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1、 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第三章 资料的统计描述 1.正确理解各种平均数、方差、标准差、变异系数等统计量的概念和性质；2.掌握上述各统计量的计算方法。教学目标：第一节第一节 平均数平均数 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：
2、算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数（arithmetic meanarithmetic mean）中位数中位数中位数中位数 （medianmedian）众数众数众数众数 （modemode）几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数（geometric meangeometric mean）调和平均数调和平均数调和平均数调和平均数（harmonic meanharmonic mean）1.资料的代表数2.表示各种技术措施的效果3.表示畜禽的生产性能4.进行变量间的相互比较其作用主要体现在：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 一、算术平均数一、算术平均数一、算术平均数一、算术
3、平均数 算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个是指资料中各观测值的总和除以观测值个是指资料中各观测值的总和除以观测值个是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称数所得的商，简称数所得的商，简称数所得的商，简称平均数或均数平均数或均数平均数或均数平均数或均数，记为，记为，记为，记为 、等等等等 。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。或加权法计算。或加权法计算。或加权法计算。(一一一一)直接
4、法直接法直接法直接法主要用于样本含量主要用于样本含量主要用于样本含量主要用于样本含量n n30303030、未经分组资料平均数的计算。、未经分组资料平均数的计算。、未经分组资料平均数的计算。、未经分组资料平均数的计算。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 设某一资料包含设某一资料包含设某一资料包含设某一资料包含n n个观测值：个观测值：个观测值：个观测值：x x1 1、x x2 2、x xn n，则样本平均数可通过下式计算：则样本平均数可通过下式计算：则样本平均数可通过下式计算：则样本平均数可通过下式计算：（3-13-13-13-1）其中，其中，其中，其中，为总和符号；为总和符号
5、；为总和符号；为总和符号；表示从第一个观测值表示从第一个观测值表示从第一个观测值表示从第一个观测值x x1 1累累累累加到第加到第加到第加到第n n个观测值个观测值个观测值个观测值x xn n。当其在意义上已明确时，可简写为。当其在意义上已明确时，可简写为。当其在意义上已明确时，可简写为。当其在意义上已明确时，可简写为 ，（，（，（，（3-13-13-13-1）式可改写为：）式可改写为：）式可改写为：）式可改写为：下一张 主 页 退 出 上一张 【例【例【例【例3.13.13.13.1】某种公牛站测得某种公牛站测得某种公牛站测得某种公牛站测得10101010头成年公牛的体重分别为头成年公牛的体
6、重分别为头成年公牛的体重分别为头成年公牛的体重分别为500500500500、520520520520、535535535535、560560560560、585585585585、600600600600、480480480480、510510510510、505505505505、490490490490（kgkg），求其平均数。），求其平均数。），求其平均数。），求其平均数。由于由于由于由于 x x=500+520+535+560+58=500+520+535+560+58=500+520+535+560+58=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49
7、 +600+480+510+505+49 +600+480+510+505+49 +600+480+510+505+49 =5285 =5285 =5285 =5285，n n=10=10=10=10得：得：得：得：即即即即10101010头种公牛平均体重为头种公牛平均体重为头种公牛平均体重为头种公牛平均体重为528.5 528.5 528.5 528.5 kgkg。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张（二）加权法（二）加权法（二）加权法（二）加权法 对于样本含量对于样本含量对于样本含量对于样本含量 n n n n30 30 30 30 以上且已分组的资料，可以在次以上且已分组的
8、资料，可以在次以上且已分组的资料，可以在次以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：（3-23-23-23-2）下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 式中：式中：式中：式中：第第第第i i组的组中值；组的组中值；组的组中值；组的组中值；第第第第i i组的次数；组的次数；组的次数；组的次数；分组数。分组数。分组数。分组数。第第第第i i组的次数组的次数组的次数组的次数f fi i是权衡第是权衡第是权
