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1、有限元分析第一讲第1页，共23页，编辑于2022年，星期六1.1 1.1 有限元方法概述有限元方法概述有限元方法概述有限元方法概述一一一一.什么是有限元法什么是有限元法什么是有限元法什么是有限元法(Finite Element Method)1.有限元法是近似求解一般连续问题的数值方法。将连续体离散成若干较小的有限元法是近似求解一般连续问题的数值方法。将连续体离散成若干较小的单元，分析单元的力学关系，再综合成整体。是一种将复杂问题变成简单问单元，分析单元的力学关系，再综合成整体。是一种将复杂问题变成简单问题综合的方法。题综合的方法。2.该方法首先应用于结构的应力分析，近该方法首先应用于结构的应
2、力分析，近10-20年来，在求解热传导、电年来，在求解热传导、电磁场、流体力学等连续问题领域得到广泛应用。磁场、流体力学等连续问题领域得到广泛应用。3.是力学、数学理物理方法学、计算力学、计算机技术等多学科综是力学、数学理物理方法学、计算力学、计算机技术等多学科综合发展和结合的产物合发展和结合的产物4.4.有限元法可以对复杂的工程结构进行分析，获得各种力学和机械有限元法可以对复杂的工程结构进行分析，获得各种力学和机械性能信息，是现化工程技术和研究人员进行设计和分析所必须掌握的性能信息，是现化工程技术和研究人员进行设计和分析所必须掌握的一种理论和方法。一种理论和方法。第2页，共23页，编辑于20
3、22年，星期六二二二二.有限元法与其他力学理论的关系有限元法与其他力学理论的关系有限元法与其他力学理论的关系有限元法与其他力学理论的关系弹性力学弹性力学材料力学材料力学研究对象研究对象研究对象研究对象简单变形体。如杆件，梁，简单变形体。如杆件，梁，轴等，长度尺寸远大于横向轴等，长度尺寸远大于横向尺寸。尺寸。任意形状结构任意形状结构第3页，共23页，编辑于2022年，星期六研究方法研究方法研究方法研究方法采用三个方程：平衡方程，采用三个方程：平衡方程，几何方程，物理方程。从构几何方程，物理方程。从构件的整个截面考虑，引用了件的整个截面考虑，引用了截面的变形或应力假设。截面的变形或应力假设。采用三
4、个方程：平衡方程，几采用三个方程：平衡方程，几何方程，物理方程。从构件的何方程，物理方程。从构件的微元体微元体dxdydz进行分析，末进行分析，末作有关变形和应力的假设作有关变形和应力的假设.表现形式表现形式表现形式表现形式积分方程积分方程(宏观的实用公式）宏观的实用公式），可直接应用，可直接应用偏微分方程，求解较因难，偏微分方程，求解较因难，常采用数值方法近似计算。常采用数值方法近似计算。如如有限差分法，有限元法，边有限差分法，有限元法，边有限差分法，有限元法，边有限差分法，有限元法，边界元法界元法界元法界元法。机械结构有限元法机械结构有限元法针对弹性力学问题的数值计算方法针对弹性力学问题的
5、数值计算方法弹性力学弹性力学材料力学材料力学第4页，共23页，编辑于2022年，星期六1.2 1.2 有限元方法的分析过程有限元方法的分析过程有限元方法的分析过程有限元方法的分析过程三个主要步骤三个主要步骤三个主要步骤三个主要步骤1.1.结构体的离散化结构体的离散化结构体的离散化结构体的离散化将任意形状的物体分割成有限数目的将任意形状的物体分割成有限数目的“单元单元单元单元”，单元之间只在有限个，单元之间只在有限个“节点节点节点节点”处相连接。构成由单元组成的集合体。在节点处引入处相连接。构成由单元组成的集合体。在节点处引入等效载荷等效载荷等效载荷等效载荷(或边界条件或边界条件),代替实际作用
