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1、第三章第三章 变形几何变形几何理论理论3-1 3-1 位移、应变、几何方程、一点的应变状态、应变张量、位移、应变、几何方程、一点的应变状态、应变张量、位移边界条件位移边界条件3-2 3-2 应变分量转换方程应变分量转换方程3-3 3-3 主应变、应变主方向、体积应变、最大主应变、应变主方向、体积应变、最大(最小最小)剪应变剪应变3-4 3-4 应变张量的分解、应变偏量不变量、等效应变应变张量的分解、应变偏量不变量、等效应变3-5 3-5 变形协调方程（应变协调方程）变形协调方程（应变协调方程）3-6 3-6 应变速度、应变增量、应变莫尔圆应变速度、应变增量、应变莫尔圆弹塑性力学第三章第三章 变
2、形几何变形几何理论理论 （续（续1 1）第三章概述与学习指导：第三章概述与学习指导：本章介绍了弹塑性力学基本理论中的几何变形本章介绍了弹塑性力学基本理论中的几何变形的应变理论。的应变理论。在应变理论的研究过程中，仅在连续性假设和在应变理论的研究过程中，仅在连续性假设和小变形的前提条件下研究变形，而没有涉及到材料小变形的前提条件下研究变形，而没有涉及到材料具体的变形性质。具体的变形性质。因此，几何变形的应变理论是对固体力学各分因此，几何变形的应变理论是对固体力学各分支学科普遍适用的理论。支学科普遍适用的理论。本章应变理论的学习可分成以下三部分进行学本章应变理论的学习可分成以下三部分进行学习：习：
3、弹塑性力学第三章第三章 变形几何变形几何理论理论 （续（续2 2）其一：其一：正确理解位移、应变、应变状态、应变张量、等效正确理解位移、应变、应变状态、应变张量、等效应变、主应变、主方向、最大（最小）剪应变等概念。应变、主应变、主方向、最大（最小）剪应变等概念。熟练掌握一点应变状态任意某一方位上的线应变和某两熟练掌握一点应变状态任意某一方位上的线应变和某两相互垂直方位所夹直角的改变量（剪应变）的计算、主应变相互垂直方位所夹直角的改变量（剪应变）的计算、主应变和主应变方位（主方向）的计算和确定、平面应变圆和空间和主应变方位（主方向）的计算和确定、平面应变圆和空间应变圆的绘制、应变张量的分解、平面
4、应变理论和空间应变应变圆的绘制、应变张量的分解、平面应变理论和空间应变理论的联系、应变理论和应力理论间的数学转换关系。理论的联系、应变理论和应力理论间的数学转换关系。上述内容涉及教材上述内容涉及教材3-1、3-2、3-3、3-4、3-6节。节。弹塑性力学3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量1 1、位移分量和相对位移分量：、位移分量和相对位移分量：位移位移刚性位移：刚性位移：反映物体整体位置的变动；反映物体整体位置的变动；变形位移：变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化；反映物体的形状和尺寸发生变化；研究物体在外力作用下的变形规律，只研究物体在
5、外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。研究变形位移。弹塑性力学3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续（续1 1）通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数，通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数，参照参照 oxyz oxyz 坐标即为：坐标即为：（3-1）位移函数应是位置坐标的单值连续函数。位移函数应是位置坐标的单值连续函数。位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形的位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形的 剧烈程度，还需要研究表征物体内各点处剧烈程度，还需
6、要研究表征物体内各点处材料变形材料变形 的剧烈程度的剧烈程度的力学量的力学量应变。应变。弹塑性力学3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续（续2 2）位移函数：位移函数：弹塑性力学2 2、应变的概念、应变的概念 、几何方程：、几何方程：在物体内任一点在物体内任一点 M M 处截取一单元体，考处截取一单元体，考 察其变形（由平面推察其变形（由平面推 广到空间）。广到空间）。在小变形的前提下建在小变形的前提下建 立应变的概念和几何立应变的概念和几何 方程。方程。应变的概念：应变的概念：3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、