9、衡第是权衡第i i组组中值组组中值组组中值组组中值x xi i在资料中所占比在资料中所占比在资料中所占比在资料中所占比重大小的数量，因此将重大小的数量，因此将重大小的数量，因此将重大小的数量，因此将f fi i i i 称为是称为是称为是称为是x xi i i i的的的的“权权权权”，加权法也，加权法也，加权法也，加权法也由此而得名。由此而得名。由此而得名。由此而得名。【例【例【例【例3.23.23.23.2】将将将将100100100100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kgkg）资料整理成次数分
10、布表如下，求其加权数平均数。）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。组别组别组组中中值值（x x）次数（次数（f f）f xf x101015153 34545202025256 61501503030353526269109104040454530301350135050505555242413201320606065658 8520520707075753 3225225合合计计10010045204520表3-1 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表 利用（利用（利用（利用（3-23-23
11、-23-2）式得：）式得：）式得：）式得：即这即这即这即这100100100100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.245.245.245.2kgkgkgkg。计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算如果样本含量不等，也应采用加权法计算如果样本含量不等，也应采用加权法计算如果样本含量不等，也应采用加权法计算(以各样本的含以各样
12、本的含以各样本的含以各样本的含量为权量为权量为权量为权)。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 【例【例【例【例3.33.33.33.3】某牛群有黑白花奶牛某牛群有黑白花奶牛某牛群有黑白花奶牛某牛群有黑白花奶牛 1500 1500 1500 1500头，其平均体重头，其平均体重头，其平均体重头，其平均体重为为为为750750750750 kgkg ，而另一牛群有黑白花奶牛，而另一牛群有黑白花奶牛，而另一牛群有黑白花奶牛，而另一牛群有黑白花奶牛1200120012001200头，平均体重为头，平均体重为头，平均体重为头，平均体重为725725725725 kgkg，如果将这两个牛群
13、混合在一起，其混合后平均体，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？重为多少？重为多少？重为多少？此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加
14、权平均数，即个牛群平均体重的加权平均数，即个牛群平均体重的加权平均数，即个牛群平均体重的加权平均数，即 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 即两个牛群混合后平均体重为即两个牛群混合后平均体重为即两个牛群混合后平均体重为即两个牛群混合后平均体重为738.89738.89738.89738.89 kgkg。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张（三）平均数的基本性质（三）平均数的基本性质（三）平均数的基本性质（三）平均数的基本性质 1 1 1 1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即、样本各观测值与平均数之差的和为零，即、样本各观测值与平均数之差的和为零，即、样本各观测
15、值与平均数之差的和为零，即离均离均离均离均差之和等于零差之和等于零差之和等于零差之和等于零。可简写成：可简写成：可简写成：可简写成：或 2 2 2 2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小离均差平方和为最小离均差平方和为最小离均差平方和为最小。对于总体而言，通常用对于总体而言，通常用对于总体而言，通常用对于总体而言，通常用 表示总体平均数，有限总体的表示总体平均数，有限总体的表示总体平均数，有限总体的表示总体平均数，有限总体的平均数为：平均
16、数为：平均数为：平均数为：（3-33-33-33-3）式中，式中，式中，式中，N N表示总体所包含的个体数。表示总体所包含的个体数。表示总体所包含的个体数。表示总体所包含的个体数。当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的称此统计量为该总体参数的称此统计量为该总体参数的称此统计量为该总体参数的无偏估计量无偏估计量无偏估计量无偏估计量。统计学中常用样本平均数（统计学中常用样本平均数（统计学中常用样本平均数（统计学中常用样本平
17、均数（）作为总体平均数（）作为总体平均数（）作为总体平均数（）作为总体平均数（）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数的无偏估计量。的无偏估计量。的无偏估计量。的无偏估计量。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的称此统计量为该总体参数的称此统计量为
18、该总体参数的称此统计量为该总体参数的无偏估计量无偏估计量无偏估计量无偏估计量。统计学中常用样本平均数（统计学中常用样本平均数（统计学中常用样本平均数（统计学中常用样本平均数（）作为总体平均数（）作为总体平均数（）作为总体平均数（）作为总体平均数（）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数 的无偏估计量。的无偏估计量。的无偏估计量。的无偏估计量。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 二、中位数二、中位数二、中位数二、中位数 将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于