6、于原系统上的外载荷。代替实际作用于原系统上的外载荷。2.2.进行单元分析进行单元分析进行单元分析进行单元分析按一定的规则按一定的规则(直接刚度法，虚功原理等），主要分析直接刚度法，虚功原理等），主要分析“节点力节点力节点力节点力节点节点节点节点位移位移位移位移”的关系，得出单元的关系，得出单元“刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵”。3.3.整体分析整体分析整体分析整体分析将所有单元集合成整体结构进行分析，建立整体结构的平衡方程将所有单元集合成整体结构进行分析，建立整体结构的平衡方程整体整体刚度方程刚度方程(整体刚度矩阵整体刚度矩阵整体刚度矩阵整体刚度矩阵)，引入边界条件，解线性方程组，求得所有，
7、引入边界条件，解线性方程组，求得所有节节节节点位移点位移点位移点位移，进而求出各，进而求出各单元内力单元内力单元内力单元内力。步骤明确，可以实现分析过程的程序化步骤明确，可以实现分析过程的程序化步骤明确，可以实现分析过程的程序化步骤明确，可以实现分析过程的程序化第5页，共23页，编辑于2022年，星期六1.3 1.3 常用有限元软件简介常用有限元软件简介常用有限元软件简介常用有限元软件简介AnsysAnsys系例通用有限元分析软件系例通用有限元分析软件系例通用有限元分析软件系例通用有限元分析软件常用软件：常用软件：Ansys,MSC,ADINA,SAP20001.1.发行者发行者发行者发行者美
8、国美国Ansys公司公司(世界上最大的有限元软件公司世界上最大的有限元软件公司)，目前有：，目前有：Ansys8.0,Ansys8.1,Ansys9.0,Ansys10.0版本版本。网上一些论坛中有破解版，要耐心的网上一些论坛中有破解版，要耐心的网上一些论坛中有破解版，要耐心的网上一些论坛中有破解版，要耐心的找，可解决你所遇的工程问题。找，可解决你所遇的工程问题。找，可解决你所遇的工程问题。找，可解决你所遇的工程问题。2.2.主要功能及组成主要功能及组成主要功能及组成主要功能及组成融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一起的大型通用有限元分析软件。主要包融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一起的
9、大型通用有限元分析软件。主要包括三个部分：括三个部分：1 1）前处理模块）前处理模块）前处理模块）前处理模块：包括实体建模、网格划分。有：包括实体建模、网格划分。有100多种单元类型。基本多种单元类型。基本能满足工程需要。能满足工程需要。2 2）分析计算模块）分析计算模块）分析计算模块）分析计算模块：包括结构分析：包括结构分析(可进行性线、非线性、高度非线性有限元可进行性线、非线性、高度非线性有限元分析分析)、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析和多物理场耦、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析和多物理场耦合分析及优化分析等内容。合分析及优化分析等内容。第6页，共23页，编
10、辑于2022年，星期六3 3）后处理模块）后处理模块）后处理模块）后处理模块：将计算结果以彩色等值线、梯度、矢量、粒子流等图形方：将计算结果以彩色等值线、梯度、矢量、粒子流等图形方式显式。以图表、曲线等形式输出。式显式。以图表、曲线等形式输出。第7页，共23页，编辑于2022年，星期六1.4 1.4 本课程的目的和主要内容本课程的目的和主要内容本课程的目的和主要内容本课程的目的和主要内容三三三三.主要参考书籍主要参考书籍主要参考书籍主要参考书籍一一一一.本课程的目的本课程的目的本课程的目的本课程的目的二二二二.本课程的主要内容本课程的主要内容本课程的主要内容本课程的主要内容主要学习结构静力学有
