材料物理基础量子力学基础.pptx

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1、材料的量子力学基础材料的量子力学基础量子力学是反映微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的理论，它是20世纪20年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。量子力学的出现，人类对于物质微观结构的认识日益深入，从而能较深刻地掌握物质的物理和化学的性能及其变化的规律，为利用这些规律开辟了广阔的途径。固体材料的许多性质都能从以量子力学为基础的现代理论中得到阐明，本课程仅介绍量子力学的部分基础内容。第1页/共163页 学习方法 少问为什么 多问是什么目 的 要 求1.理解微观粒子的运动特性。2.了解描述微观粒子运动的方法，即量子力学的数学框架。3.初步掌握应用量子力学处理简单体系的

2、方法。第2页/共163页参考书参考书曾谨言，量子力学（卷I），科学出版社。周世勋，量子力学教程，高等教育出版社。曾谨言，量子力学导论，北京大学出版社。苏汝铿，量子力学，高等教育出版社。第3页/共163页在19世纪末，物理学家中普遍存在一种乐观情绪，认为对纷纭复杂的物理现象本质的认识已经完成。物理学家们陶醉于17世纪建立起来的力学体系，19世纪建立起来的电动力学以及热力学和统计物理学(这时期的物理学，后来被称为为经典(Classical)物理学)。的确，经典物理学曾经对众多物理现象给予满意而漂亮的描述。第4页/共163页第一朵乌云涉及电动力学中的“以太”(ether)。当时人们认为电磁场依托于一

3、种固态介质，即“以太”，电磁场量描述的是“以太”的应力。但是为什么天体能无摩擦地步行于“以太”中？为什么无法通过实验测出“以太”本身的运动速度?第二朵乌云涉及物体的比热，即观测到的物体比热总是低于经典统计物理学中能量均分定理给出的值。20世纪初，Kelvin勋爵指出：“在物理学平静而晴朗的天空之远处，还挂着两朵令人不安的小小的乌云。”第5页/共163页例如，固体(由许多原子组成，诸原子在各自的平衡位置附近作小振动)比热，按能量均分定理，应为3R。但实验观测值总是低于此值(3R只是高温极限)。又如双原子分子(具有三个平动自由度，两个转动自由度，还有一个振动自由度)，按能量均分定理，比热应为7R/

4、2。但常温下的观测值为5R/2，而且当温度趋于0K时，比热趋于0。固体比热CVT3R第6页/共163页第一朵乌云，最终导致了相对论革命的爆发。第二朵乌云，最终导致了量子论革命的爆发。第7页/共163页1 古典量子论古典量子论1911年卢瑟福(Rutherford)通过粒子散射实验提出“古典原子有核模型”，认为原子具有与太阳系相类似的结构，原子中心是一个带正电荷的原子核，电子绕原子核旋转。由于电子在原子核外作加速运动，按照经典电动力学，加速运动的带电粒子将不断辐射能量。因此，围绕原子核运动的电子，终究会大量丧失能量而“掉到”原子核中去。这样，原子也就“崩溃”了。但现实世界表明，原子是稳定的存 在

5、着。第8页/共163页从力学上看，电子绕核运动的所有可能的轨道中，只有电子的动量矩p等于h/2的整数倍的那些轨道运动才是稳定的，即1913年玻尔(Bohr)提出“古典量子论”，即提出下述三个基本假设：式中，h6.62510-34Js，称为普朗克(Planck)常量；n1，2，3，均为正整数称为量子数，此式称为“量子条件”，也就是“稳定轨道条件”。第9页/共163页电子在上面所许可的任一轨道上运动时，具有一定的能量En，而不向外辐射能量(电磁波)，这称为“稳定运动状态”只有当电子从一个具有较大能量(Ej)的稳定状态过渡到另一个较低能量(Ei)的稳定状态时，电子才发射出具有一定频率的单色光，其频率

