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1、三角形的尺规作图第1页，共27页，编辑于2022年，星期三1 1、尺规作图的工具是、尺规作图的工具是直尺直尺和和圆规圆规2 2、我们已经会用尺规作一条线、我们已经会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等段等于已知线段、作一个角等于已知角于已知角第2页，共27页，编辑于2022年，星期三已知：已知：AOBAOB，求作，求作AOBAOB，使，使 AOBAOBAOBAOBO OB B A AC CD DOOBBAADDCC（1 1）做射线）做射线OB OB （2 2）以）以O O为圆心，任意长为半径为圆心，任意长为半径画弧，交画弧，交OAOA于于D D点，交点，交OBOB于于C C点。点。（3 3
2、）以）以OO为圆心，为圆心，OCOC长为半长为半径画弧，交径画弧，交OBOB于于CC点点 。（4 4）以）以CC为圆心，为圆心，DCDC长为半长为半径画弧，交前弧于径画弧，交前弧于DD点点 。（5 5）过）过DD做射线做射线OA OA 则则AOBAOB为所求作的角为所求作的角 作法：作法：作一个角等于已知角作一个角等于已知角第3页，共27页，编辑于2022年，星期三如何利用尺规作出一个三角形与已知三角如何利用尺规作出一个三角形与已知三角全等？全等？ABC第4页，共27页，编辑于2022年，星期三1 1已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形形已知：线段已知
3、：线段a a,c c,.,.求作：求作：ABCABC，使，使BCBC=a a ABAB=c c,ABCABC=.=.a ac c第5页，共27页，编辑于2022年，星期三作法示范（1）作一条线段BC=a；（2 2）以）以B B为顶点，以为顶点，以BCBC为一边，为一边，作作 B BC CB BC CB BC CB BC C（3 3）在射线）在射线BDBD上截取线段上截取线段BABA=c c；（4 4）连接）连接ACACABCABC就是所求就是所求作的三角形作的三角形A ADDA请按照给出的作法作出相应的图形请按照给出的作法作出相应的图形第6页，共27页，编辑于2022年，星期三 将你所作的三角
4、形与同伴作出的将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什三角形进行比较，它们全等吗？为什么？么？两边及它们的夹角对应相两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等等的两个三角形全等(SAS)第7页，共27页，编辑于2022年，星期三1.1.已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。回顾刚才作三角回顾刚才作三角形的顺序形的顺序边边边边夹夹角角夹夹角角边边边边还有没有其还有没有其他的作法？他的作法？第8页，共27页，编辑于2022年，星期三已知：线段已知：线段a a，c c，求作：，求作：ABCABC，使，使BCBCa a，ABAB c c，AB
5、C ABC a ab ba aB BE ED DE EDDEED D(1)(1)作作DBEDBE 作法作法2 2作法与示范作法与示范第9页，共27页，编辑于2022年，星期三B BM MDDEEN NC CA A(2)在射线在射线B E上截取上截取BCa,在射线在射线B D上截取上截取BAc，作法作法2 2作法与示范作法与示范ac第10页，共27页，编辑于2022年，星期三B BM MDDEEN NC CA A(3)(3)连接连接ACAC则则ABCABC为所求作的三角形为所求作的三角形作法作法2 2作法与示范作法与示范ac第11页，共27页，编辑于2022年，星期三2 2已知三角形的两角及其夹
6、边，求作这个三已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形角形已知：已知：，线段，线段c cc c求作：求作：ABCABC，使，使A=A=，B=B=，ABAB=c c.第12页，共27页，编辑于2022年，星期三已知：已知：，线段，线段c cc c求作：求作：ABCABC，使，使A=A=，B=B=，ABAB=c c.c第13页，共27页，编辑于2022年，星期三请按照给出的作法作出相应的图形请按照给出的作法作出相应的图形作法示范（1 1）作）作 AF（2 2）在射线）在射线AFAF上截取线段上截取线段ABAB=c c；CDBADFABDF（3 3）以）以B B为顶点，以为顶点，以BABA为一边，为
7、一边，作作 ，BEBE交交ADAD于点于点C C则则ABCABC就是所求作的三角就是所求作的三角形形第14页，共27页，编辑于2022年，星期三 将你所作的三角形与同伴作出将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？为什么？两角及它们的夹边对应相等两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等的两个三角形全等(ASA)(ASA)第15页，共27页，编辑于2022年，星期三2.2.已知三角形的两角及其夹边，求作这已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。个三角形。回顾刚才作三角回顾刚才作三角形的顺序形的顺序角角角角夹夹边边夹夹边边角角角角还有没有其他还有
8、没有其他的作法？的作法？第16页，共27页，编辑于2022年，星期三已知已知:,:,线段线段c c，求作：求作：,使使A A,，c cc c作法示范作法示范作法作法:(1)(1)作线段作线段 c cA AM MA AM MB B(2)(2)作作N NB B，N NK KC C(3)(3)作作K KA AANAN与与BKBK相交于相交于C,C,则则ABCABC为所求作的三角形为所求作的三角形第17页，共27页，编辑于2022年，星期三已知已知和和，线段线段a a，用尺规作一个三角形，使其，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于一个内角等于，另一个内角等于，另一个内角等于 ，且，且的的对边等于对边等