11、限元分析主要学习结构静力学有限元分析主要学习结构静力学有限元分析主要学习结构静力学有限元分析可在长大图书馆网页中可在长大图书馆网页中“超星图书馆超星图书馆”下载下载1).掌握有限元分析的基本理论和主要结论；掌握有限元分析的基本理论和主要结论；2).能针对实际工际结构建立有限元分析模型；能针对实际工际结构建立有限元分析模型；3).学会使用学会使用Ansys软件进行结构有限元分析。软件进行结构有限元分析。1).杆件杆件(刚架刚架)结构有限元分析结构有限元分析2).平面问题有限元分析平面问题有限元分析3).轴对称结构有限元分析轴对称结构有限元分析4).三维问有限元分析三维问有限元分析5)Ansys软
12、件基本使用软件基本使用1).李人宪李人宪.有限元法基础有限元法基础.国防工业出版社国防工业出版社 2).赵经文等赵经文等.结构有限元分析结构有限元分析.科学出版社科学出版社 3)有关有关ansys软件的应用书籍软件的应用书籍 第8页，共23页，编辑于2022年，星期六2.1 2.1 问题的引入问题的引入问题的引入问题的引入一一一一.杆件结构的特点杆件结构的特点杆件结构的特点杆件结构的特点1.1.组成单元：组成单元：组成单元：组成单元：杆件杆件(等截面等截面)，两端点为节点。长度尺寸，两端点为节点。长度尺寸横向尺寸。横向尺寸。一根杆就是一个单元一根杆就是一个单元自然划分自然划分自然划分自然划分2
13、.2.两端联接两端联接两端联接两端联接 1).1).铰联接铰联接铰联接铰联接两端可以自由转动。承受：拉、压和扭矩。称为两端可以自由转动。承受：拉、压和扭矩。称为杆杆杆杆 2).2).刚性联接刚性联接刚性联接刚性联接两端不能自由转动。主要承受横向力和弯矩两端不能自由转动。主要承受横向力和弯矩(也能承受拉、也能承受拉、压、扭压、扭)。称为。称为梁梁梁梁3.3.组成型式组成型式组成型式组成型式 1).1).桁架结构桁架结构桁架结构桁架结构由由“杆单元杆单元”组成组成 2).2).刚架结构刚架结构刚架结构刚架结构由由“梁单元梁单元”组成组成二二二二.承受拉承受拉承受拉承受拉/压作用的桁架压作用的桁架压
14、作用的桁架压作用的桁架1.1.杆单元受载与变形特点杆单元受载与变形特点杆单元受载与变形特点杆单元受载与变形特点(等截面等截面等截面等截面)第9页，共23页，编辑于2022年，星期六刚度刚度由材料力学公式由材料力学公式,可得可得2.2.桁架受载与变形桁架受载与变形桁架受载与变形桁架受载与变形P2ABCDFE对任一杆件对任一杆件,均可得出均可得出P1对桁架整体对桁架整体,可采用类似的公式可采用类似的公式所有杆件的所有杆件的节节节节点外载点外载点外载点外载整体刚度整体刚度(矩阵矩阵)各节点各节点位位位位移移移移问题问题问题问题:1.整体刚度矩阵整体刚度矩阵K与各杆刚度与各杆刚度ki的关系的关系?2.
15、如何由各杆刚度如何由各杆刚度ki计算整体刚度矩阵计算整体刚度矩阵K?第10页，共23页，编辑于2022年，星期六2.2 2.2 弹簧系统的刚度矩阵弹簧系统的刚度矩阵弹簧系统的刚度矩阵弹簧系统的刚度矩阵一一一一.单个弹簧的刚度矩阵单个弹簧的刚度矩阵单个弹簧的刚度矩阵单个弹簧的刚度矩阵+F1F2u1u212F1aF2au12F1bu212u2=0根据线性迭加原理根据线性迭加原理,可分解成两个简单的系统可分解成两个简单的系统,然后再合成。然后再合成。u1=0F2b1.1.节点节点节点节点2 2固定，节点固定，节点固定，节点固定，节点1 1移动移动移动移动2.2.节点节点节点节点1 1固定，节点固定，
16、节点固定，节点固定，节点2 2移动移动移动移动3.3.合成合成合成合成节点节点1上的力上的力节点节点2上的力上的力A工况工况b工况工况第11页，共23页，编辑于2022年，星期六设：设：设：设：1)作用力向量作用力向量2)位移向量位移向量3)单元刚度矩阵单元刚度矩阵故：故：故：故：4.4.单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质1)1)单元刚度矩阵的意义单元刚度矩阵的意义单元刚度矩阵的意义单元刚度矩阵的意义令令:则则则则令令:单元刚度矩阵中第单元刚度矩阵中第单元刚度矩阵中第单元刚度矩阵中第i i列的意义列的意义列的意义列的意义使节点使节点i产生单位位移（产生单位
