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1、第一讲二重积分三重积分本讲稿第一页，共五十二页二重积分三重积分第一类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第二类曲面积分总和2012104142011114152010441018200944410222008941320074410182006412143020051215272004441220本讲稿第二页，共五十二页第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 本讲稿第三页，共五十二页二、二重积分的性质二、二重积分的性质 第一节一、二重积分的定义与可积性一、二重积分的定义与可积性 三、三、二重积分的应用二重积分的应用
2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第九章 本讲稿第四页，共五十二页曲顶柱体体积:平面薄板的质量:一定义 如果 在D上可积,机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第五页，共五十二页二、二重积分的性质二、二重积分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第六页，共五十二页特别,由于则5.若在D上6.设D 的面积为,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第七页，共五十二页7.(二重积分的中值定理)在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.二重积分的对称性定理（1）如果积分区域D关
3、于x轴对称，f(x,y)为y的奇偶函数，则本讲稿第八页，共五十二页(2)如果积分区域D关于y轴对称，f(x,y)为x的奇偶函数，n(3)轮换对称性：（4）如果积分区域D关于直线y=x对称，则本讲稿第九页，共五十二页(5)如果积分区域D关于原点对称，关于原点对称的两部分为本讲稿第十页，共五十二页本讲稿第十一页，共五十二页本讲稿第十二页，共五十二页本讲稿第十三页，共五十二页本讲稿第十四页，共五十二页本讲稿第十五页，共五十二页真题研讨本讲稿第十六页，共五十二页例例1.计算其中D 由所围成.解解:令(如图所示)显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十七页，共五十二页例2设D是平面上以（1,
4、1),（-1,1）,（-1，-1）为顶点的三角形区域，D1 是D在第一象限的部分，则本讲稿第十八页，共五十二页*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章 本讲稿第十九页，共五十二页一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十页，共五十二页说明说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分序选择
5、积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十一页，共五十二页设则特别特别,对机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十二页，共五十二页若 f 1 则可求得D 的面积思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:问 的变化范围是什么?(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十三页，共五十二页第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 和性质 二、三重积分的计算二、三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第九章 本讲稿第二十四页，
6、共五十二页定义定义.设称为体积元素体积元素,在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质:例如 中值定理中值定理.在有界闭域 上连续,则存在使得V 为 的体积,记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十五页，共五十二页对称性的应用关于yoz面对称，本讲稿第二十六页，共五十二页若区域关于原点对称，且f(x,y,z)关于(x,y,z)是奇函数，则本讲稿第二十七页，共五十二页二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法(“先一后二”)方法方法2.截面法(“先二后一”)方法方法3.三次积分法 先假设连续函数 并将
7、它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十八页，共五十二页方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十九页，共五十二页方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)为底,d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十页，共五十二页投影法方法方法3.三次积分法三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:机动 目录 上页
8、下页 返回 结束 本讲稿第三十一页，共五十二页2.利用柱坐标计算三重积利用柱坐标计算三重积分分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十二页，共五十二页如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十三页，共五十二页3.利用球坐标计算三重积利用球坐标计算三重积分分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面机
9、动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十四页，共五十二页如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十五页，共五十二页考研真题研讨本讲稿第三十六页，共五十二页本讲稿第三十七页，共五十二页 三重积分的计算更要关注利用球坐标或柱面坐标的计算，在第二类曲面积分中，常常利用高斯公式来解决问题，而高斯公式的应用很多时候都用球坐标或者柱面坐标来计算。本讲稿第三十八页，共五十二页例例3.计算三重积分解解:用用“先二后一先二后
10、一”机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十九页，共五十二页其中为由例例4.计算三重积分所围解解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四十页，共五十二页例例5.计算三重积分解解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四十一页，共五十二页例例6.设计算提示提示:利用对称性原式=奇函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四十二页，共五十二页例例7.设由锥面和球面所围成,计算提示提示:利用对称性用球坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四十三页，共五十二页第三节一、立体体积一、
11、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 第九章 本讲稿第四十四页，共五十二页一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四十五页，共五十二页二.曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四十六页，共五十二页若光滑曲面方程为 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四十七页，共五十二页三.若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四十八页，共五十二页四如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四十九页，共五十二页五、物体的转动惯量五、物体的转动惯量物体 对 z 轴 的转动惯量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量本讲稿第五十页，共五十二页物体的质心坐标机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第五十一页，共五十二页则得形心坐标：机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第五十二页，共五十二页