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1、三角形证明题集锦三角形证明题集锦 2、已知：在已知：在 ABC中，中，A=900，AB=AC，D是是AC的中点，的中点，AE BD，AE延长线交延长线交BC于于F，求证：，求证：ADB=FDC。第1页/共34页3、已知：在已知：在 ABC中中BD、CE是高，在是高，在BD、CE或其延长线上分别截取或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB，求证：求证：MA NA。第2页/共34页4、已知：如图已知：如图(1)，在，在 ABC中，中，BP、CP分别平分分别平分 ABC和和 ACB，DE过点过点P交交AB于于D，交，交AC于于E，且，且DE BC求证：求证：DEDB=EC第3页/共34页5 5、在
2、、在、在、在RtRtABCABC中，中，中，中，ABABACAC，BAC=90BAC=90，OO为为为为BCBC的中点。的中点。的中点。的中点。(1)(1)写出点写出点写出点写出点OO到到到到ABCABC的三个顶点的三个顶点的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C的距离的大小关系的距离的大小关系的距离的大小关系的距离的大小关系(不要求证明不要求证明不要求证明不要求证明)；(2)(2)如果点如果点如果点如果点MM、N N分别在线段分别在线段分别在线段分别在线段ABAB、ACAC上移动，在移动中保持上移动，在移动中保持上移动，在移动中保持上移动，在移动中保持ANANBMBM，请判断，请判断，请判
3、断，请判断OMNOMN的形的形的形的形状，并证明你的结论。状，并证明你的结论。状，并证明你的结论。状，并证明你的结论。ABCOMN第4页/共34页6、如图，、如图，ABC为等边三角形，延长为等边三角形，延长BC到到D，延长，延长BA到到E，AE=BD，连结连结EC、ED，求证：，求证：CE=DE第5页/共34页7、如图，等腰三角形、如图，等腰三角形ABC中，中，ABAC，A90，BD平分平分 ABC，DE BC且且BC10，求，求 DCE的周长。的周长。第6页/共34页几何证明习题答案几何证明习题答案1.连接连接AD,由由 ABC为为等腰直角三角形等腰直角三角形可得可得AD垂直垂直AC,且且A
4、D=BD,DAQ=DBR=45度度,又由平行关系得又由平行关系得,四边形四边形RPQA为为矩形矩形,所以所以AQ=RP,BRP也是等腰直角三角行也是等腰直角三角行,即即BR=PR,所以所以AQ=BR由边角边由边角边,BRD全等于全等于 AQD,所以所以 BDR=ADQ,DR=DQ,RDQ=RDA+ADQ=RDA+BDR=90度度,所以所以 RDQ是等腰是等腰RT。2.作作AG平分平分 BAC交交BD于于GBAC=90 CAG=BAG=45BAC=90 AC=AB C=ABC=45C=BAG AE BD ABE+BAE=90 CAF+BAE=90 CAF=ABE AC=AB ACF BAG CF
5、=AG C=DAG=45 CD=ADCDF ADG CDF=ADB 3.易证易证 ABMNAC NAM NAE BAM NAEANE904.BP CD分别平分角分别平分角 ABC和和 ACB DBP=PBC ECP=PCB DE BC DPB=PBC EPC=PCB DP=DP EP=EC DE-DP=DE-DB=EP=EC DE-DB=EC5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以 O到到 ABC的三个顶点的三个顶点A、B、C距离相等；距离相等；（2）OMN是是等腰直角三角形等腰直角三角形。证明：连接。证明：连接OA，如图，如图，AC
6、=AB，BAC=90，OA=OB，OA平分平分 BAC，B=45，NAO=45，NAO=B，在在 NAO和和 MBO 中，中，AN=BM，NAO=B，AO=BO ，NAO MBO，ON=OM，AON=BOM，AC=AB，O是是BC的中点，的中点，AO BC，即即 BOM+AOM=90，AON+AOM=90，即即 NOM=90，OMN是是等腰直角三角形等腰直角三角形 6.延长延长CD到到F，使，使DF=BC，连结，连结EF AE=BD AE=CF ABC为正三角形为正三角形 BE=BF B=60 EBF为为=等边等边三角形三角形 角角F=60 EF=EB 在在 EBC和和 EFD中中 EB=EF
