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1、系统的稳定性第1页，共37页，编辑于2022年，星期一稳定性的概念稳定性的概念 系统稳定性，是指系统稳定性，是指系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能够逐渐而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态恢复到原来的状态，则称系统，则称系统是稳定的，或具有稳定性的。是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。系统稳定性是系统固有的一种特性，系统稳定性是系统固有的一种特性，只取决于系统结构参数只取决于系统结构参数，而与初始条件及外界作用无关。而与初始条件及外界作用无关。定 义第2
2、页，共37页，编辑于2022年，星期一李雅普诺夫稳定性对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。n 稳定：设系统的平衡工作点为稳定：设系统的平衡工作点为0，若扰动使系统偏，若扰动使系统偏离平衡工作点的初始偏差不超过离平衡工作点的初始偏差不超过 ，扰动引起的，扰动引起的输出的终态不超过允许的域输出的终态不超过允许的域 ，称为李雅普诺夫意，称为李雅普诺夫意义下的稳定。否则称系统是不稳定的，或不具有稳义下的稳定。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。定性。n 渐近稳定：系统的输出在初始偏差作用下，其渐近稳定：系统的输出在初始偏差作用下，其终态能回到原始平衡工
3、作点。终态能回到原始平衡工作点。n 大范围渐近稳定：系统在任意初始条件下都保持大范围渐近稳定：系统在任意初始条件下都保持渐近稳定。渐近稳定。李雅普诺夫定义下的稳李雅普诺夫定义下的稳定定0 线性系统的稳定性决定于系统本身固有的特性，线性系统的稳定性决定于系统本身固有的特性，与外界条件无关，决定于与外界条件无关，决定于瞬态分量是否衰减瞬态分量是否衰减。第3页，共37页，编辑于2022年，星期一稳定性的充分必要条件稳定性的充分必要条件 设线性系统在设线性系统在初始条件为零初始条件为零时，作用一个时，作用一个理想单位脉冲理想单位脉冲(t)，这时系统的输出增量为为脉冲响应，这时系统的输出增量为为脉冲响应
4、g(t)。相当于系统在扰动信。相当于系统在扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情况。号作用下输出偏离原平衡状态的情况。若若t时，脉冲响应时，脉冲响应即输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统是稳定的。即输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统是稳定的。第4页，共37页，编辑于2022年，星期一 设系统闭环传递函数设系统闭环传递函数闭环特征方程闭环特征方程 设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下闭环特征根闭环特征根 则系统脉冲响应的拉氏变换则系统脉冲响应的拉氏变换第5页，共37页，编辑于2022年，星期一得系统的脉冲响应函数得系统的脉冲响应函数(1)(
5、1)若若 为实数为实数若系统稳定若系统稳定(2)(2)若若 为复数为复数发散发散系统脉冲响应的拉氏变换系统脉冲响应的拉氏变换第6页，共37页，编辑于2022年，星期一(3)(3)若特征根为若特征根为k k个实根，个实根，r r个复数根个复数根系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根都具有负实部，或都位于根都具有负实部，或都位于s s平面的左半平面，则系平面的左半平面，则系统稳定。统稳定。说明：说明：若系统有极点位于虚轴上或原点，其余极点均位于若系统有极点位于虚轴上或原点，其余极点均位于s s平面的平面的左半平面，
6、则零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处于左半平面，则零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处于临界稳定状态临界稳定状态，属于不稳定系统。，属于不稳定系统。第7页，共37页，编辑于2022年，星期一 例例已知单位反馈系统的开环传递函数已知单位反馈系统的开环传递函数 ，试说明系统，试说明系统是否稳定。是否稳定。系统稳定系统稳定解：解：系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为特征方程特征方程特征根特征根 系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：全部特征根都具有负实部全部特征根都具有负实部。第8页，共37页，编辑于2022年，星期一系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件闭环特征方程闭环特征方程
