数学归纳法讲义.pptx

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1、导引一问题1 已知，(n N*),(1)分别求 (2)由此你能得到一个什么结论?这个结论正确吗?第1页/共64页 问题问题2 2 费马（费马（Fermat）是）是1717世纪法国世纪法国著名的数学家，他曾认为，当著名的数学家，他曾认为，当n nN N 时，时，一定都是质数，这是他对一定都是质数，这是他对n n0 0，1 1，2 2，3 3，4 4作了验证后得到的后来，作了验证后得到的后来，1818世纪伟世纪伟大的瑞士科学家欧拉（大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了）却证明了 从而否定了费马的推测没想到当从而否定了费马的推测没想到当n n5 5这这一结论便不成立一结论便不成立 第2页/共64

2、页 问题问题3 ,3 ,当当n N时，时，是否都为质数？是否都为质数？验证：f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151，f（39）1 601但是 f（40）1 681 ，是合数第3页/共64页导引二引例 1 1 明朝刘元卿编的明朝刘元卿编的应谐录应谐录中有一个笑话：财主的儿子学写字中有一个笑话：财主的儿子学写字这则笑话中财主的儿子得出这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横四就是四横、五就是五横”的结论，用的就是的结论，用的就是“归纳法归纳法”，不过，这个归纳推出的结论

3、显然，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的是错误的引例 2 2 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒

4、弟比大徒弟聪明大徒弟聪明 又如：给出等差数列前四项又如：给出等差数列前四项,写出该数列的通项公式写出该数列的通项公式 又如：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情又如：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况况 第4页/共64页数学证明方法有：1.演绎法：从一般到特殊的方法2.归纳法：从特殊到一般的方法 (1)(1)不完全归纳法：从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对不完全归纳法：从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法。又作不完全归纳推理象全体都具有这种性质的归纳推理方法。又作不完全归纳推理 。(2)(2)完全归纳法：把

5、研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，如：枚举法、数学归纳法等为完全归纳法，如：枚举法、数学归纳法等 不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。不完全归纳法又叫做普通归纳法论的归纳推理。不完全归纳法又叫做普通归纳法 。由它得出的结论未必正。由它得出的结论未必正确。确。用完全归纳法得出的结论是可靠的用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法不多时，采用完全归纳法 。第5

6、页/共64页新知识(1)当当n1时等式成立；时等式成立；(2)假设当假设当nk时等式成立时等式成立,即即ak=a1+(k1)d,则则 ak+1=ak+d=a1+(k+1)-1d,即即 nk1时等式也时等式也 成立成立 证明等差数列通项公式：证明等差数列通项公式：数学归纳法引导：an=a1+(k1)d，n N*于是,我们可以下结论：等差数列的通项公式 an=a1+(n1)d 对任何n N*都成立 第6页/共64页数学归纳法完成这两个步骤后完成这两个步骤后,就可以断定命题就可以断定命题P(n)对从对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立都成立(1)证明当证明当n取第一个值取第一个值n=n0

7、（n0）时）时P(n)成立成立;第一数学归纳法：设第一数学归纳法：设P(n)是一个与正整是一个与正整数有关的命题，如果数有关的命题，如果:(2)假设当假设当nk(k N*,kn0)时时P(n)成立成立,由此推得当由此推得当nk1时时P(n)也成立也成立第7页/共64页1.第一步第一步(1)，是否可省略？，是否可省略？答案是：不可以省略答案是：不可以省略。下面举一个反例。下面举一个反例。2462n n+1(n N)成立吗？成立吗？问题：问题：第8页/共64页 用数学归纳法证明用数学归纳法证明:2462n n+1(n N)的步骤如下：的步骤如下：假设当假设当nk时等式成立。时等式成立。即即 246

8、2k k1则则 2462k2（k1）k1 2（k1）（k1）1 这就是说，当这就是说，当nk1时等式成立。时等式成立。根据数学归纳法根据数学归纳法2462n n+1对对n N都正确。都正确。评析：评析：用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。没有步骤（没有步骤（1）命题的成立就失去了基础；）命题的成立就失去了基础；没有步骤（没有步骤（2）命题的成立就失去了保证！）命题的成立就失去了保证！证明：证明：当当n=1时，左边时，左边2，右边，右边3，等式不成立；，等式不成立；哪错了哪错了？第9页/共64页2.第二步第二步.(2)，从，从n=k(kn0)时

9、命题成立的假设出时命题成立的假设出发，推证发，推证 n=k+1 时命题也成立。既然是假设，时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？为什么还要把它当成条件呢？这一步是在第一步的正确性的基础上，证明这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性传递性。归纳：归纳：重点：重点：两个步骤、一个结论；两个步骤、一个结论；注意：注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。第10页/共64页例题例题1 在数列在数列中,1,(n ),先计算先计算，的值，再推测通项的值，再推测通项 的公式的公式,最后证明你的结论最后证明你的结论 第三阶段:例题讲

