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1、会计学1将军饮马问题将军饮马问题 看图思考：看图思考：为什么有的人会经常践踏草地呢？为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了绿地里本没有路，走的人多了 禁止践禁止践踏踏两点之间，线段最短两点之间，线段最短爱护草坪爱护草坪爱护草坪爱护草坪连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短第1页/共18页将军饮马问题：将军饮马问题：将军每天骑马从城堡将军每天骑马从城堡A A出发，到城堡出发，到城堡B B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？路程最短？这就是被称为这就是被称为将军饮马将
2、军饮马而而广为流传的问题。广为流传的问题。第2页/共18页P两点之两点之间线段最短段最短.根据：根据：BA(一一一一)两点在一条两点在一条两点在一条两点在一条直线两侧直线两侧直线两侧直线两侧例例1.1.如图：古希腊一位将军骑马从城如图：古希腊一位将军骑马从城堡堡A A到城堡到城堡B B，途中马要到小溪边饮，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？水一次。问将军怎样走路程最短？最短路最短路线：将军饮马：将军饮马：A-P-B.第3页/共18页 例例2.2.如图：一位将军骑马从城堡如图：一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途中马要到河边饮水一次，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎
3、样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？AB河河两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧(二二)一次轴对称：一次轴对称：第4页/共18页BABC例例2作作法：法：（1）作点）作点B关于直线关于直线 MN 的对称点的对称点 B（2）连结）连结BA，交，交MN于点于点 C；所以所以 点点C就是所求的点就是所求的点MN两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧(二二)一次轴对称：一次轴对称：第5页/共18页 BC+AC BC +AC ，即，即AC+BC最小最小NABCBC 直线直线MN是点是点B、B的对称轴，的对称轴，点点C、C在对称轴上，在对称轴上，BC=BC，BC=BC 在在MN 上任取另一点上任取另一
4、点C，连结连结BC、BC、AC、BC 例例2证明：证明：在在AB C中，中，AB AC+B C，BC+AC =BC+AC =BAMBC +AC =BC +AC 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧(二二)一次轴对称：一次轴对称：第6页/共18页例例2 2变式变式1 1：已知：已知：P P、Q Q是是ABCABC的边的边ABAB、ACAC上的点，你能在上的点，你能在BCBC上确定一点上确定一点R R，使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧(二二)一次轴对称：一次轴对称：第7页/共18页.例例3已知如图已知如图 和和 内一点内一点 ,(三三)二次轴对称：二
5、次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部求作求作:OM上一点上一点B,ON上一点上一点C,使使AB+BC+AC最小最小作法作法（1）作点）作点A关于关于OM、ON的对称点的对称点A、A”第8页/共18页草地草地河边河边.驻地驻地A例例3.3.如图：一位将军骑马从如图：一位将军骑马从驻地驻地A A出发，先牵马去出发，先牵马去草地草地 OMOM吃草，再牵马去吃草，再牵马去河边河边ONON喝水，喝水，最后回到驻地最后回到驻地A A，问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？OMN(三三)二次轴对称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部第9页/共18页例例3 3
6、变式变式1 1：已知：已知P P是是ABCABC的边的边BCBC上的点，上的点，你能在你能在ABAB、ACAC上分别确定一点上分别确定一点Q Q和和R R，使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？(三三)二次轴对称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部第10页/共18页例例4 4：如图，如图，A A为马厩，为马厩，B B为帐篷，为帐篷，将军将军某一天要某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。请你帮助确定这一天的最短路线。（四）二次轴对称：（四）二次
7、轴对称：两点在两相交直线内两点在两相交直线内部部第11页/共18页例例例例4 4答案：如答案：如答案：如答案：如图图,A,A是是是是马马厩厩厩厩,B,B为帐为帐篷篷篷篷,牧牧牧牧马马人某一天要从人某一天要从人某一天要从人某一天要从马马厩厩厩厩牵牵出出出出马马,先到草地先到草地先到草地先到草地边边某一某一某一某一处处牧牧牧牧马马,再到河再到河再到河再到河边饮马边饮马,然后回到然后回到然后回到然后回到帐帐篷篷篷篷.请请你帮他确定你帮他确定你帮他确定你帮他确定这这一天的最短路一天的最短路一天的最短路一天的最短路线线.ABABCD（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内两点在两相交直线内
8、部部第12页/共18页.（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内两点在两相交直线内部部例例4 4变式变式1 1：已知：已知：MONMON和和 MONMON内两点内两点A A、B B。求作：点求作：点C C和点和点D,D,使得点使得点C C在在OMOM上，上，点点D D在在ONON上，且上，且AC+CD+BD+ABAC+CD+BD+AB最短。最短。第13页/共18页n n例例4变式变式2：如图，如图，OMCN是矩形是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别的台球桌面，有黑、白两球分别位于位于B、A两点的位置上，两点的位置上，n n 试问怎样撞击白球，使白球试问怎样撞击白球，使白球A依依次碰
9、撞球台边次碰撞球台边OM、ON后，反弹后，反弹击中黑球？击中黑球？（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内两点在两相交直线内部部第14页/共18页.AABBCDMON例4变式2：（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内两点在两相交直线内部部第15页/共18页（2）把）把A，B在直线同侧的问题转化为在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，在直线的两侧，化折线为直线，将军饮马的实质：将军饮马的实质：（3）可利用）可利用“两点之间线段最短两点之间线段最短”加以解决。加以解决。（1）求最短路线问题）求最短路线问题-通过几何变换找对称图形。通过几何变换找对称图形。第16页/共18页反思是进步的阶梯我的收获；我的疑惑；面对一个新的求线段最短问题时，我们可以通过怎样的途径去研究它？第17页/共18页感谢您的观看。感谢您的观看。第18页/共18页