7、应变状态、几何方程、应变张量 （续（续3 3）弹塑性力学沿沿x x方向棱边方向棱边 的线应变的线应变 ，据定义有：，据定义有：也即：也即：（略去高阶微量得：）（略去高阶微量得：）A A点点x x，y y方向所夹直角的改变量，即剪应变（角应变）：方向所夹直角的改变量，即剪应变（角应变）：也即：也即：3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续（续5 5）弹塑性力学 在一物体内任取一点在一物体内任取一点A A，建立建立oxyoxy坐标，沿坐标，沿x x、y y两方两方向分别取微线段向分别取微线段 y y。该物体受外力。该物体受外力作用产生变形，作用
8、产生变形，A A、B B、C C 三三点变形后位移到点变形后位移到A A、B B C C 处，且变形后长度为：处，且变形后长度为：A A B B xxuu ，A A C C yyvv，且方位发生改变，则由线应且方位发生改变，则由线应变和剪应变定义知：变和剪应变定义知：x 3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续（续7 7）弹塑性力学 几何方程：几何方程：（3-2）该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西（足的关系，称为几何方程，也称为柯西（Augustin-Aug
9、ustin-Louis CauchyLouis Cauchy）几何关系。其缩写式为：）几何关系。其缩写式为：（3-7）3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续（续9 9）弹塑性力学3 3、应变状态、应变张量：、应变状态、应变张量：=（3-6）受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反映和表征了该点的变形程度映和表征了该点的变形程度(状态状态)，称之为，称之为应变状应变状态态。一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为应变张量，用称为应变张量，用 表示，即：表示，
10、即：3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续（续1010）弹塑性力学=3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续（续1111）弹塑性力学 由几何方程式可以看出，当物体内一点的位移由几何方程式可以看出，当物体内一点的位移 分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定，分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定，因为应变是位移的微分形式。但是当应变分量因为应变是位移的微分形式。但是当应变分量 完全确定时，位移分量则不一定能求解出来，完全确定时，位移分量则不一定能求解出来，这是由于物体的位移除了包含有纯变
11、形位移这是由于物体的位移除了包含有纯变形位移 外，还可能包括有刚性位移。外，还可能包括有刚性位移。3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续（续1212）弹塑性力学4 4、转角方程：、转角方程：考察由于变形引起图考察由于变形引起图 中对角线中对角线ACAC的转动。的转动。由平面情况推广到空由平面情况推广到空 间情况。间情况。分析知单元体对角线分析知单元体对角线 分别绕分别绕x x、y y、z z 轴的轴的 旋转角度计算式为：旋转角度计算式为：3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续（续13