6、为：玻尔频率条件第10页/共163页玻尔提出的“古典量子论”与卢瑟福的“古典原子有核模型”有两大区别之处：一是原子中的电子可能具有的能量En不连续，只能具有能量为E1，E2，E3等特定值，而不可能有在E1与E2或E2与E3之间的值这种按照突变形式变化的能量值称为“能级”(Energy Level)；二是原子状态的变化过程也是取突变形式，只能从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态，而不可能过渡到其它中间状态。第11页/共163页索末菲(Sommerfeld)把玻尔的假设加以推广，认为电子绕核有作椭圆运动的可能性，同时他还考虑了轨道平面在空间取向的可能性，索末菲假设可能存在的稳定椭圆轨道，必须满足下列

7、两个量子条件角量子数径量子数第12页/共163页1925年乌伦贝克和高兹米特提出“电子的自旋假设”：电子本身机械动量矩磁矩第13页/共163页量子力学的实验基础量子力学的实验基础 简述一些19世纪末直到20世纪30年代所进行的著名实验，这些实验奠定了量子力学的基本观念，触发了从经典物理学向量子理论的跃变，并为这种跃变提供了最初一批实验事实。第一组实验 黑体辐射、光电效应、康普顿散射。它们给出了能量分立、光场量子化概念，从实验上揭示了光的粒子性质。第14页/共163页光电效应光电效应光电效应是指在光的作用下从物体表面释放电子的现象，确切地说，这叫做光电发射效应。赫兹的光电效应实验 第15页/共1

8、63页窗口阴极阳极光束光电子光电效应的基本概念 当光照射到金属表面时，金属中有电子逸出的现象叫光电效应，所逸出的电子叫光电子，由光电子形成的电流叫光电流，使电子逸出某种金属表面所需的功称为该种金属的逸出功。第16页/共163页光电效应的实验规律光电效应的实验规律：饱和光电流强度与入射光强度成正比。或者说：单位时间内从金属表面逸出的光电子数目与入射光强成正比U0312UIIS0相同频率，不同入射光强度第17页/共163页光电子的初动能与入射光强度无关，而与入射光的频率有关。截止电压的大小反映光电子初动能的大小U03U02U01312UIIS0相同入射光强度，不同频率红限频率截止电压与入射光频率有

9、线性关系第18页/共163页经典理论的困难：*经典认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的 初动能也越大。但实验上光电子的初动能仅与频率 有关而与光强无关。*只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流；频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。而经典认为有无光电效应不应与频率有关。*瞬时性（约为10-9s）。经典认为光能量分 布在波面 上，吸收能量要时间，即需能量的积累过程。第19页/共163页为了解决这些矛盾，1905年，爱因斯坦在普朗克的能量子概念基础上，再大胆地前进一步，提出了光量子概念，并指出光量子和电子碰撞并被电子吸收从而导致电子的逸出。他的光电效应方程是 第20页/共163页密立根的

10、光电效应实验第21页/共163页第22页/共163页引入光子的“有效”质量m*，即 于是，若在重力场中，一个光子垂直向上飞行了H距离，其频率要由原来的0减小为:从而这说明垂直向上飞行的光子频率会产生红移。这一现象在1960年由R.V.Pound和 G.A.Rebka Jr.在哈佛大学校园的水塔上实验观测到了。第23页/共163页康普顿效应康普顿效应1922年康普顿在研究x-ray被物质散射时，测到了波长改变的现象。早在1912年，C.Sadler 和A.Meshan就发现x射线被轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象，Compton把这种现象看成x射线的光子与电子碰撞而产生的,成功地解释了实验

11、结果。第24页/共163页实验装置第25页/共163页入射x光散射x光散射角康普顿散射的实验规律：康普顿散射的实验规律：1、散射线波长的改变量 随散射角 增加而增加。原波长的谱线强度减小，而新波长的谱线强度增大。2、在同一散射角下 相同,与散射物质和入射光波长无关。3、原子量较小的物质,康普顿散射较强。第26页/共163页在同一散射角下，对于所有散射物质，波长的偏移都相同，但原波长的谱线强度随散射物质的原子序数的增大而增加，新波长的谱线强度随之减小。第27页/共163页按经典电磁理论，带电粒子受到入射电磁波的作用而发生受迫振动，从而向各个方向辐射电磁波，散射束的频率应与入射束频率相同，带电粒子

