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1、第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程若由方程可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数,由由表示的函数表示的函数,称为称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定显函数可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数,但此隐函数不能显化但此隐函数不能显化.函数为函数为隐函数隐函数.则称此则称此隐函数隐函数求导方法求导方法:两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程)机动 目录 上页
2、 下页 返回 结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1 求方程求方程所确定的隐函数的导所确定的隐函数的导数数解：解：方程两边分别对方程两边分别对 x 求导数，求导数，所以所以例例2.2.求由方程求由方程在在 x=0 处的导数处的导数解解:方程两边对方程两边对 x 求导求导得得因因 x=0 时时 y=0,故故确定的隐函数确定的隐函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 求由方程求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数并求出并求出写出通过曲线写出通过曲线上上点点的切线方
3、程的切线方程.解：解：方程两边对方程两边对 x 求导求导解出解出得得将将代入代入得得解得解得所以所以点点的切线方程为的切线方程为即即例例4.求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解解:椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导故切线方程为故切线方程为即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求由方程求由方程二阶导数。二阶导数。确定的隐函数的确定的隐函数的机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：解：方程两边分别对方程两边分别对 x 求导数，求导数，所以所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 练：求由方程练：求由方程所确定的所确定的隐函数的导数隐函数的导数机动机动 目录目录 上页上页
4、 下页下页 返回返回 结束结束 对数求导法对数求导法：对幂指函数和某些复杂的根式或分式用此法对幂指函数和某些复杂的根式或分式用此法求导简便些求导简便些.1)对幂指函数对幂指函数都可导都可导.两边取对数两边取对数(化成了隐函数化成了隐函数),然后按隐函数求导法然后按隐函数求导法求出求出 的导数的导数.即即例例6.6.求求的导数的导数.解解:两边取对数两边取对数,化为隐式化为隐式两边对两边对 x 求导求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2)有些显函数用有些显函数用对数求导法对数求导法求导很方便求导很方便.例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对 x 求导求导机动 目录
5、 上页 下页 返回 结束 例例7.设设 对对 x 求导求导两边取对数两边取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 求导数。求导数。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习练习设设求求解：解：两边取对数得两边取对数得方程两边分别对方程两边分别对 x 求导数，求导数，二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程若参数方程可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数可导可导,且且则则时时,有有时时,有有(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数)关系关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束 若上述参数方程中若上述参数方程中二阶可导二阶
6、可导,且且则由它确定的函数则由它确定的函数可求二阶导数可求二阶导数.利用新的参数方程利用新的参数方程,可得可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例8 已知椭圆的直角坐标方程为已知椭圆的直角坐标方程为求求及及写出椭圆的参数方程；写出椭圆的参数方程；解：解：椭圆的参数方程为：椭圆的参数方程为：为求为求列出参数方程：列出参数方程：例例9.9.已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 求椭圆在求椭圆在相应的点处的切线方程。相应的点处的切线方程。解解:当当时，时，椭圆上的对应点为椭圆上的对应点为此点切线斜率
7、为：此点切线斜率为：切线方程为：切线方程为：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例10 设曲线设曲线 方程方程为为当当时所对应的点时所对应的点与法线方程；与法线方程；解：解：求曲线求曲线 处的切线方程处的切线方程看成为看成为是是如果把曲线如果把曲线 的函数，的函数，求求点的坐标为：点的坐标为：点切线斜率为：点切线斜率为：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 处的处的即即切线方程为切线方程为:即即法线方程为法线方程为:看成为看成为是是如果把曲线如果把曲线 的函数，的函数，则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12 求由摆线求由摆线所确定的函数
8、所确定的函数的二阶导数。的二阶导数。解解:例例13.13.设设,且求求解解:练习练习:P112 题8(1)解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、相关变化率三、相关变化率为两可导函数为两可导函数之间有联系之间有联系之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率相关变化率相关变化率问题相关变化率问题解法解法:找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例15.一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升,其速率为其速率为当气球高度为当气球高度为 500 m 时时,观察员观察员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少?解解:设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h,仰角为仰角为 ,则则两边对两边对 t 求导求导已知已知 h=500m 时时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作作 业：业：P111112 1(3);2；3(4)；4（2）;7(1);8(2)