12、13）弹塑性力学（3-3）（3-3）若表示为转动张量，则若表示为转动张量，则转角方程转角方程为：为：3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续（续1515）弹塑性力学也即：也即：（在Su上）（2-50）3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续（续1616）在边界在边界S Su u上应建立物体的点位移与给定位移相等上应建立物体的点位移与给定位移相等的边界条件，也即位移（几何）边界条件：的边界条件，也即位移（几何）边界条件：5.位移边界条件位移边界条件:静力边界条件静力边界条件位移边界条件位移
13、边界条件设物体边界为设物体边界为S S 给定受力的边界给定受力的边界S ST T给定位移的边界给定位移的边界S Su u弹塑性力学3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续（续1818）梁固定端位移边界条件梁固定端位移边界条件 在解题时，位在解题时，位 移边界条件必移边界条件必 须控制使用；须控制使用；位移边界条件位移边界条件 给了给了,就找不就找不 到满足这些条到满足这些条 件的解。件的解。梁端固定的边界条件为梁端固定的边界条件为：（平面问题）：（平面问题）a a、当、当 x=y=0 x=y=0 时，时，u=v=0 u=v=0；b b、o
14、o点处水平微线段点处水平微线段dxdx不转动，即不转动，即 ；或或o o点垂微线段点垂微线段dydy不转动，即不转动，即 。弹塑性力学3-3 3-3 应变分量转换方程应变分量转换方程 当已知一点的一组应变分量时，即已知（参照坐当已知一点的一组应变分量时，即已知（参照坐标系标系oxyz）：）：如何确定出该点任意方向上的线应变和剪应变（任意如何确定出该点任意方向上的线应变和剪应变（任意两垂直方向间所夹直角的改变量）。如果求解这一问两垂直方向间所夹直角的改变量）。如果求解这一问题的关系式找到了，则可认为，当已知一点的一组六题的关系式找到了，则可认为，当已知一点的一组六个独立应变分量时，该点的应变状态
15、就完全被确定了。个独立应变分量时，该点的应变状态就完全被确定了。弹塑性力学3-3 应变分量转换方程应变分量转换方程（续（续2）微线段微线段 的方向余弦为：的方向余弦为：变形后，变形后，到达到达 的位置上，也即变形后其长度为的位置上，也即变形后其长度为 ，即，即:根据线应变定义知，根据线应变定义知，方方向的线应变向的线应变 为：为：弹塑性力学3-3 应变分量转换方程应变分量转换方程（续（续3）（3-9）任意方向上的线应变为：任意方向上的线应变为：3-2-2 任意两垂直方向间所夹直角的改变量任意两垂直方向间所夹直角的改变量-剪应变剪应变:(3-11)弹塑性力学 一点的应变状态是一个二阶对称张量，则
16、其分量转换方为：一点的应变状态是一个二阶对称张量，则其分量转换方为：(3-12)(3-13)3-3 应变分量转换方程应变分量转换方程（续（续4）3-2-3 应变分量转换方程应变分量转换方程:弹塑性力学3-3 3-3 主应变、应变主方向、体积应变、最大主应变、应变主方向、体积应变、最大(最小最小)剪应变剪应变3-3-l 3-3-l 主应变、主应变、应变主方向应变主方向:过物体内任一点，一定存在着三个互相垂直的平面，这过物体内任一点，一定存在着三个互相垂直的平面，这 些平面彼此间所夹直角的改变量些平面彼此间所夹直角的改变量剪应变为零，将其剪应变为零，将其 称之为称之为应变主平面应变主平面。应变主平
17、面的外法线方向称为应变主平面的外法线方向称为应变主方向应变主方向或或应变主轴应变主轴。应变主轴彼此正交。应变主轴彼此正交。应变主方向上的线应变就是应变主方向上的线应变就是主应变主应变。一点应变状态的主。一点应变状态的主 应变一般有三个，即应变一般有三个，即：弹塑性力学 当一点应变状态确定时，其当一点应变状态确定时，其 主应变、应变主方向由下式主应变、应变主方向由下式 确定：确定：3-3 3-3 主应变、应变主方向、体积应变、最大主应变、应变主方向、体积应变、最大(最小最小)剪应变（续剪应变（续1 1）（3-18）（3-19）弹塑性力学3-3 3-3 主应变、应变主方向、体积应变、最大主应变、应
18、变主方向、体积应变、最大(最小最小)剪应变（续剪应变（续2 2）（3-21）（3-22）理论上可证明：当一点应变状态确定时，该点的理论上可证明：当一点应变状态确定时，该点的 三个主应变一定也是三个实数根。并且按代数值三个主应变一定也是三个实数根。并且按代数值 排列：排列：弹塑性力学3-3 3-3 主应变、应变主方向、体积应变、最大主应变、应变主方向、体积应变、最大(最小最小)剪应变（续剪应变（续2 2）（3-22）（3-23）应变不变量：应变不变量：弹塑性力学 理论上可证明：三个应变主轴是彼此垂直的。理论上可证明：三个应变主轴是彼此垂直的。理论上一般认为：应力主方向与应变主方向彼此理论上一般认