12、仅起能量传递的作用.可见，经典理论无法解释波长变长的散射线.经典理论的困难第28页/共163页 Compton认为x射线的光子与电子碰撞而发生散射。假设在碰撞过程中能量与动量是守恒的，由于反冲，电子带走一部分能量与动量，因而散射出去的光子的能量与动量都相应减小，即x射线频率变小而波长增大。光子电子电子光子第29页/共163页 (1)入射光子与散射物质中束缚微弱的电子弹性碰撞时，一部分能量传给电子，散射光子能量减少，频率下降、波长变大.定性分析 (2)光子与原子中束缚很紧的电子发生碰撞，近似与整个原子发生弹性碰撞时，能量不会显著减小，所以散射束中出现与入射光波长相同的射线.第30页/共163页

13、定量计算动量守恒能量守恒能量能量动量动量碰前碰前电子电子0光子光子碰后碰后电子电子光子光子第31页/共163页由能量守恒：得：由动量守恒：得：第32页/共163页(1)式平方：(2)式平方：(3)(4)得：即：又：得：其中第33页/共163页)cos1()cos1(cmhc00qqD-=-=-=式中：称为电子的康普顿波长。（与X 射线波长相当）结论：波长偏移量与散射物质及入射X射线波长0 均无关，而只与散射角有关。称为康普顿散射公式。第34页/共163页为验证Compton散射公式，Compton重新做实验，理论公式预言散射角为90度时实验测得：波长最大改变量：对于x-ray：(明显可见的变化

14、)对于可见光：(观察不到Compton效应)第35页/共163页吴有训改进了康普顿的方法，用多种材料作为散射物，分别进行x射线散射实验，取得了大量确凿的实验数据证明康普顿效应对所有物质都是有效的第36页/共163页 与 的关系与物质无关，是光子与近自由电子间的相互作用。散射中 的散射光是因光子与紧束缚电子的作用.原子量大的物质，其电子束缚较强，因而康普顿效应不明显。第37页/共163页 物理意义 光子假设的正确性，狭义相对论力学的正确性。微观粒子的相互作用也遵守能量守恒和动量守恒定律。第38页/共163页第二组实验电子杨氏双缝实验、电子在晶体表面的衍射实验以及中子在晶体上的衍射实验。它们表明，

15、原先我们认为是粒子的这些微观客体，其实也具有波动的性质，呈现出只有波才具有的干涉、衍射现象，从实验上揭示了微粒的波动性质。第39页/共163页戴维逊-革末实验 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。1937年他们与G.P.汤姆孙一起获得Nobel物理学奖。第40页/共163页实验装置：电子从灯丝K飞出，经电势差为U的加速电场，通过狭缝后成为很细的电子束，投射到晶体M上，散射后进入电子探测器，由电流计G测量出电流。GMKDavisson-Germer实验第41页/共163页实验现象：实验发现，单调地增加加

16、速电压，电子探测器的电流并不是单调地增加的，而是出现明显的选择性。例如，只有在加速电压U=54V,且=500时，探测器中的电流才有极大值。54U(V)IO实验解释：第42页/共163页X射线实验测得镍单晶的晶格常数d=0.215nm实验结果：理论值(=50.90)与实验结果(=500)相差很小，表明电子确实具有波动性，德布罗意关于实物具有波动性的假设是正确的。当加速电压U=54V，加速电子的能量eU=mv2/2，电子的德布罗意波长为(k只能为1，即只有一个极大值）第43页/共163页 1927年，汤姆逊在实验中，让电子束通过薄金属膜后射到照相底片上，结果发现，与X射线通过金箔时一样，也产生了清

17、晰的电子衍射图样。X射线第44页/共163页 电子通过狭缝的衍射实验：1961年，约恩孙(Jonsson)制成长为50mm，宽为0.3mm，缝间距为1.0mm的多缝。用50kV的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。第45页/共163页1993年M.F.Crommie等人把蒸发到铜(111)晶面的铁原子用扫描隧道显微镜的探针排列成半径为7.13nm的园环，称为量子围栏(quantum corral)。在这些铁原子形成的园环内，铜的表面态电子波受到铁原子的强散射作用，与入射电子波发生干涉，形成驻波。实验观测到了在围栏内同心园状的驻波，直观地证实了电子的波动性。第46页/

