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1、单的方差分析第1页，此课件共29页哦进进行行多多因因素素方方差差分分析析从从理理论论上上说说并并无无任任何何困困难难，但但随随着着因因素素数数的的增增加加，普普通通方方差差分分析析的的复复杂杂性性迅迅速速增增加加，这这种种复复杂杂性性不不仅仅表表现现在在分分析析计计算算的的繁繁复复，更更表表现现在在所所需需实实验验次次数数呈呈现现出出几几何何级级数数的的增增加上因此三或三因素以上方差分析较少用到；加上因此三或三因素以上方差分析较少用到；当确实需要考虑这样多因素时，我们常常转而采用一些特殊当确实需要考虑这样多因素时，我们常常转而采用一些特殊的方差分析方法，例如正交实验设计方法。的方差分析方法，例
2、如正交实验设计方法。多因素方差分析繁复多因素方差分析繁复第2页，此课件共29页哦 单单因因素素方方差差分分析析相相比比，交交互互作作用用是是多多因因素素方方差差分分析析中中新新的的概概念念之之一一。当当一一个个因因素素的的效效应应明明显显地地依依赖赖于于其其他他因因素素的的水水平平时时，我我们们称称这这些些因因素素间间有有交交互互效效应应。例例如如，由由于于人人的的体体质质不不同同，药药物物的的疗疗效效也也可可能能会会有有不不同同；不不同同的的地地施施用用同同样样的的肥肥料料，增产效果也有不同，等等。增产效果也有不同，等等。模型类型及交互作用概念模型类型及交互作用概念第3页，此课件共29页哦A
3、1 A2A3B1B2B3A1 A2A3B2B3B1(a)无交互效应无交互效应(b)有交互效应有交互效应 图中每条曲线代表图中每条曲线代表B因素的一个水平。若各曲线平行或近因素的一个水平。若各曲线平行或近似平行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。以上只是一似平行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中，我们对交互作用种直观的判断，在多因素方差分析的过程中，我们对交互作用的有无也可进行统计检验。的有无也可进行统计检验。交互效应交互效应第4页，此课件共29页哦 多因素方差分析可分为固定模型，随机模型及混合模型三类。这多因素方差分析可分为固定模型，随机模
4、型及混合模型三类。这几类模型的计算公式基本相同，但其数学模型，假设，统计量，结果几类模型的计算公式基本相同，但其数学模型，假设，统计量，结果的解释等方面均有相当大的差异。的解释等方面均有相当大的差异。按因素类型进行分类按因素类型进行分类第5页，此课件共29页哦多多因因素素方方差差分分析析可可分分为为交交叉叉分分组组和和系系统统分分组组两两大大类类。这这两两类类计计算算公公式式也也有有些些差差别别，下下面面我我们们以以两两因因素素方方差差分分析析为为例例，介介绍绍它它们们试试验验设计方面的不同点。设计方面的不同点。交叉分组：实验中，交叉分组：实验中，A因素的每个水平都会和因素的每个水平都会和B因
5、素的每个水因素的每个水平相遇，因此平相遇，因此A，B的地位是完全对称的。这是最常见的实验设计的地位是完全对称的。这是最常见的实验设计方法。方法。按实验设计分类按实验设计分类第6页，此课件共29页哦先按先按A因素的因素的a个水平分为个水平分为a组，在每一组内再按组，在每一组内再按B的水平细分。一的水平细分。一般般A因素不同水平的组内因素不同水平的组内B因素的水平可取不同值。例如研究因素的水平可取不同值。例如研究PH值对酶活性的影响，不同的酶可能有不同的最适值对酶活性的影响，不同的酶可能有不同的最适PH值，因此值，因此应对每种酶设置应对每种酶设置PH值偏高、合适、偏低三个水平，而不同的值偏高、合适
6、、偏低三个水平，而不同的酶酶(因素因素A的不同水平的不同水平)PH值值(因素因素B)的水平可能是不相同的。的水平可能是不相同的。系统分组：系统分组：第7页，此课件共29页哦1.固定效应模型。首先考虑固定效应模型。首先考虑有重复的情况有重复的情况。线性统计模型为：。线性统计模型为：xijk=+i+j+()ij+ijk,i=1,2,a,j=1,2,b;k=1,2,n其其中中：总总平平均均值值；i：A因因素素i水水平平主主效效应应；j：B因因素素j水水平平主效应；主效应；()ij：A因素因素i水平与水平与B因素因素j水平的交互效应；水平的交互效应；ijk：随机误差。：随机误差。两因素交叉分组方差分析
7、两因素交叉分组方差分析第8页，此课件共29页哦H01:i=0,i=1,2,aH02:j=0,j=1,2,bH03:()ijij=0,i=1,2,=0,i=1,2,a,j=1,2,a,j=1,2,b b备择假设为备择假设为:H HA A:上述各参数中至少有一个不为上述各参数中至少有一个不为0 0。(这实际上是三个备择假这实际上是三个备择假设。设。)零假设零假设第9页，此课件共29页哦方差分析的基本思想仍是总变差分解：方差分析的基本思想仍是总变差分解：即：即：SST=SSA+SSB+SSAB+SSe自由度：自由度：abn-1a-1b-1(a-1)(b-1)ab(n-1)总变差分解总变差分解第10页