7、（已证）（已证）B=F（已证）（已证）BC=DF（已作）（已作）EBC EFD（SAS）EC=ED 7.DE BC DEB=90 BD平分平分 ABC在直角三角形在直角三角形ABD和直角三角形和直角三角形DBE中中 A=DEB BD=BD ABD=DBE 直角三角形直角三角形ABD全等直角三角形全等直角三角形DBE BE=AB AD=DE AB=AC BE+CE=AC+CE DCE=CE+DE+CD=CE+AD+CD=CE+CA=BE+CE=10第7页/共34页例例例例1 1（6 6分题）：如图，已知分题）：如图，已知分题）：如图，已知分题）：如图，已知 B=B=C=90C=90，MM是是是是
8、BCBC的中点，的中点，的中点，的中点，DMDM平分平分平分平分 ADCADC。（1 1）若连接）若连接）若连接）若连接AMAM，则，则，则，则AMAM是否平分是否平分是否平分是否平分 BADBAD？请你证明你的结论。？请你证明你的结论。？请你证明你的结论。？请你证明你的结论。（2 2）DMDM与与与与AMAM有怎样的位置关系？请说明理由。有怎样的位置关系？请说明理由。有怎样的位置关系？请说明理由。有怎样的位置关系？请说明理由。（3 3）求证：）求证：）求证：）求证：ADADAB+CDAB+CD第8页/共34页练练练练2 2（6 6分题）分题）分题）分题）：如图，：如图，：如图，：如图，ABA
9、BCDCD，DEDE平分平分平分平分ADCADC，AEAE平分平分平分平分BADBAD，求证：，求证：，求证：，求证：AD=AB+CDAD=AB+CD第9页/共34页例例例例3 3（6 6分题）分题）分题）分题）：如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知B=B=C=90C=90，MM是是是是BCBC的中点，的中点，的中点，的中点，DMDM平分平分平分平分ADCADC。求证：。求证：。求证：。求证：ADADAB+CD AB+CD 第10页/共34页练练练练4 4（6 6分题）分题）分题）分题）：如图，已知在：如图，已知在：如图，已知在：如图，已知在ABCABC中，中，中，中，AB=CDAB
10、=CD，BDA=BDA=BADBAD，AEAE为为为为ABDABD的的的的BDBD边边边边上的中线，求证：上的中线，求证：上的中线，求证：上的中线，求证：AC=2AEAC=2AE第11页/共34页练练练练2 2（6 6分题）分题）分题）分题）：如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知ABAB CDCD，ADAD与与与与BCBC相交于相交于相交于相交于F F，BEBE平分平分平分平分 ABCABC，E E为为为为ADAD的中点，的中点，的中点，的中点，问：问：问：问：ABAB、BCBC和和和和CDCD三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运用下三条线段之间有什么数量关系，并
11、给出证明（如有需要可直接运用下三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运用下三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运用下面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等简写成简写成简写成简写成“等角对等边等角对等边等角对等边等角对等边”）。）。）。）。第12页/共34页例例例例3 3（9 9分题）：如图，已知在有公共顶点的分题）：如图，已知在有公共顶点
12、的分题）：如图，已知在有公共顶点的分题）：如图，已知在有公共顶点的OABOAB和和和和OCDOCD中，中，中，中，OA=OBOA=OB，OC=ODOC=OD，且，且，且，且AOB=AOB=CODCOD。（1 1）求证：）求证：）求证：）求证：CA=BDCA=BD（2 2）若将）若将）若将）若将OCDOCD绕点绕点绕点绕点OO沿着逆时针方向旋转，当旋转到沿着逆时针方向旋转，当旋转到沿着逆时针方向旋转，当旋转到沿着逆时针方向旋转，当旋转到A A、C C、D D在同一条直线上时，问（在同一条直线上时，问（在同一条直线上时，问（在同一条直线上时，问（1 1）中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；
13、如果不成立，请说明理由中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由。第13页/共34页练练练练4 4（9 9分压轴题）分压轴题）分压轴题）分压轴题）：如图：如图：如图：如图，OPOP是是是是MONMON的平分线，请你利用该图形画一对以的平分线，请你利用该图形画一对以的平分线，请你利用该图形画一对以的平分线，请你利用该图形画一对以OPOP所在直线为对所在直线为对所在直线为对所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问