17、位移（1），而使其他节点位移保持为零的情况下，作用），而使其他节点位移保持为零的情况下，作用在各节点上的力。在各节点上的力。第12页，共23页，编辑于2022年，星期六3)3)对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵 关于主对角线对称。即：关于主对角线对称。即：4)4)奇异矩阵奇异矩阵奇异矩阵奇异矩阵 即所对应的行列式之值为即所对应的行列式之值为02)2)矩阵阶数矩阵阶数矩阵阶数矩阵阶数 设单元设单元自由度自由度自由度自由度为为n(即单元中所有结点的位移量个数即单元中所有结点的位移量个数)，则单元刚度矩阵为则单元刚度矩阵为n阶方阵。阶方阵。第13页，共23页，编辑于2022年，星期六二二二二.弹簧组的
18、刚度矩阵弹簧组的刚度矩阵弹簧组的刚度矩阵弹簧组的刚度矩阵F1F2u1u212F3u3F1aF2au112F3aF1bF2bu212F3bF1cF2c12F3cu3u2=0u3=0333u1=0u3=0u1=0u2=0可分解成三个简单的系统可分解成三个简单的系统1.1.节点节点节点节点2,32,3固定固定固定固定2.2.节点节点节点节点1,31,3固定固定固定固定kakbkakbkakbkakb3.3.节点节点节点节点1,21,2固定固定固定固定3abc第14页，共23页，编辑于2022年，星期六4.4.合成合成合成合成写成矩阵形式写成矩阵形式写成矩阵形式写成矩阵形式:整体刚度整体刚度整体刚度整
19、体刚度矩阵矩阵矩阵矩阵:5.5.整体刚度矩阵整体刚度矩阵整体刚度矩阵整体刚度矩阵KK的性质的性质的性质的性质与单元刚度矩阵类似与单元刚度矩阵类似与单元刚度矩阵类似与单元刚度矩阵类似1)1)总体刚度矩阵的意义总体刚度矩阵的意义总体刚度矩阵的意义总体刚度矩阵的意义总体刚度矩阵中第总体刚度矩阵中第总体刚度矩阵中第总体刚度矩阵中第i i列的意义列的意义列的意义列的意义使节点使节点i产生单位位移，而使其他节点位移保持为零的情况下，作用产生单位位移，而使其他节点位移保持为零的情况下，作用在各节点上的外力。在各节点上的外力。2)2)矩阵阶数矩阵阶数矩阵阶数矩阵阶数 （结点数（结点数结点自由度）阶方阵。结点自
20、由度）阶方阵。本例中：结点数为本例中：结点数为3，结点自由度为，结点自由度为1，故，故K为为3阶方阵阶方阵第15页，共23页，编辑于2022年，星期六三三三三.由弹簧单元刚度矩阵迭加成弹簧组的刚度矩阵由弹簧单元刚度矩阵迭加成弹簧组的刚度矩阵由弹簧单元刚度矩阵迭加成弹簧组的刚度矩阵由弹簧单元刚度矩阵迭加成弹簧组的刚度矩阵1.1.单元一、二的受力单元一、二的受力单元一、二的受力单元一、二的受力位移方程位移方程位移方程位移方程(注意节点编号顺序注意节点编号顺序)单元单元1单元单元23)3)奇异矩阵奇异矩阵奇异矩阵奇异矩阵 即所对应的行列式之值为即所对应的行列式之值为0注意，注意，是作用于单元节点上的
21、力，对于单元而言，是外力，是作用于单元节点上的力，对于单元而言，是外力，但对整体而形，则是内力。故不能将单元节点力但对整体而形，则是内力。故不能将单元节点力 与节点上与节点上的载荷的载荷 混淆。但两者之间存在一定关系混淆。但两者之间存在一定关系力的平稳关系。力的平稳关系。在节点处取一微小段在节点处取一微小段F212kakb-F22-F21F21F22F1-F11F11F3F323-F322211第16页，共23页，编辑于2022年，星期六2.2.节点平衡分析节点平衡分析节点平衡分析节点平衡分析1节点节点2节点节点3节点节点3.3.方程扩展方程扩展方程扩展方程扩展参照参照故应将单元受力方程扩展成