19、中将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测值称为间的那个观测值称为间的那个观测值称为间的那个观测值称为中位数中位数中位数中位数（median），记为记为记为记为MMd d。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，平均
20、数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。中位数的代表性优于算术平均数。中位数的代表性优于算术平均数。中位数的代表性优于算术平均数。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。1 1 1 1、当观测值个数、当观测值个数、当观测值个数、当观测值个数n n为奇数时，为奇数时，为奇数时，为奇数时，(n+n+1)1)/2/2位置的观测位置的观测位置的观测位置的观测值，即值，即值，即值，即x x(n+(n+1 1)/2)/2为中位数：为中位数：为中
21、位数：为中位数：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张（一）未分组资料中位数的计算方法（一）未分组资料中位数的计算方法（一）未分组资料中位数的计算方法（一）未分组资料中位数的计算方法 对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列。对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列。对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列。对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列。2 2 2 2、当观测值个数为当观测值个数为当观测值个数为当观测值个数为 偶偶偶偶 数数数数 时时时时 ，n/2 n/2 n/2 n/2和和和和（n/2+1n/2+1n/2+1n/2+1）位置的两个观测值之和的）位置的两
22、个观测值之和的）位置的两个观测值之和的）位置的两个观测值之和的1/21/21/21/2为中位数，即：为中位数，即：为中位数，即：为中位数，即：（3-43-43-43-4）【例【例【例【例3.43.43.43.4】观察得观察得观察得观察得9 9 9 9只西农莎能奶山羊的妊娠天数为：只西农莎能奶山羊的妊娠天数为：只西农莎能奶山羊的妊娠天数为：只西农莎能奶山羊的妊娠天数为：144 144 144 144、145 145 145 145、147 147 147 147、149 149 149 149、150150150150、151151151151、153153153153、156156156156
23、、157157157157，求，求，求，求其中位数。其中位数。其中位数。其中位数。此例此例此例此例 n n=9=9，为奇数，则：，为奇数，则：，为奇数，则：，为奇数，则：即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为150150150150天。天。天。天。(d)下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 【例【例【例【例3.53.53.53.5】某犬场发生犬瘟热，观察得某犬场发生犬瘟热，观察得某犬场发生犬瘟热，观察得某犬场发生犬瘟热，观察得10101010只仔犬发现症只仔犬发现症只仔犬发现症只仔犬
24、发现症状到死亡分别为状到死亡分别为状到死亡分别为状到死亡分别为7 7 7 7、8 8 8 8、8 8 8 8、9 9 9 9、11111111、12121212、12121212、13131313、14141414、14141414天，天，天，天，求其中位数。求其中位数。求其中位数。求其中位数。此例此例此例此例n n=10=10，为偶数，则：，为偶数，则：，为偶数，则：，为偶数，则：（d）即即即即10101010只仔犬从发现症状到死亡天数的中位数为只仔犬从发现症状到死亡天数的中位数为只仔犬从发现症状到死亡天数的中位数为只仔犬从发现症状到死亡天数的中位数为11.511.511.511.5天。天。
25、天。天。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张（二）已分组资料中位数的计算方法（二）已分组资料中位数的计算方法（二）已分组资料中位数的计算方法（二）已分组资料中位数的计算方法 若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数分布表来计算中位数，其计算公式为：分布表来计算中位数，其计算公式为：分布表来计算中位数，其计算公式为：分布表来计算中位数，其计算公式为：（3-53-53-53-5）式中：式中：式中：式中：L L 中位数所在组的下限；中位数所在组的下限；
26、中位数所在组的下限；中位数所在组的下限；i i 组距；组距；组距；组距；f f 中位数所在组的次数；中位数所在组的次数；中位数所在组的次数；中位数所在组的次数；n n 总次数；总次数；总次数；总次数；c c 小于中数所在组的累加次数。小于中数所在组的累加次数。小于中数所在组的累加次数。小于中数所在组的累加次数。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 【例【例【例【例3.63.63.63.6】某奶牛场】某奶牛场】某奶牛场】某奶牛场68686868头健康母牛从分娩到第一次发情间头健康母牛从分娩到第一次发情间头健康母牛从分娩到第一次发情间头健康母牛从分娩到第一次发情间隔时间隔时间隔时间隔