7、若使全部特征根若使全部特征根 p1,p2,pn 均具有负实部，系统必须满足以下均具有负实部，系统必须满足以下条件：条件：n 特征方程的各项系数特征方程的各项系数 ai的符号都相同。的符号都相同。n 特征方程的各项系数特征方程的各项系数 ai0；系统稳定的必要条件：系统稳定的必要条件：特征方程的各项系数特征方程的各项系数ai 0。第9页，共37页，编辑于2022年，星期一劳斯（劳斯（Routh）稳定判据）稳定判据设系统的闭环特征方程式为如下标准形式设系统的闭环特征方程式为如下标准形式劳斯数列（劳斯表）劳斯数列（劳斯表）特点：特点：逐行计算，运逐行计算，运算中的空位置零，算中的空位置零，系数呈上三
8、角形系数呈上三角形。g g1 1=a=an n第10页，共37页，编辑于2022年，星期一线性系统稳定的充要条件 劳斯表中第一列各值为正。劳斯表中第一列各值为正。若劳斯表第一列中出现小于零的数值，若劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，等于系统特征方程具有正实部根的个次数，等于系统特征方程具有正实部根的个数。数。第11页，共37页，编辑于2022年，星期一 例例已知系统的特征方程已知系统的特征方程 ，试用试用劳斯判据判别系统的稳定性。劳斯判据判别系统的稳定性。第一列的系数第一列的系数都为正数，系都为正数，系统稳定统稳定
9、解：解：（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。条件。（2）列劳斯数列表）列劳斯数列表系统稳定的充分条件：系统稳定的充分条件：劳斯数列中第一列劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号所有元素的符号均为正号。第12页，共37页，编辑于2022年，星期一 例例已知系统的特征方程已知系统的特征方程 ，试用劳斯，试用劳斯判据判别系统的稳定性。判据判别系统的稳定性。有两个正实部有两个正实部的特征根，系的特征根，系统不稳定统不稳定解：解：（1）系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。）系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。（2）
10、列劳斯数列表）列劳斯数列表劳斯数列表中第一列各元素符号改劳斯数列表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数实部特征根的个数。第13页，共37页，编辑于2022年，星期一劳斯判据的特殊情况劳斯判据的特殊情况1、劳斯数列中某一行的第一列元素为零，但其余不为零或不全、劳斯数列中某一行的第一列元素为零，但其余不为零或不全为零为零 用一个很小的用一个很小的正数正数 来代替第一列等于零的元素，然后来代替第一列等于零的元素，然后继续计算劳斯数列中其余各个元素，最后令小正数继续计算劳斯数列中其余各个元素，最后令小正数 趋于零趋于零 ，再按照前述方法对系统
11、稳定性进行判据。，再按照前述方法对系统稳定性进行判据。第14页，共37页，编辑于2022年，星期一第一列为零第一列为零系统不稳定，有两系统不稳定，有两个根具有正实部个根具有正实部 例例已知系统的特征方程已知系统的特征方程 ，试用，试用劳斯判据判别系统的稳定性。劳斯判据判别系统的稳定性。解：解：（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。（2）列劳斯数列表）列劳斯数列表第15页，共37页，编辑于2022年，星期一2、若劳斯数列表中某一行、若劳斯数列表中某一行（设为第（设为第k行）行）的所有系数均为零，则的所有系数均为零，则说
12、明在根平面内存在一些绝对值相同，但符号相异的特征根。说明在根平面内存在一些绝对值相同，但符号相异的特征根。(3)(3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。(1)(1)用用(k-1)(k-1)行元素构成行元素构成辅助多项式辅助多项式，辅助方程的最高阶次，辅助方程的最高阶次为为(n-k+2)(n-k+2)，然后，然后s s的次数递降的次数递降2 2。(2)(2)将辅助多项式对将辅助多项式对s s求导，其系数作为全零行的元素，继续求导，其系数作为全零行的元素，继续完成劳斯表。完成劳斯表。第16页，共37页，编辑于2022年，星期一解得解得 例例系统
13、特征方程系统特征方程 ，试用劳斯，试用劳斯判据判别系统的稳定性。判据判别系统的稳定性。解：解：（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。必要条件。（2）列劳斯数列表）列劳斯数列表全零行全零行辅助多项式辅助多项式有两个共轭虚根，系统临界稳定。有两个共轭虚根，系统临界稳定。第17页，共37页，编辑于2022年，星期一 例例已知系统特征方程已知系统特征方程 ，试用劳斯判，试用劳斯判据判别系统的稳定性。据判别系统的稳定性。解：解：（2）列劳斯数列表）列劳斯数列表（1）系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。）系统特征方程的系数不满足系
