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1、问题提出 1.1.数的概念产生和发展的历史进程：正分数正无理数零和负数N NQ QR RR R数系每次扩充的基本原则：第一、增加新元素；第二、原有的运算性质仍然成立；第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.第1页/共44页第2页/共44页3.3.唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发 展的根本动力.由于实数的局限性，导致 某些数学问题出现矛盾的结果，数学家 们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系.问题提出第3页/共44页第4页/共44页 1 1、由 得 ，这与 矛盾的原因是什么？方程x x2 2x x1 10 0无实根 2 2、方程x x2 2x
2、x1 10 0无实根的根本原因是什么？1 1不能开平方 问题探究第5页/共44页3 3、我们设想引入一个新数，用字母i i表示，使这个数是1 1的平方根，即 i i2 21 1，那么方程x x2 2x x1 10 0的根是什么？问题提出第6页/共44页4 4、若x x4 41 1，利用i i2 21,1,则x x等于什么？1 1，1 1，i i，i.i.问题提出第7页/共44页5 5、满足i i2 21 1的新数i i显然不是实数，称为虚数单位，根据数系的扩充原则，应规定虚数单位i i和实数之间的运算满 足哪些运算律？乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.问题探究第8页/共44
3、页6 6、设aRR，下列运算正确吗？问题探究第9页/共44页1 1、虚数单位i i与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？abi i（a，bRR）2 2、把形如abi i（a，bRR）的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，记作C C，那么复数集如何用描述法表示？C C abi|i|a，bRR问题探究第10页/共44页3 3、复数通常用字母z z表示，即 z zabi i（a，bRR），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数z z的实部与虚部，那么复数 z z 3i3i的实部和虚部分别是什么？实部为 ,虚部为3.3.问题探究第11页/共44页4 4、两个实数可以相等，
4、两个复数也可以相等，并且规定：abi icdi i（a，b，c，dRR）的充要条件是ac且bd，那么abi i0 0的充要条件是什么？ab0 0问题探究第12页/共44页5 5、对于复数z zabi i（a，bRR）当b b0 0时，z z为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？当b0 0时z z为实数.实数集R R是复数集C C的真子集.问题探究第13页/共44页6 6、对于复数z zabi i（a，bRR）当b00时，z z叫做虚数，当a0 0且b00时，z z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之间如何？纯虚数集是虚数集的真子集.问题探究第14页/共44页7 7、复数集、实数集、虚数集、
5、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？复数复数实数实数虚数虚数纯虚数纯虚数问题探究8 8、两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？虚数不能比较大小.第15页/共44页实部实部复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即虚部虚部其中 称为虚数单位。复数集C C和实数集R R之间有什么关系？讨论？复数a+bia+bi第16页/共44页 例1 1 实数m取什么值时，复数z zm1 1(m1)i1)i分别是实数，虚数和纯虚数？当m1 1时，z z是纯虚数.典例讲评当m1时，z是实数；当m1时，z是虚数；第17页/共44页练习练习练习练习1 1 1 1 设复数设复数z=lg(mz=l
6、g(m2 22m2m2)+2)+(m(m2 2+3m+2)i+3m+2)i，试求实数，试求实数m m取何取何值时。值时。（1 1）z z是纯虚数；是纯虚数；（2 2）z z是实数；是实数；第18页/共44页例例2 2 设设x x，yRyR，并且，并且 (2x(2x1)+xi=y1)+xi=y(3(3y)iy)i，求求x x，y y。解题总结：解题总结：复数相等复数相等的问题的问题转化转化求方程组的解求方程组的解的问题的问题一种重要的数学思想一种重要的数学思想转化思想转化思想第19页/共44页 练习 设复数z z1 1(x(xy)y)(x(x3)i3)i，z z2 2(3x(3x2y)2y)yi
7、yi，若z z1 1z z2 2，求实数x x，y y的值.x x9 9，y y6.6.典例讲评第20页/共44页 1.1.将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，形成一个独立的数学分支的复数理论，形成一个独立的数学分支.课堂小结第21页/共44页 2.2.虚数单位虚数单位i i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成使得任何一个复数都可以写成 abi（a，bR）的形式的形式