27、时间 整理成次数分布表如表整理成次数分布表如表整理成次数分布表如表整理成次数分布表如表 32 32 32 32 所示，求中位数。所示，求中位数。所示，求中位数。所示，求中位数。表表表表3-2 683-2 683-2 683-2 68头母牛从分娩到第一次发情间隔时间次数分布表头母牛从分娩到第一次发情间隔时间次数分布表头母牛从分娩到第一次发情间隔时间次数分布表头母牛从分娩到第一次发情间隔时间次数分布表间间隔隔时间时间（d d）头头数（数（f f）累加累加头头数数122612261 11 1274127412 23 342564256131316165771577120203636728672861
28、61652528710187101121264641021161021162 266661171172 26868下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 由表由表由表由表3-23-23-23-2可见：可见：可见：可见：i i=15151515，n n=68=68=68=68，因而中位数只能在累，因而中位数只能在累，因而中位数只能在累，因而中位数只能在累加头数为加头数为加头数为加头数为36363636所对应的所对应的所对应的所对应的“5771577157715771”这一组，于是可确定这一组，于是可确定这一组，于是可确定这一组，于是可确定L L=57575757，f f=202020
29、20，c c=16161616，代入公式（，代入公式（，代入公式（，代入公式（3-53-53-53-5）得：）得：）得：）得：（d）即奶牛头胎分娩到第一次发情间隔时间的中位数为即奶牛头胎分娩到第一次发情间隔时间的中位数为即奶牛头胎分娩到第一次发情间隔时间的中位数为即奶牛头胎分娩到第一次发情间隔时间的中位数为70.570.570.570.5天。天。天。天。又如，由表3-1可算得其中位数为：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 三、几何平均数三、几何平均数三、几何平均数三、几何平均数 n n 个观测值相乘之积开个观测值相乘之积开个观测值相乘之积开个观测值相乘之积开 n n 次方所得的
30、方根，称为次方所得的方根，称为次方所得的方根，称为次方所得的方根，称为几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数(geometric meangeometric mean)，记为，记为，记为，记为G G。它主要应用于畜牧业、水产业的生产动态分析，畜它主要应用于畜牧业、水产业的生产动态分析，畜它主要应用于畜牧业、水产业的生产动态分析，畜它主要应用于畜牧业、水产业的生产动态分析，畜禽疾病及药物效价的统计分析。如畜禽、水产养殖的禽疾病及药物效价的统计分析。如畜禽、水产养殖的禽疾病及药物效价的统计分析。如畜禽、水产养殖的禽疾病及药物效价的统计分析。如畜禽、水产养殖的 增长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽
31、疾病的潜伏期增长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期增长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期增长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水平。等，用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水平。等，用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水平。等，用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水平。其计算公式如下：其计算公式如下：其计算公式如下：其计算公式如下：(3-6)(3-6)(3-6)(3-6)n 为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以为了计算方
32、便，可将各观测值取对数后相加除以n n n n，得，得，得，得lgGlgG，再求，再求，再求，再求lgGlgG的反对数，即得的反对数，即得的反对数，即得的反对数，即得G G值，即值，即值，即值，即(3-7)(3-7)(3-7)(3-7)【例【例【例【例3.73.73.73.7】某波尔山羊群某波尔山羊群某波尔山羊群某波尔山羊群19972000199720001997200019972000年各年度的存年各年度的存年各年度的存年各年度的存栏数见表栏数见表栏数见表栏数见表3-33-33-33-3，试求其年平均增长率。，试求其年平均增长率。，试求其年平均增长率。，试求其年平均增长率。年度年度存存栏栏数
33、（只）数（只）增增长长率（率（x x）LgxLgx19971997140140199819982002000.4290.429-0.368-0.368199919992802800.4000.400-0.398-0.398200020003503500.2500.250-0.602-0.602 lgxlgx=-1.368=-1.368表33 某波尔山羊群各年度存栏数与增长率 利用（利用（利用（利用（3-73-73-73-7）式求年平均增长率）式求年平均增长率）式求年平均增长率）式求年平均增长率 =lg=lg-1-1（-0.368-0.3980.602)/3-0.368-0.3980.602)/