9、于a a。提示：先作出一个角等于提示：先作出一个角等于+，通过反向延长，通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角角 。由此转换成已知。由此转换成已知 和和及其这两角的及其这两角的夹边夹边a a，求作这个三角形。，求作这个三角形。a a第18页，共27页，编辑于2022年，星期三 a aB BC CA AE EF FG G作法：作法：1.1.作作+的补角的补角 2.2.作作GBE=GBE=3.3.在射线在射线BEBE上截取上截取BC=aBC=a4.4.以以C C为顶点，为顶点，CBCB为一边作为一边作FCB=FCB=5.5.射线射线BGB
10、G与射线与射线CFCF相交于点相交于点A AABCABC就是所求作的三角形。就是所求作的三角形。已知已知和和，线段线段a a，用尺规作一个三角形，使其一个，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于内角等于，另一个内角等于，另一个内角等于 ，且，且的对边等的对边等于于a a。第19页，共27页，编辑于2022年，星期三经过前面的实践，我们如何来分析作图题呢？经过前面的实践，我们如何来分析作图题呢？1.1.假设所求作的图形已经作出，并在草稿纸假设所求作的图形已经作出，并在草稿纸上作出草图；上作出草图；2.2.在草图上标出已给的边、角的对应位置；在草图上标出已给的边、角的对应位置；3.3.从草图中首先找
11、出基本图形，由此确定作从草图中首先找出基本图形，由此确定作图的起始步骤；图的起始步骤；4.4.在在3 3的基础上逐步向所求图形扩展。的基础上逐步向所求图形扩展。第20页，共27页，编辑于2022年，星期三3 3已知三角形的三边，求作这个三角形已知三角形的三边，求作这个三角形已知：线段已知：线段a a，b b，c ca ac cb b求作：求作：ABCABC，使，使ABAB=c c，ACAC=b b，BCBC=a a（1 1）请写出作法并作出相应的图形）请写出作法并作出相应的图形（2 2）将你所作的三角形与同伴作出的三角形）将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？进行比较
12、，它们全等吗？为什么？第21页，共27页，编辑于2022年，星期三3.3.已知三角形的三条边，求作这个三角形。已知三角形的三条边，求作这个三角形。已知：线段已知：线段 a a，b b，c c。求作：求作：ABCABC，使，使AB=cAB=c，AC=bAC=b，BC=aBC=a。（1 1）作线段）作线段BC=aBC=a；（2 2）分别以）分别以B B，C C为圆心，以为圆心，以c c，b b为为半径画弧，两弧交于半径画弧，两弧交于A A点；点；（3 3）连接）连接AB,ACAB,AC。ABCABC就是所求作的三角形。就是所求作的三角形。a ab bc cB BC CA A作法作法：第22页，共2
13、7页，编辑于2022年，星期三1.1.学会了用尺规作三角形学会了用尺规作三角形2.2.进一步验证了全等三角形的条件进一步验证了全等三角形的条件第23页，共27页，编辑于2022年，星期三1 1、已知线段、已知线段a a，b b和和，求作，求作ABCABC，使其有一，使其有一个内角等于个内角等于，且，且的对边等于的对边等于a a，另有一边另有一边等于等于b b。a ab b分析：分析：先在草纸上画出一个假设的先在草纸上画出一个假设的“已作出的已作出的三角形三角形”；然后在草图上标出已给的边、角；然后在草图上标出已给的边、角的对应位置；再找出边与角，确定作图的顺的对应位置；再找出边与角，确定作图的
14、顺序。序。第24页，共27页，编辑于2022年，星期三b ba aa aA AB BM MN NC CC C 1 1.作作MAN=MAN=2.2.在射线在射线AMAM上截取上截取AB=AB=b b3 3.以以B B为圆心，以为圆心，以a a为半径画弧，交为半径画弧，交ANAN于点于点C C，C C 4.4.连接连接BCBC，B BC C ABCABC和和A AB BC C 就是所求作的三角形。就是所求作的三角形。同样是已知两边及一角，同样是已知两边及一角，为什么会出现两个三角为什么会出现两个三角形呢？你从中可以感悟形呢？你从中可以感悟到什么？到什么？作法：作法：第25页，共27页，编辑于202
15、2年，星期三感悟：感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此可以用来判当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的对角时，会画出定两个三角形全等；而当已知两边及一边的对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为判别两个三角形全等两个不同的三角形，因此不能用来作为判别两个三角形全等的条件。的条件。b ba aa aA AB BM MN NC CC C a ac c两边及夹角两边及夹角两边及一边的对角两边及一边的对角B BE ED DC CA A第26页，共27页，编辑于2022年，星期三2.2.你能用尺规作一个直角三角形，使其两条你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段直角边分别等于已知线段a a，b b吗？并写出作法。吗？并写出作法。a ab b分析：先在草纸上画出一个假设的分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的已作出的三角形三角形”，会发现是，会发现是“已知两边及夹角求作已知两边及夹角求作三角形三角形”，所以按照此方法作图。，所以按照此方法作图。第27页，共27页，编辑于2022年，星期三