=330，x=(-333)/(22)=(-333)/4，x_1=(-3+33)/4，x_2=(-3-33)/4.x_2=3.第13页/共39页P25复习题复习题（5）x-2x+1=25，原方程化为x-2x-24=0，因式分解，得（x-6）（x+4）=0，x-6=0或x+4=0，x_1=6，x_2=-4.（6）x（2x-5）=4x-10，原方程化为（2x-5）（x-2）=0，,2x-5=0或x-2=0，x_1=5/2，x=2.第14页/共39页P25复习题复习
8、题（7）x+5x+7=3x+11，原方程化为x+2x-4=0，a=1，b=2，c=-4，b-4ac=2-41（-4）=200，x=(-220)/(21)=(-225)/2=-15，x_1=-1+5，x_2=-1-5.（8）1-8x+16x=2-8x，原方程化为（1-4x）（-1-4x）=0，,1-4x=0或-1-4x=0，x_1=1/4，x_2=-1/4.第15页/共39页P25复习题复习题2.解：设其中一个数为（8-x），根据题意，得x（8-x）=9.75，整理，得x-8x+9.75=0，解得x_1=6.5，x_2=1.5.当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5.答：
9、这两个数是6.5和1.5.第16页/共39页P25复习题复习题3.解：设矩形的宽为xcm，则长为（x+3）cm.由矩形面积公式可得x（x+3）=4，整理，得x+3x-4=0，解得x_1=-4，整理，得x+3x-4=0，解得x_1=-4，x_2=1.因为矩形的边长是正数，所以x=-4不符合题意，舍去，所以x=1，所以x+3=1+3=4.答：矩形的长是4cm，宽是1cm.第17页/共39页P25复习题复习题4.解：设方程的两根分别为x_1，x_2.（1）x_1+x_2=5，x_1x_2=-10.（2）x_1+x_2=-7/2，x_1x_2=1/2.（3）原方程化为3x-2x-6=0，x_1+x_2
10、=2/3，x_1x_2=-2.（4）原方程化为x-4x-7=0，x_1+x_2=4，x_1x_2=-7.第18页/共39页P25复习题复习题5.解：设梯形的上底长为xcm，则下底长为（x+2）cm，高为（x-1）cm根据题意，得1/2【x+（x+2）】（x-1）=8整理，得x=9，解得x_1=3，x_2=-3.因为梯形的低边长不能为负数，所以x=-3不符合题意，舍去所以x=3，所以x+2=5，x-1=2.画出这个直角梯形如图1所示.第19页/共39页P25复习题复习题第20页/共39页P25复习题复习题6.解：设这个长方体的长为5xcm，则宽为2xcm，根据题意，得2x+7-4=0，解得x_1
11、=1/2，x_2=-4.因为长方体的棱长不能为负数，所以x=-4不合题意，舍去，所以x=1/2.所以这个长方体的长为5x=1/25=2.5（cm），宽为2x=1（cm）.画这个长方体的一个展开图如图2所示.（注意：长方体的展开图不唯一）第21页/共39页P25复习题复习题第22页/共39页P25复习题复习题7.解:设应邀请x个球队参加比赛，由题意可知（x-1）+（x-2）+3+2+1=15，即1/2x（x-1）=15，解得x_1=6，x_2=-5.因为球队的个数不能为负数，所以x=-5不符合题意，应舍去，所以x=6.答：应邀请6个球队参加比赛.第23页/共39页P25复习题复习题8.解：设与墙
12、垂直的篱笆长为xm，则与墙平行的篱笆为（20-2x）m.根据题意，得x（20-2x）=50，整理，得x-10 x+25=0，解得x_1=x_2=5，所以20-2x=10（m）.答：用20m长的篱笆围城一个长为10m，宽为5m的矩形场地.（其中一边长为10m，另两边均为5m）第24页/共39页P25复习题复习题9.解：设平均每次降息的百分率变为x，根据题意，得2.25%（1-x）=1.98%，整理，得（1-x）=0.88，解得x_1=1-0.88，x_2=1+0.88.因为降息的百分率不能大于1，所以x=1+0.88不合题意，舍去，所以x=1-0.880.0619=6.19%.答：平均每次降息的