34、3 =lg =lg-1-1-1.368/3-1.368/3 =lg =lg-1-1（-0.456-0.456）=0.3501=0.3501 即年平均增长率为即年平均增长率为即年平均增长率为即年平均增长率为0.35010.35010.35010.3501或或或或35.01%35.01%35.01%35.01%。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 当一组数据资料中的各观测值呈倍数关系（等比关系，几何级数）变化趋势时，用几何平均数表示其一般水平是较为合适的。下一张 主 页 退 出 上一张 四、众四、众四、众四、众 数数数数 资料中出现次数最多的那个观测值或次数最多一组资料中出现次数最
35、多的那个观测值或次数最多一组资料中出现次数最多的那个观测值或次数最多一组资料中出现次数最多的那个观测值或次数最多一组的组中值，称为的组中值，称为的组中值，称为的组中值，称为众数众数众数众数（modemode），），），），记为记为记为记为MMo o。间断性资料由于样本中的各观测值容易集中于某一个数值，所以众数易于确定。连续性资料由于在两个相邻的观测值之间，可有各种数值存在，样本中的观测值不易集中于某一个数值，众数不易确定。在连续性资料的次数分布表中，分布次数最多一组的组中值即为该样本的概约众数。但在实际统计分析过程中，由于分组不同，概约众数亦不同。可用补差法计算众数，其准确性高于众数。公式如下
36、：（3-8）为次数最多组的下限,为组距，L为次数最多组上一组的累计次数，为次数最多组下一组的累计次数。如表如表如表如表2-3 2-3 2-3 2-3 所列所列所列所列 的的的的 50 50 50 50枚受精种蛋出雏天数次数分布中，枚受精种蛋出雏天数次数分布中，枚受精种蛋出雏天数次数分布中，枚受精种蛋出雏天数次数分布中，以以以以22222222出现的次数最多，则该资料的众数为出现的次数最多，则该资料的众数为出现的次数最多，则该资料的众数为出现的次数最多，则该资料的众数为22222222天。天。天。天。又如【例又如【例又如【例又如【例3.63.63.63.6】所列出的次数分布表中，】所列出的次数分
37、布表中，】所列出的次数分布表中，】所列出的次数分布表中，5771577157715771这一这一这一这一组次数最多，其组中值为组次数最多，其组中值为组次数最多，其组中值为组次数最多，其组中值为64646464天，则该资料的众数为天，则该资料的众数为天，则该资料的众数为天，则该资料的众数为64646464天。天。天。天。再如，由表3-1可算得其概约众数为：五、调和平均数五、调和平均数五、调和平均数五、调和平均数 资料中各观测值倒数的算术平均数的倒数，称为资料中各观测值倒数的算术平均数的倒数，称为资料中各观测值倒数的算术平均数的倒数，称为资料中各观测值倒数的算术平均数的倒数，称为调调调调和平均数和
38、平均数和平均数和平均数（harmonic meanharmonic mean），），），），记为记为记为记为HH。即。即。即。即（3-93-93-93-9）调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的平均增长率调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的平均增长率调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的平均增长率调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的平均增长率或畜群不同规模的平均规模。或畜群不同规模的平均规模。或畜群不同规模的平均规模。或畜群不同规模的平均规模。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 【例【例【例【例3.83.83.83.8】某保种牛群不同世代牛群保种的规模分别某保种牛群不同世代牛群保种
39、的规模分别某保种牛群不同世代牛群保种的规模分别某保种牛群不同世代牛群保种的规模分别为：为：为：为：0 0 0 0世代世代世代世代200200200200头，头，头，头，1 1 1 1世代世代世代世代220220220220头，头，头，头，2 2 2 2世代世代世代世代210210210210头；头；头；头；3 3 3 3世代世代世代世代190190190190头，头，头，头，4 4 4 4世代世代世代世代210210210210头，试求其平均规模。头，试求其平均规模。头，试求其平均规模。头，试求其平均规模。利用（利用（利用（利用（3-93-93-93-9）式求平均规模：）式求平均规模：）式求平
40、均规模：）式求平均规模：(头头头头)即保种群平均规模为即保种群平均规模为即保种群平均规模为即保种群平均规模为208.33208.33208.33208.33头。头。头。头。一般，一般，一般，一般，对于同一资料：对于同一资料：对于同一资料：对于同一资料：算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数调和平均数。调和平均数。调和平均数。调和平均数。上述五种平均数，最常用的是算术平均数。上述五种平均数，最常用的是算术平均数。上述五种平均数，最常用的是算术平均数。上述五种平均数，最常用的是算术平均数。5 5 5 5 53 4 5 6 71 3 5 7 9 三组数据平均
41、数均为5，但代表性强弱不同。第二节 标准差下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 一、标准差的意义一、标准差的意义一、标准差的意义一、标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅用平均数对一个资料的特征中各观测值变异程度的影响。仅用平均数对一个资料的特征中各观测值变异程度的影响。仅用平均数对一个资料的特征中各观测值变异程度的影响。仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资