19、为：应力主方向与应变主方向彼此 对应且相同。通常简称为对应且相同。通常简称为主方向主方向。最大（最小）剪应变最大（最小）剪应变3-3 3-3 主应变、应变主方向、体积应变、最大主应变、应变主方向、体积应变、最大(最小最小)剪应变（续剪应变（续3 3）（3-25）（3-24）弹塑性力学3-3 3-3 主应变、应变主方向、体积应变、最大主应变、应变主方向、体积应变、最大(最小最小)剪应变（续剪应变（续4 4）3-3-2 3-3-2 体积应变体积应变:可知，一点处的体积应变是不随坐标可知，一点处的体积应变是不随坐标系的选择而变化的。显然，当系的选择而变化的。显然，当 时，表时，表示体积膨胀；当示体积
20、膨胀；当 时，则表示体积时，则表示体积压缩。压缩。定义：单位体积的体积改变为体积应变，以符号定义：单位体积的体积改变为体积应变，以符号 表示。表示。现在物体内现在物体内 M 点附近截取一平行六面体微单元体来进行考察：点附近截取一平行六面体微单元体来进行考察：弹塑性力学3-4 3-4 应变张量的分解、应变偏量不变量、等效应变应变张量的分解、应变偏量不变量、等效应变 应变球张量具有各方向相同的平均正应变，在第四章将证应变球张量具有各方向相同的平均正应变，在第四章将证明它与弹性的体积改变部分有关。而应变偏张量的三个线应明它与弹性的体积改变部分有关。而应变偏张量的三个线应变之和为零，说明它与体积变形无
21、关，只反映了材料的形状变之和为零，说明它与体积变形无关，只反映了材料的形状改变部分。改变部分。1.应变张量的分解应变张量的分解:从理论上讲，一个二阶张量可以分解为任意两个二阶张量从理论上讲，一个二阶张量可以分解为任意两个二阶张量之和。因此，应变张量也可分解为应变球张量和应变偏张量，之和。因此，应变张量也可分解为应变球张量和应变偏张量，即：即：（3-27）等式右边的第一个张量称为等式右边的第一个张量称为应变球张量应变球张量，用，用 表示表示。等式右边的第二个张量称为等式右边的第二个张量称为应变偏张量应变偏张量，以，以 表示表示。弹塑性力学3-4 3-4 应变张量的分解、应变偏量不变量、等效应变应
22、变张量的分解、应变偏量不变量、等效应变 （续（续1 1）（3-27）（3-28）（3-27）弹塑性力学2.偏斜应变张量偏斜应变张量.应变偏量不变量应变偏量不变量:应变偏张量为：应变偏张量为：（3-29）3-4 3-4 应变张量的分解、应变偏量不变量、等效应变应变张量的分解、应变偏量不变量、等效应变 （续（续1 1）弹塑性力学3-4 3-4 应变张量的分解、应变偏量不变量、等效应变应变张量的分解、应变偏量不变量、等效应变 （续（续1 1）相应的应变偏量不变量为：相应的应变偏量不变量为：(3-30）弹塑性力学3-4 3-4 应变张量的分解、应变偏量不变量、等效应变应变张量的分解、应变偏量不变量、等
23、效应变 （续（续1 1）八面体剪应变是在与三个应变主轴方向具有相同倾角平面上八面体剪应变是在与三个应变主轴方向具有相同倾角平面上的剪应变，用的剪应变，用 表示，其几何意义是八面体剪应力表示，其几何意义是八面体剪应力 的指向与的指向与八面体微截面的法线方向所夹直角的改变量。写出来即为：八面体微截面的法线方向所夹直角的改变量。写出来即为：3.八面体应变、等效应变八面体应变、等效应变:（3-31）（3-32）(3-33)弹塑性力学 等效应变与等效应力相对应，即为：等效应变与等效应力相对应，即为：（3-34）3-4 3-4 应变张量的分解、应变偏量不变量、等效应变应变张量的分解、应变偏量不变量、等效应
24、变 （续（续1 1）弹塑性力学3-5 3-5 应变协调方程应变协调方程 由几何方程可知，六个独立的应变分量是表征一点应变状由几何方程可知，六个独立的应变分量是表征一点应变状 态的，彼此间是不能相互独立的。因此，六个独立的应变态的，彼此间是不能相互独立的。因此，六个独立的应变 分量应满足一定的条件分量应满足一定的条件变形连续性条件。变形连续性条件。（3-35）弹塑性力学3-5 3-5 应变协调方程应变协调方程(续续1)1)其数学意义：其数学意义：要求要求要求位移函数在其定义域内为单要求位移函数在其定义域内为单 值连续函数，其方程就是位移函数的全微分条件。值连续函数，其方程就是位移函数的全微分条件