13、百分率约是6.19%.第25页/共39页P25复习题复习题10.解：设人均收入的年平均增长率为x，由题意可知12000（x+1）=14520，解这个方程，得x+1=(1.21，)x=1.21-1或x=-1.21-1，又x=-1.21-1不合题意，舍去，x=（1.21-1）100%=10%.答：人均收入的年平均增长率是10%.第26页/共39页P25复习题复习题11.解：设矩形的一边长为xcm，则与其相邻的一边长为（20-x）cm，由题意得x（20-x）=75，整理，得x-20 x+75=0，解得x_1=5，x_2=15，从而可知矩形的一边长15cm，与其相邻的一边长为5cm.当面积为101cm
14、时，可列方程x（20-x）=101，即x-20 x+101=0.=-40，次方程无解，不能围成面积为101cm的矩形.第27页/共39页P25复习题复习题12.解：设花坛中甬道的宽为xm.梯形的中位线长为1/2（100+180）=140（m），根据题意，得1/2（100+180）801/6=80 x2+140 x-2x，整理，得3x-450 x+2800=0，解得x_1=(450+168900)/6=75+5/31689，x_2=(450-168900)/6=75-5/31689.因为x=75+5/31689不符合题意，舍去，所以x=75-5/316896.50（m）.故甬道的宽度约为6.50
15、m.第28页/共39页P25复习题复习题13.解：（1）5/4=1.25（m/s），所以平均每秒小球的滚动速度减少1.25m/s.（2）设小球滚动5m用了xs.(5+（5-1.25x）)/2x=5，即x-8x+8=0，解得x_1=4+22（舍），x_2=4-221.2.答：小球滚动5m约用了1.2s.第29页/共39页选择适当的方法解下列方程选择适当的方法解下列方程（5 5）x x（2x-72x-7）=2x=2x（8 8）2x2x-3x-1=0-3x-1=0(9)(x-1)(x+1)=x(10)x(2x+5)=2(2x+5)(11)(2x1)2=4(x+3)2(12)3(x-2)29=0第30
16、页/共39页 已知方程x x2 2+kx=-3+kx=-3 的一个根是-1-1，则k=k=,另一根为_ _ 4 4x=-3x=-3第31页/共39页6若若a为方程为方程的解，则的解，则的值的值为为第32页/共39页 构造一个一元二次方程，要求：（1）常数项为零（2）有一根为2。第33页/共39页解方程：第34页/共39页 m取什么值时，方程取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有有两个相等的实数解两个相等的实数解第35页/共39页已知已知m m为非负整数，且关于为非负整数，且关于x x的一元二次方程的一元二次方程 ：有两个实数根，求有两个实数根，求m m的值。的值。说明：当二次项
17、系数也含有待定的字母时，要注意说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为二次项系数不能为0 0，还要注意题目中待定字母的取，还要注意题目中待定字母的取值范围值范围.解得：解得：解：解：方程有两个实数根方程有两个实数根m为非负数m=0或m=1且且m为非负整数为非负整数第36页/共39页你说我说大家说：你说我说大家说：通过今天的学习你有什通过今天的学习你有什么收获或感受？么收获或感受？第37页/共39页一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用方程两边都是整式方程两边都是整式ax+bx+c=0ax+bx+c=0（a a 0 0）只含有一个未知数只含有一个未知数求知数的最高次数是求知数的最高次数是2 2配 方 法求 根 公式法直接开平方法因 式 分解法二次项系数为二次项系数为1，而一次项系数为偶数，而一次项系数为偶数第38页/共39页谢谢您的观看！第39页/共39页