8、.课堂小结第22页/共44页 3.3.复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如x x2 200；若若x xy y0 0，则，则x xy y等，今后等，今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题决问题.课堂小结第23页/共44页变式练习变式练习1.1.若方程若方程 +(m+2i)x+(2+mi)=0+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根，试求实数至少有一个实数根，试求实数m m的值的值.2.2.已知不等式已知不等式 -(-3m)i-(-3m)i
9、10+(-4m+3)i,10+(-4m+3)i,试求实数试求实数m m的值的值.误点警示误点警示：虚数不能比较大小！虚数不能比较大小！第24页/共44页3.1 3.1 数系的扩充和复数的概念复数的几何意义第25页/共44页 1.1.虚数单位i i的基本特征是什么？（1 1）i i2 21 1；（2 2）i i可以与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立.复习巩固 2.2.复数的一般形式是什么？复数相等的充要条件是什么？abi i（a，bR R）；实部和虚部分别相等.第26页/共44页 3.3.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如何？复数复数实数实数虚数虚数纯虚数纯虚数复习巩固第
10、27页/共44页实部实部复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即虚部虚部其中 称为虚数单位。复数a+bia+bi第28页/共44页 4.4.实数与数轴上的点一一对应，从而实数可以用数轴上的点来表示，这是实数的几何意义，根据类比推理，复数也应有它的几何意义.因此，探究复数的几何意义就成为一个新的学习内容.提出问题第29页/共44页第30页/共44页1 1、在什么条件下，复数z z惟一确定？给出复数z z的实部和虚部2 2、设复数z zabi i（a，bRR），以z z的实部和虚部组成一个有序实数对（a，b），那么复数z z与有序实数对（a，b）之间是一个怎样的对应关系？一一对应问题探究第31页/
11、共44页3 3、有序实数对（a，b）的几何意义是什么？复数z zabi i（a，bRR）可以用什么几何量来表示？复数z zabi i（a，bRR）可以用直角坐标系中的点Z Z（a，b）来表示.x xy yO Oab bZ Z：abi i问题探究第32页/共44页用直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，x x轴叫做实轴，y y轴叫做虚轴.形成结论第33页/共44页一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？x xy yO Oab bZ Z：abi i实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，各象限内的点表示虚部不为零的虚数.形成结论第34页/共44页1 1、用有
12、向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？有向线段的始点和终点.2 2、用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段？以原点为始点，向量的坐标对应的点为终点画有向线段.x xy yO O(a，b)问题探究第35页/共44页3 3、在复平面内，复数z zabi i（a，bR R）用向量如何表示？x xy yO Oab bZ Z：abi i以原点O O为始点，点Z Z（a，b）为终点的向量 .问题探究第36页/共44页4 4、复数z zabi i（a，bRR）可以用 向量 表示，向量 的模叫做复数z z的模，记作|z|z|或|abi|i|，那么|abi|i|的计算公式是
13、什么？x xy yO Oab bZ Z：abi i问题探究第37页/共44页5 5、设向量a，b分别表示复数z z1 1，z z2 2，若ab，则复数z z1 1与z z2 2的关系如何？规定：相等的向量表示同一个复数.6 6、若|z|z|1 1，|z|z|1 1，则复数z z对应复平面内的点的轨迹分别是什么？单位圆，单位圆内部.问题探究第38页/共44页 例1 1 已知复数对应的点在直线x x2y2y1 10 0上，求实数m的值.典例讲评第39页/共44页 例2 2 若复平面内一个正方形的三个顶点对应的复数分别为z z1 11 12i2i，z z2 22 2i i，z z3 31 12i2i
14、，求这个正方形第四个顶点对应的复数.x xy yO OZ Z1 1Z Z2 2Z Z3 3Z Z4 4z z4 42 2i i 典例讲评第40页/共44页 例3 3 设复数 ，若|z|5|z|5，求x x的取值范围.典例讲评第41页/共44页1.1.复数集复数集C C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数复数z zabi i 复平面内的点复平面内的点 Z Z（a，b）一一对应一一对应2.2.复数集复数集C C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即复数复数z zabi i 复平面内的向量复平面内的向量一一对应一一对应课堂小结第42页/共44页 3.3.复数复数zabi i与复平面内的点与复平面内的点 Z Z（a，b）和向量和向量 是一个三角对应关系，即是一个三角对应关系，即复数z zabi i点 Z(Z(a，b)向量课堂小结第43页/共44页感谢您的观看！第44页/共44页