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1、二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极值与 最大值最小值 第三三章 一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:在其中当时,(1)则称 为 的极大点极大点,称 为函数的极大值极大值;(2)则称 为 的极小点极小点,称 为函数的极小值极小值.极大点与极小点统称为极值点极值点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如例如(P146例例4)为极大点,是极大值 是极小值 为极小点
2、,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 1(极值第一判别法极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左左正正右右负负”,(2)“左左负负右右正正”,(自证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放暂停定理定理2(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且则 在点 取极大值;则 在点 取极小值.证证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求函数的极值.解解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故 为极小值;又故需用第一判别法判别.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3(判别法的推广判别法的推广)则:数,且1)当
3、 为偶数时,是极小点;是极大点.2)当 为奇数时,为极值点,且不是极值点.当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:利用 在 点的泰勒公式,可得二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点(2)最大值最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最
4、小值点.(小)机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此也可通过例例3.求函数说明说明:求最值点.与最值点相同,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.机动 目录 上页 下页 返回 结束 用开始移动,例例6.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 作解解:克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题.为多少时才
5、可使力设摩擦系数问力与水平面夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束 的大小最小?清楚(视角 最大)?观察者的眼睛1.8 m,例例7.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于解解:设观察者与墙的距离为 x m,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值(4)判别法的推广(Th.3)定理3
6、目录 上页 下页 返回 结束 最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习思考与练习(L.P500 题4)2.连续函数的最值1.设则在点 a 处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示提示:利用极限的保号性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示提示:利用极限的保号性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示提示:A机动 目录 上页 下页 返回 结束 试问 为何值时,在时取得极值,还是极小.解解:由题意应有又取得极大值为备用题备用题 1.求出该极值,并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回 结束 试求解解:2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求最大值为