14、题称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题（1 1）如图）如图）如图）如图，在，在，在，在ABCABC中，中，中，中，ACBACB是直角，是直角，是直角，是直角，B=60B=60，ADAD、CECE分别是分别是分别是分别是BACBAC、BCABCA的平分线，的平分线，的平分线，的平分线，ADAD、CECE相交于点相交于点相交于点相交于点F F。请你写。请你写。请你写。请你写出出出出FEFE与与与与FDFD之间的数量关系。（之间的数量关系。（之间的数量
15、关系。（之间的数量关系。（2 2）如图）如图）如图）如图，在，在，在，在ABCABC中，如果中，如果中，如果中，如果ACBACB不是直角，而（不是直角，而（不是直角，而（不是直角，而（1 1）中的其它）中的其它）中的其它）中的其它条件不变。请问：你在（条件不变。请问：你在（条件不变。请问：你在（条件不变。请问：你在（1 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（由。（由。（由。（3
16、3）你还能得出什么结论？请给出证明。）你还能得出什么结论？请给出证明。）你还能得出什么结论？请给出证明。）你还能得出什么结论？请给出证明。第14页/共34页练练练练5 5（9 9分题）：已知，如图分题）：已知，如图分题）：已知，如图分题）：已知，如图，在，在，在，在ABCABC中，中，中，中，ADAD平分平分平分平分BACBAC，DEDEABAB与与与与E E，DFDFACAC与与与与F F。（1 1）求证：）求证：）求证：）求证：ADADEFEF（2 2）如图）如图）如图）如图、，当有一动点，当有一动点，当有一动点，当有一动点GG在在在在ADAD所在的直线上运动，其余条件不变，那么，这时所在
17、的直线上运动，其余条件不变，那么，这时所在的直线上运动，其余条件不变，那么，这时所在的直线上运动，其余条件不变，那么，这时EFEFADAD的结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。的结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。的结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。的结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。第15页/共34页练练练练6 6（9 9分压轴题）：如图分压轴题）：如图分压轴题）：如图分压轴题）：如图，一个等腰直角三角尺，一个等腰直角三角尺，一个等腰直角三角尺，一个等腰直角三角尺GEFGEF的
18、两条直角边与正方形的两条直角边与正方形的两条直角边与正方形的两条直角边与正方形ABCDABCD的两的两的两的两条边分别重合在一起。现正方形条边分别重合在一起。现正方形条边分别重合在一起。现正方形条边分别重合在一起。现正方形ABCDABCD保持不动，将三角尺保持不动，将三角尺保持不动，将三角尺保持不动，将三角尺GEFGEF绕斜边绕斜边绕斜边绕斜边EFEF的中点（点的中点（点的中点（点的中点（点OO也也也也是是是是BDBD的中点）顺时针方向旋转。（的中点）顺时针方向旋转。（的中点）顺时针方向旋转。（的中点）顺时针方向旋转。（1 1）如图）如图）如图）如图，当，当，当，当EFEF与与与与ABAB相交
19、于点相交于点相交于点相交于点OO，GFGF与与与与BDBD相交于点相交于点相交于点相交于点N N时，通过观察或测量时，通过观察或测量时，通过观察或测量时，通过观察或测量BMBM、FNFN的长度，猜想的长度，猜想的长度，猜想的长度，猜想BMBM、FNFN满足的数量关系，并证明你的猜想。满足的数量关系，并证明你的猜想。满足的数量关系，并证明你的猜想。满足的数量关系，并证明你的猜想。（2 2）将三角尺）将三角尺）将三角尺）将三角尺GEFGEF旋转到如图旋转到如图旋转到如图旋转到如图所示的位置时，线段所示的位置时，线段所示的位置时，线段所示的位置时，线段FEFE的延长线与的延长线与的延长线与的延长线与