14、统稳定的必要条件。辅助多项式辅助多项式 第一列元素不全为零，系统有正实第一列元素不全为零，系统有正实部特征根，系统不稳定。部特征根，系统不稳定。解得解得第18页，共37页，编辑于2022年，星期一劳斯判据的应用劳斯判据的应用n 可以判别系统是否稳定，即系统的绝对稳定性。可以判别系统是否稳定，即系统的绝对稳定性。n 可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。n 可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。的稳定性。第19页，共37页，编辑于2022年，星期一稳定裕量的检验稳定裕量的检验 令
15、令 ，即把虚轴左移，即把虚轴左移 。将上式代入系统的特征方。将上式代入系统的特征方程式，得以程式，得以 z 为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴（垂直线程式有几个根位于新虚轴（垂直线 ）的右边。）的右边。如果所有根均在新虚轴的左如果所有根均在新虚轴的左边（新劳思阵列式第一列均为正数）边（新劳思阵列式第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量，则说系统具有稳定裕量 。第20页，共37页，编辑于2022年，星期一 例例检验特征方程式检验特征方程式 ，是否有根在右半，是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线平面，并检验有几个根在直线s=-
16、1的右边。的右边。解：解：（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。要条件。（2）列劳斯数列表）列劳斯数列表劳斯数列中第一列所有元素的符号劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号均为正号，故没有根在，故没有根在s s右半平面。右半平面。第21页，共37页，编辑于2022年，星期一新的劳斯阵列表新的劳斯阵列表令令 s=z-1，代入特征方程式，得，代入特征方程式，得即：即：从表中可看出，第一列符号改变一次，从表中可看出，第一列符号改变一次，故故有一个根在直线有一个根在直线s=-1s=-1（即新坐标虚轴）（即新坐标虚轴）的右边，因此稳定
17、裕量不到的右边，因此稳定裕量不到1 1。第22页，共37页，编辑于2022年，星期一分析系统参数对稳定性的影响分析系统参数对稳定性的影响一单位反馈控制系统下图所示，求使系统稳定的一单位反馈控制系统下图所示，求使系统稳定的k的范的范围。围。系统的传递函数为系统的传递函数为特征方程特征方程系数都为正实数系数都为正实数 例例解：解：第23页，共37页，编辑于2022年，星期一列劳斯阵列表列劳斯阵列表0 0 K K 30 0 0，30-30-K K 0 0特征方程特征方程系统稳定的充分条件：系统稳定的充分条件：劳斯数列中劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号第一列所有元素的符号均为正号。即即解得解得第
18、24页，共37页，编辑于2022年，星期一乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 乃奎斯特乃奎斯特(Nyquist)(Nyquist)稳定判据稳定判据,简称奈氏判据简称奈氏判据,又又称频域法判据，是判断系统稳定性的又一重要方法。称频域法判据，是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性它是将系统的开环频率特性G(jG(j)H(j)H(j)与复变函数与复变函数F(s)=1+G(s)H(s)F(s)=1+G(s)H(s)位于位于s s平面右半部的零、极点数目平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。联系起来的一种判据。乃氏判据是一种图解法，它根据乃氏判据是一种图解法，它根据开环系统频率特性
19、开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性。频域判据使用方便，易曲线判定闭环系统的稳定性。频域判据使用方便，易于推广。于推广。第25页，共37页，编辑于2022年，星期一基本原理基本原理 幅角映射是指利用关系函数幅角映射是指利用关系函数F(s)将将s平面上的平面上的闭合曲线或轨迹映射转换到另一个平面上。闭合曲线或轨迹映射转换到另一个平面上。映射的概念映射的概念幅角原理 假设复变函数假设复变函数F(s)为单值，且除了为单值，且除了s平面平面上有限的奇点外处处上有限的奇点外处处连续，也就是说连续，也就是说F(s)在在s平面上除奇点外处处解析，那么对于平面上除奇点外处处解析，那么对于s平面上的每一个解
20、析点，在平面上的每一个解析点，在F(s)平面平面上必有一点（称为映射点）上必有一点（称为映射点）与之对应。与之对应。第26页，共37页，编辑于2022年，星期一当系统的开环传递函数为当系统的开环传递函数为 例例第27页，共37页，编辑于2022年，星期一s s和和F(s)F(s)的映射关系的映射关系 若若s平面上一封闭曲线平面上一封闭曲线Ls包围包围F(s)的的Z个零点个零点和和P个极点个极点（不（不经过经过F(s)的任何极点），则在的任何极点），则在F(s)平面上必有一对应的封闭映射曲线平面上必有一对应的封闭映射曲线LF。当复变量。当复变量s在在s平面上顺时针方向沿平面上顺时针方向沿Ls变化