22、故应将单元受力方程扩展成3阶阶单元一单元一（2-1）由位移连续性质，得：由位移连续性质，得：单元二单元二（2-2）第17页，共23页，编辑于2022年，星期六4.4.刚度矩阵迭加刚度矩阵迭加刚度矩阵迭加刚度矩阵迭加(2-1)+(2-2)得：得：整体刚整体刚整体刚整体刚度矩阵度矩阵度矩阵度矩阵平衡关系平衡关系平衡关系平衡关系第18页，共23页，编辑于2022年，星期六 刚度矩阵迭加的节点编号法刚度矩阵迭加的节点编号法刚度矩阵迭加的节点编号法刚度矩阵迭加的节点编号法对较复杂的系统，一般不采用方程扩展的方法，而采用对较复杂的系统，一般不采用方程扩展的方法，而采用“按节点编下标，相同下标按节点编下标，
23、相同下标按节点编下标，相同下标按节点编下标，相同下标刚度元素相加刚度元素相加刚度元素相加刚度元素相加”的办法（即的办法（即“相邻单元的相同结点的同分量相迭加相邻单元的相同结点的同分量相迭加相邻单元的相同结点的同分量相迭加相邻单元的相同结点的同分量相迭加”）例例对上述弹簧组对上述弹簧组,单元一单元一,节点号为节点号为1和和2,则单元刚度矩阵为则单元刚度矩阵为:单元二单元二,节点号为节点号为2和和3,则单元刚度矩阵为则单元刚度矩阵为:按相同下标相加，得整体刚度矩阵按相同下标相加，得整体刚度矩阵:第19页，共23页，编辑于2022年，星期六四四四四.边界条件及方程求解边界条件及方程求解边界条件及方程
24、求解边界条件及方程求解方程方程中中,刚度矩阵刚度矩阵所对应的行列式值为零所对应的行列式值为零,故故K 的逆矩阵的逆矩阵K-1不存在不存在,方程无定解方程无定解,需要加入一些需要加入一些需要加入一些需要加入一些约束条件约束条件约束条件约束条件(边界条件边界条件边界条件边界条件)，才能求解。，才能求解。，才能求解。，才能求解。如如如如:设设F1,F2已知已知,结结3点固定点固定,即即u3=0,则方程成为：则方程成为：求解得：求解得：求解得：求解得：求弹簧内力：求弹簧内力：求弹簧内力：求弹簧内力：弹簧弹簧a(单元单元1）弹簧弹簧b(单元单元2）第20页，共23页，编辑于2022年，星期六小结：有限元
25、求解弹簧组的基本步骤小结：有限元求解弹簧组的基本步骤小结：有限元求解弹簧组的基本步骤小结：有限元求解弹簧组的基本步骤2.2.形成每个单元的刚度矩阵形成每个单元的刚度矩阵3.3.由各单元的刚度矩阵，按节点编号迭加成整体刚度矩阵由各单元的刚度矩阵，按节点编号迭加成整体刚度矩阵K4.4.引入约束条件引入约束条件(边界条件）边界条件）5.5.以节点位移为末知数，求解线性方程组以节点位移为末知数，求解线性方程组6.6.按：单元内力按：单元内力=k(节点位移差节点位移差),计算各弹簧单元内力。计算各弹簧单元内力。注意：一般不能由方程组中解出的注意：一般不能由方程组中解出的注意：一般不能由方程组中解出的注意
26、：一般不能由方程组中解出的FF来计算单元内力。来计算单元内力。来计算单元内力。来计算单元内力。1.1.单元单元,节点编号节点编号外载荷外载荷第21页，共23页，编辑于2022年，星期六例例例例1 1已知已知 k1=1200kN/m,k2=1800kN/m,k3=1500kN/mF1F2=10kN12F3b3u3=0F2=20kNk1k2k3求求 F1,F4,u2,u3=?解解:1.列出单元刚度矩阵列出单元刚度矩阵弹簧弹簧1-2:弹簧弹簧2-3:弹簧弹簧3-4:2.整体整体刚度矩刚度矩阵阵:4第22页，共23页，编辑于2022年，星期六3.列出整体方程，代入边界条件列出整体方程，代入边界条件得得:(1)(2)(3)(4)由由(2)(3)解得解得:u2=0.010360m,u3=0.011712;代入代入(1)(4)得得:F1=-12.432kN,F4=-17.567校核：校核：正确正确第23页，共23页，编辑于2022年，星期六