10、解：第11页/共64页例题例题2用数学归纳法证明用数学归纳法证明证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边121，右边，右边等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是那么那么第12页/共64页这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何n N都成立。都成立。第13页/共64页例例3用数学归纳法证明用数学归纳法证明第14页/共64页证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边144，右边，右边1224，等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，

11、等式成立，就是 根据（根据（1）和（）和（2），可知），可知 等式对任何等式对任何n N都都成立。成立。这就是说，当n=k+1时等式也成立。第15页/共64页例，用数学归纳法证明：例，用数学归纳法证明：第16页/共64页1.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：135（2n1）n2.2.用数学归纳法证明：首项是用数学归纳法证明：首项是a1,公比是公比是 q 的的等比数列的通项公式是等比数列的通项公式是 an=a1qn1.练习 3.用数学归纳法证明用数学归纳法证明:其中其中n N*能被能被13整除，整除，4.若若n为大于为大于1的自然数，求证的自然数，求证:第17页/共64页5 5 试证：对一切大

12、于等于试证：对一切大于等于1的自然数的自然数n,n,都有：6 6 试证：对一切自然数试证：对一切自然数,都有都有:7 7 对于自然数对于自然数求证：求证：8证明证明时，能被能被31整除。整除。第18页/共64页小结：(1)本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳

13、法；结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归递归)思想，它思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；结论写明莫忘掉；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想归纳思想、辩证唯物主义思想 第19页/共64页第二阶段:新旧知识相互作用阶段完成这两个步骤后完成这

14、两个步骤后,就可以断定命题就可以断定命题P(n)对从对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立都成立(1)证明当证明当n取第一个值取第一个值n=n0（n0）时）时P(n)成立成立;第二数学归纳法：设第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整是一个与正整数有关的命题，如果数有关的命题，如果:(2)假设当假设当nk(k N*,kn0)时时P(n)成立成立,由此推得当由此推得当nk1时时P(n)也成立也成立第20页/共64页例例已知对任意已知对任意 且且求证：求证：第21页/共64页第22页/共64页例例2已知数列已知数列满足：满足：试证：试证：且且 时时证明：证明：（1）当）当n=1时：时：命题

15、显然成立命题显然成立（2）假设）假设nk时：时：那么当那么当n=k+1时由时由所以：所以：所以：所以：即即n=k+1时命题成立时命题成立由（由（1）、（）、（2）及数学归纳法知命题对任何正整数都成立）及数学归纳法知命题对任何正整数都成立第23页/共64页数学归纳法的其他形式：完成这两个步骤后完成这两个步骤后,就可以断定命题就可以断定命题P(n)对从对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立都成立(1)证明当证明当n，时，时，P()，P()，P()成立成立;1.跳跃数学归纳法：设：设P(n)是一个与正是一个与正整数有关的命题，如果整数有关的命题，如果:(2)假设当假设当nk(k N*,k)

16、时时P(n)成立成立,由此推得当由此推得当nks时时P(n)也成立也成立第24页/共64页例例1如果正整数如果正整数不是不是6的倍数，则的倍数，则，不是，不是7的倍数的倍数第25页/共64页例2证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形（提示：跨度为3）6个正方形个正方形7个正方形个正方形8个正方形个正方形所以，综上可得原命题成立。所以，综上可得原命题成立。第26页/共64页3.试证明面值为分和分的邮票可支付任何 的邮资4.设设n为不小于为不小于6的自然数，证明：可以将一个的自然数，证明：可以将一个1个正三角形分成个正三角形分成n个较小的正三角形。个较小的正三角形。第27页/共64页数

17、学归纳法的其他形式：那么根据（那么根据（1）、（）、（2）,就可以断定命题就可以断定命题P(n)对一切正整数对一切正整数n（n0）都成立）都成立(1)P(n)对无限多个正整数对无限多个正整数n成立成立;2.反向数学归纳法：设：设P(n)是一个与正是一个与正整数整数n有关的命题，如果有关的命题，如果:(2)假设当假设当nk(k N*,kn0+1)时时P(k)成成立立,由此推得当由此推得当nk-1时时P(k-1)也成立也成立第28页/共64页例例1设设都是正数，证明：都是正数，证明：第29页/共64页第30页/共64页第31页/共64页例例2已知函数已知函数的定义域为的定义域为，对于区间，对于区间

18、内的任意两数内的任意两数均有：均有：求证：对于任意求证：对于任意，均有：，均有：第32页/共64页第33页/共64页第34页/共64页数学归纳法的其他形式：那么根据（那么根据（1）、（）、（2）、（）、（3）就可以断定）就可以断定命题命题P(n）、）、Q（n）对一切正整数）对一切正整数n（n0）都）都成立成立(1)P(n0)(n0 N*)成立成立；3.（螺旋式归纳法）：设：设P(n)和和Q（n）是）是两个与自然数有两个与自然数有n关的命题，如果关的命题，如果:(2)假设假设P(k)(k N*,kn0)成立成立,能推出能推出Q(k)也也成立；成立；(3)假设假设Q(k)(k N*,kn0)成立成