18、共163页1993年美国科学家移动铁原子，铁原子距离0.9纳米v“量子围栏”48个铁原子排列在铜表面证明电子的波动性第47页/共163页de Broglie关系式与波粒二象性关系式与波粒二象性德布罗意的物质波德布罗意(de Broglie,1892-1960)法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文关于量子理论的研究中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。爱因斯坦觉察到德布罗意

19、物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。第48页/共163页 一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，同时也具有以频率n和波长所描述的波动性。德布罗意关系如速度v=5.0102m/s飞行的子弹，质量为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为：如电子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s,对应的德布罗意波长为：太小测不到！X射线波段第49页/共163页波性和粒子性都是电子的固有属性，当它表现出两种属性的时候，人们不应当问它“到底”是什么属性，只应当问它在什么条件下表现出类似于经典波的性质，在什么条件下却又表现出类似经典粒子的性质。电子

20、既不能用纯经典波来理解，也不能用纯经典粒子来理解。只能说它有时象经典波，有时又象经典粒子。“象什么”本身的前提就是“不等同”。归根到底，电子就是电子！这个意义上说，电子的波粒二象性图象，只是我们使用经典的语言，用经典类比的方法去描述电子这个微观客体时，所必然得到的一种并非十分贴切的图象。第50页/共163页量子力学基础量子力学基础Quantum Mechanics薛定谔(Erwin Schrdinger,18871961)奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。第51页/共163页薛定谔在德布罗意思想的基础

21、上，于1926年在量子化就是本征值问题的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，1944年，他发表一本名为什么是生命 活细胞的物理面貌的书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。第52页/共163页 薛定谔方程薛定谔方程本节我们讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律，即薛定谔方程。应该明确，薛定谔方程是量子力学的最基本方程

22、，也是量子力学的一个基本假设。我们并不能从一个更基本的假设来推导或证明它。其正确性只能靠实践来检验。其重要性与Newton方程在经典力学中的地位相当。1926年薛定谔建立了一个描写物质波的波动方程，是一个二阶偏微分方程。第53页/共163页含时薛定谔方程：（一维情况）粒子质量势能函数波函数普郎克常数第54页/共163页&关于薛定谔方程的讨论1.如果已知粒子质量m及势函数V的具体形式，则可写出具体的薛定谔方程。它是一个二阶偏微分方程,若给定初始条件和边界条件即可求解。2.薛定谔方程是“建立”，不是导出，薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”，是否正确，由实验检验。第55页/共163页一般情况下，

23、对含时薛定谔方程，由初态 求解末态 并不容易。对于如束缚在原子中的电子所受的势能V(r)是与时间无关的，即势能不显含t，此时可假定波函数有如下形式：定态薛定谔方程：E为系统总能量第56页/共163页将上式代入含时薛定谔方程，可得：定态薛定谔方程三维形式：第57页/共163页称为拉普拉斯算符，第58页/共163页V(x,y,z)势函数非常重要，类似于牛顿第二定律 f(t)=m d2r/dt2中的f(t)波函数(x,y,z)类似于牛顿第二定律中的位矢函数r(t)定态薛定谔方程研究的是粒子的定态问题，即是粒子的空间变化规律。说明：定态:1.它描写的粒子的能量 En是确定的。2.位置的几率分布不随时间

24、变化。3.几率密度矢量亦与时间无关。第59页/共163页定态波函数与时间无关常将定态波函数的空间部分 直接称为波函数第60页/共163页 波函数的物理意义 三个问题？(1)是怎样描述粒子的状态呢？(2)如何体现波粒二象性的？(3)描写的是什么样的波呢？1926薛定谔方程诞生有人编了打油诗：“欧文用他的psi，计算起来真灵通；但psi真正代表什么，没人能够说得清。”第61页/共163页波函数的解释电子源感光屏OPPQQ（1）两种错误的看法 1.波由粒子组成 如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足

25、够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。第62页/共163页2.粒子由波组成l电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。l什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。

26、l实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1 。第63页/共163页经典概念中 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;粒子意味着 2.有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着 2.干涉、衍射现象，即相干叠加性。l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。第64页/共163页Born 波函数的统计解释 几

