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1、人教版八年级数学人教版八年级数学 上册上册13.1 轴对称轴对称 （第（第2课时）课时）探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质如图，直线如图，直线l 垂直平分线段垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是是l 上的点，请猜想点上的点，请猜想点P1，P2，P3，到点到点A 与点与点B 的的距距离之间的数量关系离之间的数量关系相相等等 ABlP1P2P3线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等已知：已知：如如图图，直，直线线lAB，垂足，垂足为为C，AC=CB，点，点P 在在l 上上求求证证：PA=PB探索并证明线段垂直平分
2、线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质命题：命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等离相等”ABPCl探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质用符号用符号语语言表示言表示为为：CA=CB，lAB，PA=PBABPCl证证明明：lAB，PCA=PCB=90 在在APC与与BPC中中 PC=PC（公共边）（公共边）PCA=PCB（已证）（已证）AC=BC（已知）（已知）PCA PCB（SAS）PA=PB(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质：线
3、段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等相等提示提示:这个结论是经常用来证明这个结论是经常用来证明两条线段相等两条线段相等的根据之一的根据之一.8课堂练习课堂练习练习练习1如如图图，在在ABC 中中，BC=8，AB 的中垂线的中垂线 交交BC于于D，AC 的中垂线交的中垂线交BC 与与E，则则ADE 的周长等的周长等 于于_A B C D E 解：解：ADBC，BD=DC，AD 是是BC 的垂直平分的垂直平分线线，AB=AC 点点C 在在AE 的垂直平的垂直平 分分线线上，上，AC=CE课堂练习课堂练习练习练习2如图，如图
4、，ADBC，BD=DC，点点C 在在AE 的的垂直平分线上，垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+BD与与DE 有什么关系有什么关系？A B C D E AB=AC=CE AB=CE，BD=DC，AB+BD=CD+CE 即即AB+BD=DE 例例1 1、如图，在如图，在ABC中，中，ED垂直平分垂直平分AB，1)若若BD10，则，则AD=。2)若若A50，则，则ABD 。3)若若AC14，BCD的周的周长为长为24，则则BC=。105010 高高 速速 公公 路路AB 在某高速公路在某高速公路L L的同侧，有两个工厂的同侧，有两个工厂A A、B B，为了便，
5、为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么在何处？你的方案是什么?生活中的数学生活中的数学L探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定反反过过来，如果来，如果PA=PB，那么点，那么点P 是否在是否在线线段段AB 的的 垂直平分垂直平分线线上呢？上呢？点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 已知：如已知：如图图，PA=PB求求证证：点：点P 在在线线段段AB 的垂直平的垂直平分分线线上
6、上PAB C 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定证证明：明：过过点点P 作作线线段段AB 的垂的垂线线PC，垂足垂足为为C则则PCA=PCB=90在在RtPCA 和和RtPCB 中，中，PA=PB，PC=PC，RtPCA RtPCB（HL）AC=BC又又 PCAB，点点P 在在线线段段AB 的垂直平分的垂直平分线线上上PAB C 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定用数学符号表示为用数学符号表示为：PA=PB，点点P 在在AB 的垂直平分的垂直平分线线上上与一条线段两个端点距离相与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分等的点，在这条
7、线段的垂直平分线上线上PAB C 解：解：AB=AC，点点A 在在BC 的垂直平分的垂直平分线线MB=MC，点点M 在在BC 的垂直平分的垂直平分线线上，上，直直线线AM 是是线线段段BC 的垂直的垂直 平分平分线线课堂练习课堂练习练习练习3如如图图，AB=AC，MB=MC直直线线AM 是是线线段段 BC 的垂直平分的垂直平分线吗线吗？A B C D M 在在ABCABC中，中，PDPD，PEPE分别是分别是ABAB，ACAC的垂的垂直平分线，并相交于点直平分线，并相交于点P P，求证：点，求证：点P P也在也在BCBC的垂直平分线上。的垂直平分线上。知识应用知识应用PDEABC 某区政府为了