19、立,能推出能推出P（k+1)也成立；也成立；第35页/共64页例例1.1.在数列在数列中，已知中，已知求证：求证：第36页/共64页第37页/共64页第38页/共64页第39页/共64页第40页/共64页第41页/共64页第42页/共64页应用数学归纳法的技巧（1）起点前移：有些命题对一切大于等于）起点前移：有些命题对一切大于等于1的的正整数正整数都成立，但命题本身对n=0也成立，而且验证起来比验证n=1时容易，因此用验证n=0成立代替验证n=1同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以因而为了便于起步，有意前移起点，当然也可以起点后移。（2）起点增多：有些命题在由）起点增多

20、：有些命题在由向向跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点多起点 第43页/共64页应用数学归纳法的技巧（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多（4）选择合适的假设方式：归纳假设不一定要拘）选择合适的假设方式：归纳假设不一定要拘泥于泥于“假设假设 n=k时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，

21、或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明第44页/共64页归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法应用数学归纳法的一般方法 第45页/共64页例例1设设求证：对一切求证：对一切均有均有:第46页/共64页例例2已知已知求证：对一切求证：对一切都是整数都是整数第47页/共64页例例3 已知已知求证：求证：第48页/共64页例例4 已知已

22、知求证：求证：第49页/共64页例5 证明:分析：现考虑f(n)0,并且在归纳n=k+1时有:5/3-f(k)+1/(k+1)5/3-f(k+1)f(k)-f(k+1)1/(k+1)原命题就可以转化为证明:1+（1/2）+（1/3）+.+（1/n）5/3-1/n(nm)考虑到1/(k+1)1/(k*(k+1)=1/k-1/(k+1),因此可以取f(k)=1/k取m=5（起点后移）第50页/共64页证明一：证明一：证明二（提示：数学归纳法，加强命题法）证明二（提示：数学归纳法，加强命题法）例6 求证：对任意正整数对任意正整数n都成立都成立第51页/共64页 例例7 7、已知数列、已知数列 的各项

23、都是正数的各项都是正数,且满足且满足(2).(2).求数列求数列的通项公式的通项公式(1).(1).证明证明,1当当n=1时，时，命题正确，命题正确.（1 1）证法一：）证法一：2假设假设n=k时有时有 则则时时,而而又又 第52页/共64页由由11、22知，对一切知，对一切nNnN时有时有时命题正确.证法二：证法二：；1当n=1时，2假设假设n=k时有时有成立，令成立，令,在在0，2上单调递增上单调递增,所以由假设有所以由假设有:.即即也即当也即当时时成立，所以对一切成立，所以对一切有：有：（2）下面来求数列的通项：）下面来求数列的通项：第53页/共64页所以所以.令令，则：，则：又又，所以

24、，所以,即即第54页/共64页例例8 8 设设 为满足下述自然数为满足下述自然数N N的个数，的个数，N N的的各位数字之和为各位数字之和为n n，且每位数字只能取，且每位数字只能取1 1，3 3或或4 4求证：求证：是完全平方数，这里是完全平方数，这里n=1,2,3,n=1,2,3,.证明：设证明：设且且若删去若删去由于由于可取可取1 1，3 3，4 4，因此，因此可取可取n-1n-1，n-3n-3，n-4n-4，故有：，故有：做数列做数列满足：满足：第55页/共64页令令（1 1）（2 2）下面用数学归纳法证明（请同学们完成）下面用数学归纳法证明（请同学们完成）第56页/共64页例9第57

25、页/共64页第58页/共64页是是的周期；的周期；满足满足,且每个且每个都是都是的周期的周期例10的周期且的周期且设是周期函数，和1是证明：证明：为有理数，则存在素数为有理数，则存在素数，使，使（）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列为无理数，则存在各项均为无理数的数列（）若证证（）若）若是有理数，则存在正整数是有理数，则存在正整数使得使得且且，从而存在整数，从而存在整数使得 于是是是的周期的周期 又因又因，从而，从而设设是是的素因子，则的素因子，则，从而，从而 是是的周期的周期 第59页/共64页，则，则()若是无理数，令且且是无理数，令，由数学归纳法易知由数学归纳法易知均为无理数且均为无理数且 又又，故，故即即因此因此是递减数列是递减数列 最后证：每个最后证：每个是是的周期事实上，因的周期事实上，因1和和是是的周期，的周期，故故亦是亦是的周期的周期 假设假设是是的周期，则的周期，则也是也是的周期的周期.由数学归纳法，已证得由数学归纳法，已证得均是均是的周期的周期 第60页/共64页例例11、已知数列、已知数列中，中，求证：求证：均有：均有：且且提示：提示：第61页/共64页例例12 设整数数列设整数数列满足满足且且证明：任意正整数证明：任意正整数n,是一个整数的平方是一个整数的平方第62页/共64页第63页/共64页感谢您的观看。第64页/共64页