8、，此课件共29页哦均方数学期望第11页，此课件共29页哦检检验验两两个个主主效效应应及及一一个个交交互互效效应应的的下下述述三三个个统统计计量量中中，分母全部采用分母全部采用MSe即可。即可。检验检验H01，H02，H03的统计量分别为：的统计量分别为：检验检验H01，H02，H03的统计量的统计量 从前述的各均方期望可知，只有当各从前述的各均方期望可知，只有当各H0成立时，上述三个分成立时，上述三个分子才是子才是 2的无偏估计量，此时各统计量均服从的无偏估计量，此时各统计量均服从F分布；若某个分布；若某个H0不不成立，则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对应的统计量也有偏大的趋成立，则相应的分
9、子将有偏大的趋势，从而使对应的统计量也有偏大的趋势，因此可用势，因此可用F分布上单尾分位数进行检验。分布上单尾分位数进行检验。第12页，此课件共29页哦各效应的估计值各效应的估计值其中其中i=1,2a,j=1,2,b。第13页，此课件共29页哦计算公式第14页，此课件共29页哦计算排列如下表：计算排列如下表：表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均计算步骤第15页，此课件共29页哦变差来源平方和自由度均方统计量F主效应A主效应B交互效应AB误差总和方差分析表方差分析表第16页，此课件共29页哦 把计算所得结果填入上表后，再根据各把计算所得结果
10、填入上表后，再根据各F统计量的自由度查出统计量的自由度查出其其F0.95及及F0.99分位数，并将分位数，并将F计算值与相应分位数相比，大于计算值与相应分位数相比，大于F0.95则在则在统计量统计量F右上角标一个右上角标一个“*”号；大于号；大于F0.99则再加一个则再加一个“*”号。最后号。最后用一句话对上述方差分析的结果加以总结，即哪些主效应或交互用一句话对上述方差分析的结果加以总结，即哪些主效应或交互效应达到显著或极显著水平，哪些不显著效应达到显著或极显著水平，哪些不显著F测验第17页，此课件共29页哦 如果如果MSAB小于或约等于小于或约等于MSe，即，即FAB小于或约等于小于或约等于
11、1，说明此说明此时交互作用不存在时交互作用不存在，在这种情况下也可把，在这种情况下也可把MSAB和和MSe合并在一起合并在一起(即把平方和和自由度都合并即把平方和和自由度都合并)作为作为2 2的估计量，这样可以提高检的估计量，这样可以提高检验的精确度。具体计算公式如下验的精确度。具体计算公式如下交互作用不存在交互作用不存在 然后可用作统计量然后可用作统计量FA和和FB的分母，对两个主效应进行统计检验。的分母，对两个主效应进行统计检验。注意查表时分母自由度要相应改变。注意查表时分母自由度要相应改变。第18页，此课件共29页哦原料种类(A)温度（B）303540141492325111325246
12、2226182475950404338333682214183355350433847445533262930选择最适发酵条件第19页，此课件共29页哦 本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这两个因素各本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复的，因此都是有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复的，因此都是固定因素。固定因素。在同样温度、原料下所做的几次实验应视为在同样温度、原料下所做的几次实验应视为重复重复，它们之间的差异是，它们之间的差异是由随机误差所造成的由随机误差所造成的固定因素固定因素第20页，此课件共29
13、页哦ji123134.518.251823.5824937.515.534345.25462739.4242.9233.9220.12各处理平均数第21页，此课件共29页哦发酵实验方差分析表变差来源平方和自由度均方F原料A温度BAB误差1554.183150.50808.821656.5022427777.091575.25202.2161.3512.67*25.68*3.30*总和7170.0035第22页，此课件共29页哦查查F分分 布布 表表，得得：F0.95(2,27)F0.95(2,30)=3.316,F0.99(2,27)F0.99(2,30)=5.390,F0.95(4,27)F