42、料中观测值变作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。异程度大小的统计量。异程度大小的统计量。异程度大小的统计量。全距（极差）全距（极差）全距（极差）全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最是表示资料中各观测值变异程度大小最是表示资料中各观测值变异程度大小最是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。简便的统计量。简便的统计量。简便的统计量。全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表全距只利用了资料
43、中的最大值和最小值，并不能准确表全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。计量。计量。计量。为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度
44、为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度 ，人们，人们，人们，人们首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，（的离差，（的离差，（的离差，（），称为），称为），称为），称为离均差离均差离均差离均差。虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质性质性质性质和和和和程度程度程度程度，但
45、因为离均差有正、有负但因为离均差有正、有负但因为离均差有正、有负但因为离均差有正、有负 ，离均差之和为零，因而不能用，离均差之和为零，因而不能用，离均差之和为零，因而不能用，离均差之和为零，因而不能用离均差之和离均差之和离均差之和离均差之和 来表示资料中所有观测值的总偏离程度。来表示资料中所有观测值的总偏离程度。来表示资料中所有观测值的总偏离程度。来表示资料中所有观测值的总偏离程度。为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，可先求离均差的绝对值并
46、将各离均差绝对值之和除以观测值可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值 个数个数个数个数n n求得平均绝对离差，即求得平均绝对离差，即求得平均绝对离差，即求得平均绝对离差，即 。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异度，但虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异度，但虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异度，但虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计
47、学由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采用。中未被采用。中未被采用。中未被采用。我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。有负，离均差之和为零的问题。有负，离均差之和为零的问题。有负，离均差之和为零的问题。先将各个离均差平方，即先将各个离均差平方，即先将各个离均差平方，即先将各个离均差平方，即 ，再求，再求，再求，再求离均差平方和离均
48、差平方和离均差平方和离均差平方和，即即即即 ，简称，简称，简称，简称平方和平方和平方和平方和，记为，记为，记为，记为SSSS；由于离差平方和常随样；由于离差平方和常随样；由于离差平方和常随样；由于离差平方和常随样本大小而改变，为了消除样本大小的影本大小而改变，为了消除样本大小的影本大小而改变，为了消除样本大小的影本大小而改变，为了消除样本大小的影 响，用平方和除以样响，用平方和除以样响，用平方和除以样响，用平方和除以样本大小，即本大小，即本大小，即本大小，即 ，求出离均差平方和的平均数。，求出离均差平方和的平均数。，求出离均差平方和的平均数。，求出离均差平方和的平均数。为了使所得的统计量是相应
49、总体参数的为了使所得的统计量是相应总体参数的为了使所得的统计量是相应总体参数的为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计无偏估计无偏估计无偏估计（unbiased estimateunbiased estimate）量量量量，统计学证明，在求离均差平方和，统计学证明，在求离均差平方和，统计学证明，在求离均差平方和，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量的平均数时，分母不用样本含量的平均数时，分母不用样本含量的平均数时，分母不用样本含量n n，而用自由度，而用自由度，而用自由度，而用自由度 n-n-1 1，于是，于是，于是，于是，我们采用统计量我们采用统计量我们采用统计量我们采
50、用统计量 表示资料的变异程度。表示资料的变异程度。表示资料的变异程度。表示资料的变异程度。统计量统计量统计量统计量 称为称为称为称为均方均方均方均方（mean square,mean square,缩写缩写缩写缩写为为为为MSMS）,又称又称又称又称样本方差样本方差样本方差样本方差(variance of samplevariance of sample)，记为，记为，记为，记为 ，即即即即(3-10)相应的总体参数叫相应的总体参数叫相应的总体参数叫相应的总体参数叫总体方差总体方差总体方差总体方差，记为，记为，记为，记为 。对于有限总。对于有限总。对于有限总。对于有限总体而言，的计算公式为：体