25、。其物理意义：其物理意义：就是要保证不违反连续性假设，构成就是要保证不违反连续性假设，构成 物体的介质在变形前后是连续的，并且物体内每一物体的介质在变形前后是连续的，并且物体内每一 点的位移必定是确定的，即同一点不会产生两个或点的位移必定是确定的，即同一点不会产生两个或 两个以上的位移。这就是说，相邻点发生微小位移两个以上的位移。这就是说，相邻点发生微小位移 后，仍为相邻点，否则物体在变形后将出现间隙或后，仍为相邻点，否则物体在变形后将出现间隙或 重叠现象。重叠现象。变形连续性条件变形连续性条件反映了真实情况下物体内各点应变反映了真实情况下物体内各点应变 之间的协调关系。之间的协调关系。弹塑性
26、力学3-5 3-5 应变协调方程应变协调方程(续续2)2)关于平面问题，变形连续性条件简化为：关于平面问题，变形连续性条件简化为：（3-36）对于多连域问题，物体变形除满足式（对于多连域问题，物体变形除满足式（3-353-35）（必要条件）外，还要补充条件（充分条件）。（必要条件）外，还要补充条件（充分条件）。上式平面问题的变形连续性条件，对于平面应变上式平面问题的变形连续性条件，对于平面应变 问题精确成立，对于平面应力问题近似成立。问题精确成立，对于平面应力问题近似成立。（第六章讨论）（第六章讨论）弹塑性力学 微小位移引起微小应变，在小变形条件下，定义应变对应时微小位移引起微小应变，在小变形
27、条件下，定义应变对应时间的变化率为：间的变化率为：3-6 3-6 应变速度、应变增量、应变莫尔圆应变速度、应变增量、应变莫尔圆1.1.应变速率应变速率:（a）当经过无限小时间段当经过无限小时间段dtdt后，质点产生微小位移为后，质点产生微小位移为 du dui i=u=ui idt dt，也即：也即：（b）（e）设物体变形时质点的速度在设物体变形时质点的速度在xyzxyz轴上的分量为轴上的分量为 ，则则 以以 表示有：表示有：弹塑性力学 称为应变（速）率张量：称为应变（速）率张量：关于物体位移、应力、应变的讨论，均可应用到物体各点发关于物体位移、应力、应变的讨论，均可应用到物体各点发 生运动速
28、度中去，只需在公式的力学参量上加生运动速度中去，只需在公式的力学参量上加“.”“.”即可。即可。应变率偏量应变率偏量 为：为：（3-38）（3-40）3-6 3-6 应变速度、应变增量、应变莫尔圆应变速度、应变增量、应变莫尔圆 （续（续1 1）弹塑性力学2.应变增量应变增量:通过大量试验表明，在温度不高和缓慢加载的情况下，一通过大量试验表明，在温度不高和缓慢加载的情况下，一 些固体材料的塑性性能一般与时间因素无关，因此度量时些固体材料的塑性性能一般与时间因素无关，因此度量时 间的单位（秒、时、年）对问题的分析没有影响。间的单位（秒、时、年）对问题的分析没有影响。这里这里d dt t可不代表真实
29、的时间，而只是反映一个变形的过程，可不代表真实的时间，而只是反映一个变形的过程，并不要求计算应变对时间的积分。并不要求计算应变对时间的积分。用应变增量用应变增量 来代替应变率来代替应变率 更能表示不受时间参数更能表示不受时间参数 选择的特点。于是在小变形条件下，经常使用应变增量选择的特点。于是在小变形条件下，经常使用应变增量 来表示应变对时间的变化率。来表示应变对时间的变化率。3-6 3-6 应变速度、应变增量、应变莫尔圆应变速度、应变增量、应变莫尔圆 （续（续1 1）弹塑性力学 在塑性力学中，应变增量应具有瞬时时间间隔内产生应变在塑性力学中，应变增量应具有瞬时时间间隔内产生应变 的概念，并且
30、的概念，并且 表示对时间的应变增表示对时间的应变增,即即 ，而不是对坐标的增量或应变分量的微分。而不是对坐标的增量或应变分量的微分。=dt3-6 3-6 应变速度、应变增量、应变莫尔圆应变速度、应变增量、应变莫尔圆 （续（续1 1）(3-41)应变增量偏量为：应变增量偏量为：（3-42）式中：式中：弹塑性力学3.应变莫尔圆应变莫尔圆 一点的应变状态可一点的应变状态可用应变莫尔圆来表示：用应变莫尔圆来表示：3-6 3-6 应变速度、应变增量、应变莫尔圆应变速度、应变增量、应变莫尔圆 （续（续1 1）弹塑性力学结束语结束语教师在教学过程中教师在教学过程中 要要引导引导思维；思维；不要不要代替代替思维；思维；更不要更不要窒息窒息思维。思维。弹塑性力学学生在学习过程中学生在学习过程中 要要积极积极思维；思维；不要不要被动被动思维；思维；更不要更不要拒绝拒绝思维。思维。结束语结束语(续续)弹塑性力学