27、率波我们再看一下电子的衍射实验 电子源感光屏QQOPP在电子衍射实验中，照相底片上 r点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在r点附近的几率。第65页/共163页电子数 N=7电子数 N=100电子数 N=3000电子数 N=20000电子数 N=70000单个粒子在哪一处出现是偶然事件；大量粒子的分布有确定的统计规律。出现概率小出现概率大电子双缝干涉图样第66页/共163页l结论：衍射等实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。l波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在

28、此基础上，Born 提出了波函数物理意义的统计解释。第67页/共163页|(x,y,z)|2 的意义是代表电子出现在(x,y,z)点附近单位体积中被测到的几率的大小，确切的说，|(x,y,z)|2 xyz 表示在 r 点处，体积元xy z中找到粒子的几率。|(x,y,z)|2 也称为几率密度。在全空间几率之和为1：（归一化）事实上真正的波函数是个复数，本身无任何物理意义。据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性。这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。第68页/共163页因对量子力学的基础研究，特别是他对波函数所作的统计解释获1954

29、年诺贝尔物理学奖按波恩的解释，物质波是粒子的几率波，粒子本身始终保持是完整一颗颗的，但粒子的运动没有轨道，任一时刻在空间各点都有出现的几率。波恩的统计解释把波性和粒子性两个似乎截然不同的概念联系起来。第69页/共163页力学量与算符力学量的平均值与算符的引进例：经典力学求平均值的方法。对某个物理量F共测量N次，结果：F1值出现n1次，F2值出现n2次，Fk值出现nk次。Fi出现的频率（概率）第70页/共163页这里如果是连续函数概率密度一维情况：F(x)在小区间dx中出现的概率为所以三维情况：第71页/共163页将经典力学求平均值的方法推广到量子力学中概率密度量子力学中坐标x,y,z的平均值第

30、72页/共163页以坐标为自变量的力学量F(x,y,z)的平均值由于测不准原理，粒子的坐标和动量不可能同时准确测量，故上述公式不能用于求动量平均值。第73页/共163页必须用其他方法求动量的平均值，由于推导过程复杂，直接给出三个动量分量平均值的表达式：第74页/共163页引入动量算符上式变成第75页/共163页定义坐标算符矢量第76页/共163页显然注意 是一个矢量，因为动量算符是个矢量。类似地，动能和总能量平均值为第77页/共163页在经典力学中，每个力学量都可表示成坐标和动量的函数由坐标算符和动量算符就可得到其他力学量算符。v动能算符经典定义：v总能量算符经典定义：（标量）第78页/共16

31、3页哈密顿算符(Hamilton)（标量）这样，薛定谔方程可写成第79页/共163页微观粒子的运动状态是用波函数描述的，由这个波函数来确定微观粒子的全部力学性质。波函数不再能直接通过一般的函数关系得到力学量，要有波函数通过算符才能得出力学量。量子力学中用波函数表示运动状态；用算符表示力学量。量子力学中每一个力学量都用一个算符来表示。每个力学量算符都有相应的本征方程：说明本征函数本征值如对力学量F进行测量，测得的值只能是该力学量的本征值。第80页/共163页本征方程：如果算符 作用于函数u上等于常数f与u的乘积 。这个方程就称为算符 的本征方程。f为算符 的本征值，u为算符 的属于本征值f的本征

32、函数。若一个本征值只对应一个本征函数，则此本征值对应的状态是非简并的，否则就是简并的。若一个本征值对应于n个本征函数，则此本征函数是n度简并的。第81页/共163页定态薛定谔方程 实际上是能量算符的本征值方程，解这一方程可得到能量E和波函数。第82页/共163页量子力学的应用量子力学的应用 例1 一维无限深势阱问题。设有一粒子处于势能为V(x)的势中。沿x方向作一维运动，势能V(x)，满足下列边界条件(如图所示)：第83页/共163页根据具体问题列出定态薛定谔方程用薛定谔方程处理问题：根据波函数应满足的自然条件定出边界条件求出薛定谔方程的特解求出薛定谔方程的通解即波函数根据波函数应满足的归一化