20、ABAB的延长线相交于点的延长线相交于点的延长线相交于点的延长线相交于点MM，线段，线段，线段，线段BDBD的延长线与的延长线与的延长线与的延长线与GFGF的延长线相交于点的延长线相交于点的延长线相交于点的延长线相交于点N N，此时（，此时（，此时（，此时（1 1）中的猜想还成立吗？若成立，）中的猜想还成立吗？若成立，）中的猜想还成立吗？若成立，）中的猜想还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由请给出证明；若不成立，请说明理由请给出证明；若不成立，请说明理由请给出证明；若不成立，请说明理由。第16页/共34页例例例例7 7（6 6分题）分题）分题）分题）：如图，要在燃气管道：如图，要
21、在燃气管道：如图，要在燃气管道：如图，要在燃气管道l l上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向A A、B B两镇供气。（两镇供气。（两镇供气。（两镇供气。（1 1）泵站）泵站）泵站）泵站C C修建在什么地方，可使所用的燃气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）（修建在什么地方，可使所用的燃气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）（修建在什么地方，可使所用的燃气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）（修建在什么地方，可使所用的燃气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）（2 2）请你在）请你在）请你在）请你在（1 1）的基础上，过）的基础上，过）的基础上，
22、过）的基础上，过A A点作点作点作点作ADADl l，并连接，并连接，并连接，并连接DBDB，求证：，求证：，求证：，求证：AD+DBAD+DBAC+CBAC+CB。第17页/共34页练练练练8 8（6 6分题）分题）分题）分题）：如图，已知牧马营地：如图，已知牧马营地：如图，已知牧马营地：如图，已知牧马营地MM处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，试着设计出最短的牧马路线（不写做法，保留作图痕迹）吃草，最后回到营地，试着设计出最
23、短的牧马路线（不写做法，保留作图痕迹）吃草，最后回到营地，试着设计出最短的牧马路线（不写做法，保留作图痕迹）吃草，最后回到营地，试着设计出最短的牧马路线（不写做法，保留作图痕迹）第18页/共34页练练练练9 9（6 6分题）分题）分题）分题）：如图，：如图，：如图，：如图，E E、F F为为为为ABCABC的边的边的边的边ABAB、ACAC上的两个定点，在上的两个定点，在上的两个定点，在上的两个定点，在BCBC上求作一点上求作一点上求作一点上求作一点D D，使使使使DEFDEF的周长最短。的周长最短。的周长最短。的周长最短。第19页/共34页例例例例1010（6 6分题）分题）分题）分题）：如
24、图，已知在：如图，已知在：如图，已知在：如图，已知在ABCABC中，中，中，中，DEDE垂直平分垂直平分垂直平分垂直平分BCBC，若，若，若，若ABCABC的周长为的周长为的周长为的周长为1010，BC=4BC=4，求，求，求，求ACEACE的周长。的周长。的周长。的周长。第20页/共34页练练练练1111（6 6分题）分题）分题）分题）：如图，在：如图，在：如图，在：如图，在ABCABC中，中，中，中，DEDE垂直平分垂直平分垂直平分垂直平分ACAC，AC=5AC=5，ABDABD的周长为的周长为的周长为的周长为1313，求，求，求，求ABCABC的周长。的周长。的周长。的周长。第21页/共
25、34页练练练练12 12（6 6分题）分题）分题）分题）：如图，等腰三角形：如图，等腰三角形：如图，等腰三角形：如图，等腰三角形ABCABC的周长为的周长为的周长为的周长为2121，底边，底边，底边，底边BC=5BC=5，DEDE垂直平分垂直平分垂直平分垂直平分ABAB，求求求求BECBEC的周长。的周长。的周长。的周长。第22页/共34页例例例例13 13（6 6分题）分题）分题）分题）：如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知ABCABC，请你用尺规作图画出，请你用尺规作图画出，请你用尺规作图画出，请你用尺规作图画出ABCABC关于直线关于直线关于直线关于直线l l的对称图形。的对称
