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1、概率统计及随机过程概率统计及随机过程北京航空航天数学与系统科学学院北京航空航天数学与系统科学学院概率统计是研究随机现象数量规律的数学概率统计是研究随机现象数量规律的数学学科学科,理论严谨理论严谨,应用广泛应用广泛,发展迅速发展迅速.目前目前,不不仅高等学校各专业都开设了这门课程仅高等学校各专业都开设了这门课程,而且从而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又不得不学的重要课程学好这门不易学好又不得不学的重要课程.前前言言答疑时间：答疑时间：周三：周三：6
2、：00-8：00 地点：地点：主主216 国内有关经典著作国内有关经典著作1.1.概率论基础及其应用概率论基础及其应用 王梓坤著 科学出版社 1976 年版 2.数理统计引论数理统计引论陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经典著作国外有关经典著作1.概率论的分析理论概率论的分析理论P.-S.拉普拉斯著 1812年版2.统计学数学方法统计学数学方法H.克拉默著 1946年版概率论的最早著作数理统计最早著作概率统计专业的首位中科院院士概率概率(几率或或然率几率或或然率)随机事件出现随机事件出现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷
3、骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B.帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C.惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题，解决了解决了“合理合理分配赌注问题分配赌注问题”(即得分问题即得分问题).概率论是一门概率论是一门研究客观世界随机现象数量研究客观世界随机现象数量规律的规律的 数学分支学科数学分支学科.发展则在发展则在17世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.基人是瑞士数学家基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速伯努利；而概率论的飞速第二
4、次世界大战军事上的需要以及大工业第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科论、控制论与数理统计学等学科.数理统计学是一门数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的和行动提供依据和建议的 数学分支学科数学分支学科.论；使论；使 概率论概率论 成为成为 数学的一个分支的真正奠数学的一个分支的真正奠 对
5、客观世界中随机现象的分析产生了概率对客观世界中随机现象的分析产生了概率统计方法的数学理论要用到很多近代数学统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系的数学分支学科，并无从属关系.一些应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科
6、学技术领域、工农业生产和国民经济的各个科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中部门中.例如例如 1.气象、水文、地震预报、人口控制及预气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与测都与 概率论概率论 紧密相关；紧密相关；2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在产品的抽样验收，新研制的药品能否在3.寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行 实验设计实验设计 和和数据处理；数据处理；临床中应用，均需要用到临床中应用，均需要用到 假设检验；假设检验；5.探讨太阳黑子的规律时，探讨太阳黑子的规律时，时间序列分析时间序列分析7.在生物学中研究群体的增长问题时在生物学中研究群体的增长问题时 提出提出了
7、生灭型了生灭型 随机模型，随机模型，传染病流行问题要用到多传染病流行问题要用到多过程过程 来描述来描述;6.研究化学反应的时变率，要以研究化学反应的时变率，要以 马尔可夫马尔可夫 方法非常有用方法非常有用;变量非线性变量非线性生灭过程；生灭过程；4.电子系统的设计离不开电子系统的设计离不开 可靠性估计可靠性估计;8.许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到来描述，其涉及到 的知识就是的
8、知识就是 排队论排队论.目前，概率统计理论目前，概率统计理论 进入其他科学领域的进入其他科学领域的趋势还在不断发展趋势还在不断发展.在社会科学领域在社会科学领域，特别是，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用题，都大量采用 概率统计方法概率统计方法.正如正如 拉普拉斯拉普拉斯所说所说:“生活中最重要的问题生活中最重要的问题，其中绝大多数，其中绝大多数在实质上只是概率的问题在实质上只是概率的问题.”确定性现象随机现象 q 每次试验前不能预言出现什么结果q 每次试验后出现的结果不止一个q 在相同的条件下进行大量的观察或 试验时，出现的结
9、果有一定的规律性 称之为统计规律性 第一章第一章 随机事件及其概率1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间 对某一事物特征进行观察,统称试验.若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示q 可在相同的条件下重复进行 q 试验的可能结果不止一个，但能明确所有 可能的结果q 试验前不能预知出现哪种结果 基本术语基本术语 样本空间 随机试验E 所有可能的结果样本空间的元素，即E 的直接结果，称为随机事件 样本空间的子集,常记为 A,B,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.组成的集合称为样本空间，记为样本点(or基本事件)，常记为，=例例1 给出一组随机试验及相应的样本空间投一枚硬币，观察正面反面出
10、现的情况投一枚硬币3次，观察正面反面出现的情况投一枚硬币3次，观察正面反面出现的次数其中T1,T2分别是该地区的最低温度与最高温度观察某地区每天的最高温度与最低温度观察电话总机每天9:0010:00接到的电话次数投一颗骰子，观察向上一面出现的点数有限样本空间无限样本空间基本事件 仅由一个样本点所组成的子集它是随机试验的直接结果，每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.必然事件所有样本点所组成的事件，每次试验必定发生的事件随机事件是在随机试验中可能发生也可能不发生的事情不可能事件 每次试验必定不发生的事情不包含任何样本点的事件,Venn图A 随机事件的关系和运算雷同于集合的关系和运算 随机事件
11、的关系和运算随机事件的关系和运算l A 包含于B组成 A 的样本点也 是组成 B 的样本点事件 A 发生必导致 事件 B 发生 A B 且l 或由同时属于 A 与B 的样本点所组成的 事件事件 A与事件B 同时 发生发生的积事件 的积事件 事件A 与事件B 的积事件 l 差事件由属于 A 但不属于 B 的样本点所组成 的事件发生事件 A 发生，但 事件 B 不发生 l 或 由组成 A 与组成B 的所有的样本点所 组成的事件事件 A与事件B 至 少有一个发生发生的和事件 的和事件 事件A 与事件B 的和事件l 事件A 与事件B 互斥(互不相容)A、B不可能同时发生AB两两互不相容两两互不相容l 事件A 与事件B 互相对立每次试验 A、B中必有一个也只有一个发生A称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是两个不同的概念 事件的关系与运算完全对应着集合的关系和运算，有着下列的运算律：n 吸收律q 幂等律q 差化积运算律运算律n 重余律p 交换律p 结合律p 分配律p 反演律B CABA CA例例3 利用事件关系和运算表达多个事件的关系A,B,C 都不发生 A,B,C 不都发生例例2 化简事件解解 原式