33、条件写出定态波函数对量子力学处理的结果进行分析第84页/共163页现在应用定态薛定谔方程，求出被限制在一维势阱中粒子的波函数以及粒子被允许具有的能量。在势阱内，描述粒子定态运动的方程为：第85页/共163页通解为：待定常数：因为势壁无限高，粒子不能透过，故阱外波函数为0根据波函数的性质，在x=0,x=a 两点应连续，故有边界条件：第86页/共163页由第一个边界条件，得：因A=0波函数无意义，故由第二个边界条件，得：第87页/共163页n=0给出的波函数恒等于0无物理意义，而n取负值给不出新的波函数，所以n只能取正整数。第88页/共163页量子数势阱中粒子可能的能量值相应的定态波函数：能量量子

34、化并不是强行假设,而是方程求解的自然结果第89页/共163页再根据“归一化条件”来求常数A：则第90页/共163页并非任何E值所对应的波函数都满足边界条件，只有当能量取上面分立值En时才满足。粒子的能量是量子化的，这是一切束缚粒子的基本特征。（分立的能级）粒子的最低能级 不为0，这与经典粒子不同，是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是无意义的。相邻能级差：说明能级分布不均匀，能级越高，能级差越大。第91页/共163页0an=1n=2n=3n=4E1E2=4 E1E3=9 E1E4=16 E1E第92页/共163页从En式子可知：能量量子化现象与势阱宽度a有关，a0，En较大。a小到原子尺度

35、，能级差就较大，故电子在原子内运动时，能量量子化就特别显著。a较大时，En0，能量基本连续。第93页/共163页在大量子数时，能级间距与能级本身比较是可以忽略不计的，即具有“准连续”性。另外 具有和经典粒子一样的形式，只是取值是分立的。所以，在大量子数时，粒子能量与经典粒子能量相符。第94页/共163页n(x)有无穷多个可能的运动方式 量子力学仅提供可能性E并不是薛定谔方程中的变量，En是本征值，是使薛定谔方程得以满足时，E必须选取的特定数值。o第95页/共163页一维无限深方势阱中粒子的能级和几率密度n 很大时，相邻波腹靠得很近，接近经典力学各处概率相同。第96页/共163页例：求一维无限深

36、方势阱中基态粒子的坐标平均值和动量平均值。坐标平均值提示：第97页/共163页计算x均方根值 利用 只需计算 第98页/共163页采用分部积分法第99页/共163页在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度于是故当时二者相一致 第100页/共163页动量平均值第101页/共163页算符与力学量的关系对一维无限深方势阱 能量算符 方程解 能量本征值 当粒子处于能量算符 的本征态 时，算符所表示的力学量有确定值 。第102页/共163页推广到一般情况，实际是量子力学的一个假设：若 是力学量算符 的本征函数（态），即那么在状态

37、 下，体系的该力学量有确定值 ；反之若在状态 下某力学量有确定值 ，则 是该力学量算符 的本征函数。第103页/共163页若 不是力学量算符 的本征函数（态），那么在状态 下，所表示的力学量不具有确定值。例如：无限深势阱中粒子一维波函数 不是坐标算符 的本征函数，故力学量 没有确定值。事实上 可是(0,a)区间的任意数值，表示 取各种值的几率。第104页/共163页一维量子谐振子问题 任何体系在平衡位置附近的小振动，如分子振动，晶格振动等，在选择适当坐标后，往往可分解成若干彼此独立的一维谐振动。一维谐振子问题是微观粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括，是量子力学中的基本问题

38、。线性谐振子的势能函数是：取原点为势能0点，恢复力常数这里恢复力满足Hooke定律(谐振动)第105页/共163页一维谐振子的薛定谔方程是：理想谐振子势是一个无限深势阱，只存在束缚态，即：数学处理很复杂，直接给出结论第106页/共163页线性谐振子的能级和波函数 能级是：(1)能级是等间隔的：只和振子的固有频率有关。这正好说明了普朗克能量子h假设。(2)零点能是：与前面类似，基态能量不为0，是微观粒子波粒两重性的表现。而经典力学的描述，一维谐振子能量最低状态是静止在平衡点处。许多实验证明了零点能的存在。第107页/共163页量子谐振子的波函数为：基态：第一激发态：第二激发态：第108页/共16