26、图形。的对称图形。的对称图形。第23页/共34页练练练练1414（6 6分题）分题）分题）分题）：如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知ABCABC，请你用尺规作图画出，请你用尺规作图画出，请你用尺规作图画出，请你用尺规作图画出ABCABC关于直线关于直线关于直线关于直线l l的对称图形。的对称图形。的对称图形。的对称图形。第24页/共34页例例例例1515（7 7分题）：已知，分题）：已知，分题）：已知，分题）：已知，ABCABC和和和和ECDECD均为等边三角形，且均为等边三角形，且均为等边三角形，且均为等边三角形，且B B、C C、D D三点在同一条直线三点在同一条直线三点在同一
27、条直线三点在同一条直线上，求证：上，求证：上，求证：上，求证：（1 1）BE=ADBE=AD（2 2）FGFGBDBD第25页/共34页练练练练16 16（7 7分题）分题）分题）分题）：已知：已知：已知：已知ABCABC和和和和ECDECD均为等边三角形，求证：均为等边三角形，求证：均为等边三角形，求证：均为等边三角形，求证：AD=BEAD=BE第26页/共34页练练练练17 17（7 7分题）分题）分题）分题）：如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知ABCABC和和和和ECDECD均为等边三角形，求证：均为等边三角形，求证：均为等边三角形，求证：均为等边三角形，求证：BE=ADBE
28、=AD第27页/共34页练练练练18 18（7 7分题）分题）分题）分题）：如图，已知四边形：如图，已知四边形：如图，已知四边形：如图，已知四边形ABCDABCD和和和和ECFGECFG均为正方形，求证均为正方形，求证均为正方形，求证均为正方形，求证：（1 1）DF=BEDF=BE（2 2）DFDFBEBE第28页/共34页练练练练19 19（7 7分题）分题）分题）分题）：如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知ADCADC和和和和BDEBDE均为等腰直角三角形，求证：均为等腰直角三角形，求证：均为等腰直角三角形，求证：均为等腰直角三角形，求证：（1 1）BC=AEBC=AE（2 2）
29、BCBCAEAE第29页/共34页练练练练20 20（7 7分题）分题）分题）分题）：已知：已知：已知：已知ABCABC和和和和EDCEDC均为等腰直角三角形，求证均为等腰直角三角形，求证均为等腰直角三角形，求证均为等腰直角三角形，求证（1 1）AE=BDAE=BD。（2 2）AEAEBDBD。第30页/共34页学法指津学法指津角平分线加平行线构建等腰三角形。角平分线加平行线构建等腰三角形。学习本课内容，要综合运用学习本课内容，要综合运用“等腰等腰三角形三线合一三角形三线合一”、“等边对等角等边对等角”、“等角对等边等角对等边”及及“等边三角等边三角形三条边相等、三个内角相等且三形三条边相等、
30、三个内角相等且三个内角都是个内角都是60”等定理，才能做出等定理，才能做出复杂图形题目。复杂图形题目。第31页/共34页学法指津学法指津全等三角形的复杂图形解题思全等三角形的复杂图形解题思路与基本图形的解题思路一致。路与基本图形的解题思路一致。解答复杂图形，要把复杂图形解答复杂图形，要把复杂图形分解成基本图形进行解答，就分解成基本图形进行解答，就会觉得非常简单了。会觉得非常简单了。图形越复杂，条件越多，做起图形越复杂，条件越多，做起来越简单，因为不用做辅助线；来越简单，因为不用做辅助线；图形越简单，条件越少，做起图形越简单，条件越少，做起来越难，往往要通过画辅助线来越难，往往要通过画辅助线来创
31、造条件解决。来创造条件解决。解决复杂图形题目时，一般把解决复杂图形题目时，一般把已知条件在图中描出来或标出已知条件在图中描出来或标出来，这样有利于整理条件。来，这样有利于整理条件。第32页/共34页小结小结 证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等；或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等；或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等；或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等；如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这如果这两条线
32、段或角在同一个三角形内，就证明这如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换。么就利用辅助线进行等量代换。么就利用辅助线进行等量代换。么就利用辅助线进行等量代换。第33页/共34页感谢您的观看。感谢您的观看。第34页/共34页