21、一周时，在变化一周时，在F(s)平面上的映射曲线绕原点顺时针转过平面上的映射曲线绕原点顺时针转过N圈，即圈，即N=Z-P。N0顺时针，顺时针，N0逆时针，逆时针，N=0表示不包括表示不包括F(s)平面的原点。平面的原点。第28页，共37页，编辑于2022年，星期一复变函数复变函数F(s)的选择的选择闭环特征方程闭环特征方程开环传递函数开环传递函数闭环传递函数闭环传递函数辅助函数辅助函数特 点n F(s)的零点即为系统闭环传递函数的零点即为系统闭环传递函数(s)的极点，的极点，F(s)的极点即为开环传递函数的极点即为开环传递函数Gk(s)的极点。的极点。第29页，共37页，编辑于2022年，星期
22、一n F(s)与开环传递函数与开环传递函数G(s)H(s)只相差常量只相差常量1，F(s)的几何意义为：的几何意义为：F(s)平面的坐标原点就是平面的坐标原点就是GH平面上的平面上的(-1,j0)点。点。F(s)=1+G(s)H(s)F(s)=1+G(s)H(s)关系图关系图第30页，共37页，编辑于2022年，星期一线性定常系统稳定的充要条件：线性定常系统稳定的充要条件：闭环系统的特征方程闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=0 1+G(s)H(s)=0 的全部特征根都具有负实部的全部特征根都具有负实部，即即(s)(s)在在ss平面平面的右半平面没有极点的右半平面没有极点。F(s)在在s平
23、面的右半平面没有零点。平面的右半平面没有零点。即即 选择一条封闭曲线选择一条封闭曲线Ls包围整个包围整个s平面的右半平面，则平面的右半平面，则封闭曲线封闭曲线Ls称为称为s平面上的平面上的乃氏轨迹乃氏轨迹。s s平面的平面的NyquistNyquist轨迹轨迹 若若 F(s)=1+G(s)H(s)在在s右半平面有右半平面有Z个零点和个零点和P个极点，当个极点，当 s 沿沿s平面上的平面上的乃氏轨迹移动一周，在乃氏轨迹移动一周，在F(s)平面上的映平面上的映射曲线射曲线 LF 将顺时针包围原点将顺时针包围原点 N=Z-P 圈。圈。第31页，共37页，编辑于2022年，星期一 由于由于 F(s)-
24、1=G(s)H(s)，因此，因此，F(s)的映射曲线的映射曲线LF包围原点的圈包围原点的圈数就等于数就等于 G(s)H(s)的映射曲线的映射曲线LGH包围包围(-1,j0)点的圈数。点的圈数。闭环系统稳定的充要条件：闭环系统稳定的充要条件：F(s)F(s)在在ss平面的右半平面没有零点，平面的右半平面没有零点，即即 Z=0 Z=0。若若G(s)H(s)的乃氏轨迹的乃氏轨迹逆时针包围逆时针包围(-1,j0)点点的圈数等于其在的圈数等于其在s右半平面的极点数右半平面的极点数P，即，即 N=P，由，由N=Z-P 得出得出Z=0，闭环系统，闭环系统稳定。稳定。第32页，共37页，编辑于2022年，星期
25、一乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据1、s平面虚轴上无开环极点平面虚轴上无开环极点乃氏稳定判据 如果开环传递函数如果开环传递函数G(s)H(s)在在s右半平面上有右半平面上有P个极点个极点，当，当由由-变化到变化到+时，时，G(s)H(s)平面上的开环频率特性平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆时针包围逆时针包围(-1,j0)点点P圈圈，则闭环系统稳定；反之，闭环系统，则闭环系统稳定；反之，闭环系统就不稳定。就不稳定。或或 当当由由 0变化到变化到+时，时，G(s)H(s)平面上的开环频率平面上的开环频率特性特性G(j)H(j)逆时针包围逆时针包围(-1,j0)点点P/2 圈圈，则闭环系统稳定
26、；反，则闭环系统稳定；反之，闭环系统就不稳定。之，闭环系统就不稳定。若若 P=0，闭环系统稳定的充要条件是，闭环系统稳定的充要条件是G(j)H(j)不包围不包围(-1,j0)点。点。第33页，共37页，编辑于2022年，星期一2、s平面原点处有开环极点平面原点处有开环极点虚轴上有开环极点时的乃氏虚轴上有开环极点时的乃氏轨迹轨迹 如果有如果有个开环极点在个开环极点在s平面的原平面的原点处，则点处，则G(s)H(s)平面上的乃氏轨平面上的乃氏轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从迹将沿无穷大半径按顺时针方向从即即 当系统的开环传递函数含有当系统的开环传递函数含有个个积分环节时，需在原来的开环幅相特性曲积
27、分环节时，需在原来的开环幅相特性曲线上线上逆时针方向补加上逆时针方向补加上90虚线圆弧虚线圆弧，然后再应用乃氏稳定判据分析闭环系然后再应用乃氏稳定判据分析闭环系统的稳定性。统的稳定性。第34页，共37页，编辑于2022年，星期一 控制系统的开环幅相特性曲线入下图所示。控制系统的开环幅相特性曲线入下图所示。P为开环传递函数为开环传递函数G(s)H(s)在在s右半平面的极点数目。试用乃氏稳定判据分析闭环系统的右半平面的极点数目。试用乃氏稳定判据分析闭环系统的稳定性。稳定性。例例P=2P=0系统不稳定系统不稳定系统稳定系统稳定第35页，共37页，编辑于2022年，星期一P=2P=0系统稳定系统稳定系统稳定系统稳定第36页，共37页，编辑于2022年，星期一本章作业本章作业教材教材 P142n 5-2(1)n 5-4n 5-8第37页，共37页，编辑于2022年，星期一