39、3页“能量量子化”和“零点能存在”是量子振子的能谱不同于经典振子能谱的两大特点。线性谐振子波函数第109页/共163页（3）几率密度：以基态为例，归一化波函数：那么容易证明，几率密度最大值出现在x=0处，这与经典情形是截然不同的。第110页/共163页经典情形:在原点速度最大，停留时间短，粒子出现的几率小；在两端速度为零，出现的几率最大。第111页/共163页按经典力学，振子的振幅有一最大值，它满足 于是 然而，按量子力学，粒子在此xmax之外仍有一定的几率被找到。对于基态，这个几率约为16%。第112页/共163页当量子数n越大，量子结果和经典结果越接近。第113页/共163页一维“无限深势

40、阱”和“线性谐振子”是束缚态问题，具有分立的能量本征值。如具有确定动量和能量的粒子由无穷远入射，与“有限高”一维势阱相互作用(或称发生散射)，又传播到无穷远处。由于粒子在全空间都可能出现，所以波函数是无法归一化的，我们只需求出粒子相对几率密度、几率流密度即可。第114页/共163页势垒贯穿问题势垒贯穿问题方势垒是：0 a xU0U(x)质量为m的粒子自左向右朝向势垒运动并经受势垒的散射。是如下一类（体现隧道贯穿量子效应）问题的概括：核中粒子衰变、外电场下金属电子的冷发射等。按波函数的统计解释，粒子有一部分几率穿过势垒，有一定的几率被反射回去。第115页/共163页其特点是：(1)对于势阱，波函

41、数在无穷远处趋于零，能谱是分立的。但对于势垒，波函数在无穷远处不为零。下面将看到，粒子能量可取任意值。(2)按照经典力学观点，若EU0,则粒子将穿过势垒运动。但从量子力学的观点，由于粒子的波动性，总有一部分波穿过势垒，而有一部分波被反射回去。因此，讨论的重点是反射和透射系数。第116页/共163页能量为E的定态薛定谔方程：可分为三个区域：0 aV(x)U0I II IIIE第117页/共163页(1)EU0 的情况：第118页/共163页这时，在自左向右入射到势垒的初条件下，上述方程的解为：eikx代表向右运动的波数为k的平面波，e-ikx则是向左运动的平面波。在I、II两个区域内存在向左运动

42、的反射波。而在III区中则只存在向右运动的透射波，不存在向左运动的反射波。第119页/共163页利用在边界上波函数及其导数连续的边界条件，可求得各待定常数，最后可得透射系数与反射系数为：EU0，入射粒子并非全部透射进入区,仍有一定几率被反射回区。透射波几率流密度与入射波几率流密度之比反射波几率流密度与入射波几率流密度之比第120页/共163页（2）EU0的情况：此时方程为：其中，。在粒子从左方入射时有：第121页/共163页通过计算，可得反射系数和透射系数分别是：讨论：（1）R+T=1，即是几率守恒(或粒子数守恒)。（2）在E1成立（相当于E很小）,即势垒比较高、透射不容易的情况下，第124页

43、/共163页式中 D0是常数，它的数量级接近于1。由此很容易看出，透射系数随势垒的加宽或加高而减小。（对势垒高度（U0）、宽度（a）和粒子能量（E）非常敏感。在宏观实验中，不容易观测到粒子穿透势垒的现象。）举例说明于是：第125页/共163页粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应（Tunnel Effect）。图（a）欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的热发射和光电效应。但是，施加一个外电场，金属中电子的所感受到的电势如图(b)所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓场致电子发射。图（b）

44、第126页/共163页扫描隧道显微镜(STM,Scanning Tunneling Microscope)是一种新型表面分析仪器，于1982年由宾尼(G.Binning)和罗拉尔(H.Rohrer)发明，它的出现,使人类能够实时地观察单个原子在物质表面的排列状态和与表面电子行为有关的物理、化学性质,在表面科学、材料科学、生命科学等领域的研究中有着广阔的应用前景,被国际科学界公认为80年代世界十大科技成就之一。第127页/共163页1986 Nobel Prize -Electron Microscope and Scanning Tunneling Microscope(STM)Ernst R

