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1、12.312.3角平分线的性质角平分线的性质 2.叫做全等三角形。互相重合的角叫做互相重合的边叫做 其中：互相重合的顶点叫做 1.能够重合的两个图形叫做 。全等形全等形4.全等三角形的 和 相等对应边对应边对应角对应角对应顶点对应顶点知识回顾知识回顾 能够重合的两个三角形3.“全等”用符号“”来表示，读作对应边对应边对应角对应角5.书写全等式时要求全等于全等于字母位置对应知识回顾：知识回顾：三角形三角形 全等的条件：全等的条件：1 1）定义（重合）法；）定义（重合）法；SSSSSS；SASSAS；ASAASA；AAS.AAS.2 2）解题）解题中常用的中常用的4 4种方法种方法3）HL直角三角
2、形全等用直角三角形全等用复习提问复习提问1 1、角平分线的概念、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12下图中能表示点下图中能表示点P到直线到直线l的距离的是的距离的是线段线段PC的长的长思考：思考：复习提问复习提问 2 2、点到直线距离、点到直线距离:从直线外一点从直线外一点 到这条直线的到这条直线的垂线段垂线段的的长度长度，叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。PABO我的我的长度长度 如图如图,是一个平分角的仪器是一个平分角的仪器,其中其中AB=AD,BC=DC.将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边
3、放下,沿沿AC画一条射线画一条射线AE,AE就是角平分线就是角平分线.你能说明它的道你能说明它的道理吗理吗?经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一下吧！方法吗？小组内互相交流一下吧！探究探究1-想一想想一想证明：证明：在在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三（全等三角形的对应边相等）角形的对应边相等）AC平分平分DAB（角平分线（角平分线的定义）的定义）尺尺规作角的平分作角的平分线观观察察察察领领悟作法，探索思考
4、悟作法，探索思考悟作法，探索思考悟作法，探索思考证证明方法：明方法：明方法：明方法：A A画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求A A为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。证明证明：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中，OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC，OC=OCOC=
5、OC，OMC ONCOMC ONC（SSSSSS）MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，把以后，把它反向延长得到直线它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。ABOCD探究角平分线的性质 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角
6、三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)(2)结结论论:角角的的平平分分线线上上的的点点到到角角的的两边的距离相等两边的距离相等.已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别是，垂足分别是D，E。求证：求证：PD=PE证明：证明：PDOA，PEOB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）
7、PDO=PEO AOC=BOC OP=OP PDO PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。DP PEAOBC证明几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等你能用文字语言叙述一下发现的结论吗你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？说一说AOBPED用符号语言表示为：用符号语言表示为：1=2 1=2 PD OA PD OA，PE OBPE OBPD=PEPD=PE(角
8、角的的平分线上的点到角的两边的平分线上的点到角的两边的距离相等距离相等)推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写完全，不能必须写完全，不能少了任何一个。少了任何一个。角平分线的性质角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件：（1 1）角的平分线；）角的平分线；（2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3 3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用：证明线段相等。证明线段相等。1、如图，、如图，AD平分平分B
9、AC（已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）2、如图，、如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）3、AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已（已知）知）=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。不必再证全等不必再证全等4、如图，、如图，OC是是 AOB的平分线，的平分线，又又 _ PD=PE ()PD OA，PE OBBOACDPE
10、角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等w已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.w求证:EB=FC.BAEDCF证明：DEAB,DFAC BED=CFD=90 AD平分BAC，DE=DF【角平分角平分线上的点到两上的点到两边的距离相等的距离相等】又 在RtBDE和RtCDF中 BD=CD DE=DFRtBDERtCDF（HL）EB=FC 在在ABC中，中，C=90 ，AD为为BAC的平分线，的平分线，DE AB，BC7，DE3.求求BD的长。的长。EDCBA3.已知已知ABC中中,C=900,AD平分平
11、分 CAB,且且 BC=8,BD=5,求点求点D到到AB的距离是多少？的距离是多少？ABCDE你会吗？你会吗？如图，在如图，在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平的平分线，分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF；求证：求证：CF=EBACDEBF1、如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等ABCPMNDEF证明：过点证明：过点P作作PD AB于于D，PE BC于于E，PF AC于于F BM为为ABC的角平分线PD=PE同理同理,PE=PF.PDPE=PF即点即点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等你能得出什么结论？你
12、能得出什么结论？结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上分线上如图，如图，的的的外角的平分线与的外角的平分线与的外角的平分线相交于点的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线的求证：点到三边，所在直线的距离相等距离相等F FGH更上一层楼！更上一层楼！思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路回味无穷回味无穷w定理（文字语言）定理（文字语言）:角平分线上
13、的点角平分线上的点到这个角的两边的距离相等到这个角的两边的距离相等.w符号语言：符号语言：w1 12 PDOA,PEOB(2 PDOA,PEOB(已知）已知）PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的两边距离相等两边距离相等).).w用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.OCB1A2PDE，1 1、在、在RtABCRtABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为，垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ABCDE 2 2、如如图图,OC,OC是是AOBAOB的的平平分分线线,点点P P在在OCOC上上,PD,PD
14、 OA,PEOB,OA,PEOB,垂垂 足足 分分 别别 是是 D D、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知识应用知识应用1.1.如图，如图，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足分别是分别是E E，F F，DE=DFDE=DF，EDB=EDB=6060，则，则 EBF=EBF=度，度，BE=BE=。60BF2 2 如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么线段，那么线段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=AE+DE=。角的平分线角的平分线6cm6cm练习练习