14、0.95(4,30)=2.690,F0.99(4,27)F0.99(4,30)=4.018,FFA A,F,FB B均达极显著，标上均达极显著，标上“*”，F FABAB只达显著，标上只达显著，标上“*”。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与它们的。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与它们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的发酵温度。交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的发酵温度。F测验第23页，此课件共29页哦 在固定效应模型中，若各在固定效应模型中，若各F F统计量有达到显著或极显著水平时，统计量有达到显著或极显著水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较
15、，以选出所需要的条件组常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需要的条件组合。例如在例合。例如在例4.34.3中，我们已经发现原料，温度以及它们的交互中，我们已经发现原料，温度以及它们的交互作用都对酒精的产量有影响，显然我们应进一步找出最优的条作用都对酒精的产量有影响，显然我们应进一步找出最优的条件组合以用于生产。这就需要进行多重比较了件组合以用于生产。这就需要进行多重比较了。各处理间进行多重比较各处理间进行多重比较 如果有交互作用存在，则一般需要把所有如果有交互作用存在，则一般需要把所有abab个水平组合放在一个水平组合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同，最常用起比。比较的方法仍
16、与单因素方差分析相同，最常用DuncanDuncan法。法。第24页，此课件共29页哦把各处理平均数从大到小排列把各处理平均数从大到小排列(记为记为x1x9)：49,46,45.25,37.5,34.5,27,18.25,18,15.5，求求出出各各对对差差值值，列列成成下下表：表：多重比较多重比较x9x8x7x6x5x4x3x2x1x2x3x4x5x6x7x833.5*30.5*29.75*22*19*11.52.752.531*28*27.25*19.5*16.5*90.2530.75*27.75*27*19.25*16.25*8.7522*19*18.25*10.57.514.5*11.
17、510.75311.58.57.753.750.753第25页，此课件共29页哦求得：求得：，df=27查查Duncan检验的检验的r值表，值表，df=27,k=29,Kr0.05R0.05r0.01R0.01234567892.913.053.143.213.273.303.343.3611.4011.9412.3012.5712.8112.9213.0813.163.924.104.204.294.354.404.454.4915.3516.0616.4516.8017.0417.2317.4317.58Duncan检验的检验的r值值第26页，此课件共29页哦分析：从这一差值表中可见，分析
18、：从这一差值表中可见，x1至至x5，除，除x1至至x5外相互间都没有显著外相互间都没有显著差异。但差异。但x4，x5与其他与其他3个值差异相对大一些。个值差异相对大一些。x6至至x9差异均不显著。差异均不显著。而而x1，x2，x3与与x6x9差异均达极显著。另外，差异均达极显著。另外，x1，x2，x3以及以及x7，x8，x9之间的差异都很小。之间的差异都很小。由于现在的数据是发酵产量，显由于现在的数据是发酵产量，显然是越高越好，因此我们主要关心然是越高越好，因此我们主要关心x1，x2，x3。从以上分析中可。从以上分析中可知，基本上可把知，基本上可把x1，x2，x3视为无差异视为无差异x1，x2，x3视为无差异视为无差异第27页，此课件共29页哦当当交交互互作作用用存存在在时时，对对固固定定模模型型若若不不设设置置重重复复，则则无无法法把把SSAB与与SSe分分开开，这这样样将将无无法法进进行行任任何何统统计计检检验验。因因此此在在固固定定模模型型中中有有交交互作用时，不设置重复的试验是无意义时。互作用时，不设置重复的试验是无意义时。对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水平，对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水平，不能任意推广到其他水平上去。不能任意推广到其他水平上去。几点注意事项：几点注意事项：第28页，此课件共29页哦第29页，此课件共29页哦