45、uskaGerd BinningHeinrich RohrerErnst Ruska(1906-1988):Electron Microscope,1932Gerd Binning(1947-)and Heinrich Rohrer(1933-):Scanning Tunneling Microscope(STM),1982第128页/共163页STM的基本原理是利用量子力学里的隧道效应。探针与样品不接触，它们之间有一个势垒，因为有隧道效应，电子有一定几率穿过势垒形成电流。探针与样品之间的距离远，势垒就大，隧道电流就小，电流的大小转化为空间尺度，利用电脑分析就可得到样品表面的图像。扫描探针一般

46、采用直径小于1nm的细金属丝，被观测样品应具有一定导电性方可产生隧道电流 第129页/共163页ABU隧道电流JTd探针样品原理:Tunneling effect and tunneling current分辨率:横向0.1nm,纵向0.01nm(电子显微镜的分辨率:0.24 nm)d变化一个原子的距离(10A)JT变化一千倍。第130页/共163页典型典型STMSTM像像STM要求扫描的范围从10nm 到1微米以上，可用来观察原子水平的样品形貌。神经细胞的STM扫描图 硅表面的STM扫描图第131页/共163页氢原子中的电子 量子力学发展史上，最突出的成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给

47、予了相当满意的说明。氢原子是最简单的原子，其薛定谔方程可以严格求解。假设原子核静止不动，将坐标原点放在原子核上，设电子到原子核的距离为r，电子势函数为：第132页/共163页氢原子薛定谔方程：即需变换到球坐标系下求解，球坐标：第133页/共163页球坐标下的薛定谔方程：（1）采用分离变量法求解方程（1），设波函数的自变量可以分离：第134页/共163页将上面波函数代入方程(1)，并用 除各项，得：(2)重新整理，并将偏微分改成全微分，(3)第135页/共163页方程（3）左边只和r、有关，右边只取决于。要使左右两边恒等，只有令其都等于同一常数m2，得到两个方程：（4）（5）第136页/共163

48、页（5）式除以sin2，移项得：再令两边都等于同一常数，又得到两个方程：（6）（7）第137页/共163页将方程(4)、(6)、(7)三个常微分方程求解，得到、R（A）的解：解和常数m有关磁量子数第138页/共163页（1）求解过程中，只有=l(l+1)时，才能得到收敛解，引入另一量子数l方程（6）中包含m，求解过程要求因此某个l值只能对应2l+1个m值。（B）的解：方程（6）求解较复杂，直接给出结果l角量子数第139页/共163页(2)的具体形式：其中系数由下式给出如：l=2,m=0时，第140页/共163页（C）R的解：直接给出结论：（1）由于求解过程中要求R函数有界，故得到新的量子数n（

49、主量子数）。n是正整数，必须满足（2）氢原子的能量量子化条件：第141页/共163页（3）R函数与n、l有关：其中bl由归一化条件定第142页/共163页波函数系数由归一化条件定第143页/共163页采用分离变量法解三维薛定谔方程，即假定波函数的三个自变量可分离；维数与量子数的关系：一维薛定谔方程有一个量子数，三维有三个量子数，代表一个确定的运动状态。如：量子数是求解薛定谔方程中自然产生的说明：第144页/共163页不同量子数的含义：主量子数n：反映电子的能级和电子活动平均范围的大小；角量子数l：反映电子轨道运动的形状；磁量子数m：反映电子轨道运动的角度。氢原子能级与角量子数和磁量子数无关，主

50、量子数n一定时，允许的l、m组合起来为n2个。一个n可对应n2个不同的状态，称这n2个不同的状态为简并状态，而能级n的简并度为n2。第145页/共163页126534赖曼系巴耳末系帕邢系布喇开系氢原子能级图-13.6eV-3.39eV-1.51eV-0.85eVEnl主量子数 n简并度=n216 4s 4p 4d 4f9 3s 3p 3d4 2s 2p1 1s25 5s 5p 5d 5f 5g第146页/共163页对于给定主量子数n对于给定角量子数l故属于En能级的共有量子态数目：第147页/共163页氢原子波函数的图形表示波函数可写成：径向部分角度部分波函数是r、的函数，需4维空间才能给出其