8、方便居民的生某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区活，计划在三个住宅小区A A、B B、C C之间修建一个购物中心，试问，之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。使得它到三个小区的距离相等。ABC思考：生活中的数学思考：生活中的数学尺规作图尺规作图如何用尺如何用尺规规作作图图的方法的方法经过经过直直线线外一点作已知直外一点作已知直线线的垂的垂线线？CABKFDE已知：直线已知：直线ABAB和和ABAB上一点上一点C C（如图）（如图）求作：求作：ABAB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点C C 问题思考：问题思考：既
9、然轴对称图形的对称轴是任何既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如何来作呢？图形的对称轴如何来作呢？只要我们找到一对对应只要我们找到一对对应点，作出连接它们的线段的点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了两个图形的对称轴了如何作出线段的垂直平分线？如何作出线段的垂直平分线？由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可 如图，如
10、图，已知线段已知线段ABAB，用直尺和圆规作，用直尺和圆规作AB AB 的垂直平分线的垂直平分线.AB分别以点分别以点A、B为圆心，以大为圆心，以大于于 AB的长为半径作弧，两弧的长为半径作弧，两弧相交于相交于C、D两点；两点；作直线作直线CD.CD即为所求的直线即为所求的直线.C CD D尺规作图尺规作图结论：结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.1.1.下图中的五角星有几条对称轴？作出下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴这些对称轴
11、A AB B作法：作法：（1 1）找出五角星的一对）找出五角星的一对对应点对应点A A和和B B，连接，连接ABAB（2 2）作出线段）作出线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线n n则则n n就是这个五角星的一条对称轴就是这个五角星的一条对称轴 n n用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五五条条对称轴对称轴【跟踪训练跟踪训练】如图，如图，A、B表示两个仓库，要在表示两个仓库，要在A、B一侧的河一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？说说理由码头应建在什么位置？说说
12、理由.码头应建在线段的垂直平分线与码头应建在线段的垂直平分线与A，B一侧的河岸边的交一侧的河岸边的交点上理由是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点点上理由是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等的距离相等应用新知，解决问题应用新知，解决问题如图，如图，A A，B B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？车站应建在什么地方？【提示提示】连接连接ABAB，作，作ABAB的垂直平分线，则与公路的的垂直平分线，则与公路的交点就是要建的公
13、共汽车站交点就是要建的公共汽车站.有有A A，B B，C C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.A AB BC C【提示提示】学校在连接任意两学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线点的两条线段的垂直平分线的交点处的交点处.1.1.（临沂（临沂中考）正方形中考）正方形ABCDABCD边长为边长为a a，点，点E E，F F分别是对角分别是对角线线BDBD上的两点，过点上的两点，过点E E，F F分别作分别作ADAD，ABAB的平行线，如图所示，的平行线，如图所示，则图中阴影
14、部分的面积之和等于则图中阴影部分的面积之和等于 【解析解析】运用轴对称、转化的思想，阴运用轴对称、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积的一半，即影部分面积等于正方形面积的一半，即 .答案：答案：2.2.如图，若如图，若AC=12AC=12，BC=7BC=7，ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于E E，交，交ACAC于于D D，求，求BCDBCD的周长的周长.D DC CB BE EA A【解析解析】EDED是线段是线段ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，BCDBCD的周长的周长=BD+DC+BC=BD+DC+BC BCD BCD的周长的周长=BD=ADBD=AD，AD+DC+BCAD+DC+BCAC+BCAC+BC12+7=19.12+7=19.随堂练习随堂练习1、如图、如图,已知已知AB是线段是线段CD的垂直平的垂直平分线分线,E是是AB上的一点上的一点,如果如果EC=7cm,那么那么ED=cm;如果如果ECD=600,那那么么EDC=0.EDABC7602、如图所示，在、如图所示，在ABC中，中，AB=AC32，MN是是AB的垂直的垂直平分线平分线，且有，且有BC=21，求求BCN的周长。的周长。